§1.1 歷史背景
自古至今，伊拉克註定都是一個令人矚目的地方。發源於土耳其東南部託羅斯(Taurus)山脈南麓的幼發拉底河(Euphrates)和底格里斯河(Tigris),從安納托利亞(Anatolia)高原奔流而出，在阿拉伯高原上的大漠之中日夜兼程，流向寬廣靜謐的波斯灣。
幼發拉底河和底格里斯河之間那一片廣袤的沖積平原，通常稱之為美索不達米亞(Mesopotamia),《舊約》的希臘翻譯家們把它看做是古代城市哈蘭附近的亞伯拉罕的故鄉，意思即是“河流之間的土地”。早期的時候，美索不達米亞只是指兩河流域的北部，而南方叫做“巴比倫尼亞(Babylonia)”。美索不達米亞明顯的分為南北兩個部分，從幼發拉底河畔的希特到底格里斯河邊的薩馬臘一線，是比較天然的地理分界線。這條線的北部，是古代亞述帝國的所在地，而南部肥沃的沖積平原就是聞名遐邇的巴比倫(Babylon)和蘇美爾(Sumer)的故鄉。
遠古時代，美索不達米亞周邊都是荒蠻的遊牧民族，北方安納托利亞半島的印歐人和南方的閃米特人，經常攻擊和掠奪富庶的美索不達米亞地區，並且先後建立了許多龐大的帝國。“美索不達米亞的歷史，在很大程度上也就是一部印歐人入侵者與閃米特人入侵者為爭奪這塊肥沃的兩河流域地區而展開的長達數千年的鬥爭史。”這種連續入侵的模式一直持續到第一次世界大戰後奧斯曼帝國解體為止，而中東地區動盪不安的局勢和頻繁爆發的戰爭，也可以認為是那種古代模式的餘韻。
從十八世紀開始，西方的旅行者和探險家們根據古籍的記載，開始在全世界範圍內尋找文明古國的地下遺蹟。最著名的例子就是德國考古學家亨利希﹒謝里曼發現特洛伊古城遺址的事件。正是在謝里曼以及其他後繼者一個多世紀的田野考古發掘，我們對古代世界的歷史才有了更加詳盡的知識。
迄今為止，人們所能找到的最古老的文明，就是位於今天伊拉克境內的“蘇美爾文明”。法國外交官歐內斯特﹒德﹒薩爾澤克是第一位發現蘇美爾文物的探險者。
蘇美爾人自稱“黑頭人”，他們是和閃族與印歐人不同種族的土著居民，大約公元前4000年左右就開始在兩河流域地區定居。他們的首都是烏爾，他們所控制的地區就稱為蘇美爾。閃族的阿卡德人建立的城邦是巴比倫。巴比倫遠在古代就聞名遐邇，而蘇美爾文明則鮮為人知。雖然迄今為止人們都把蘇美爾文明和巴比倫文明混為一談，但實際上，這是兩種不同的文化。首先，他們是不同的種族，語言也不相同，蘇美爾人使用的是蘇美爾語，巴比倫人使用的是阿卡德語。其次，從時間上來說，蘇美爾文明要早於巴比倫文明。從公元前3000年到公元前330年，這一地區的統治者變動頻繁，蘇美爾文明也最終消失在歷史的長河之中。但是，蘇美爾人創造的數學知識和傳統，卻始終連綿不絕，並且通過希臘人對數學的發展做出了貢獻。
蘇美爾人和阿卡德人在政治和文化上始終交往頻繁，最終阿卡德人的巴比倫征服了蘇美爾，後來亞述帝國又征服了整個美索不達米亞地區。亞述人在數學上沒有什麼建樹。後來美索不達米亞平原落入波斯人手中；公元前330年，希臘人征服了美索不達米亞，這個時期，希臘人的數學之花已經盛開，希臘的影響遍及整個近東地區，巴比倫無比輝煌的文明落下了帷幕。
從古巴比倫帝國興起，到公元前539年波斯人征服這裡，包括蘇美爾文明在內的古美素不達米業文明，被統稱為古巴比倫文明。我們在這裡所講的巴比倫數學，包含了蘇美爾數學在內，他們是一脈相承的同一種文化系統。巴比倫數學是數學史上起源最早，流傳更久；相較於古埃及數學，他們取得的成就更高一些。
§1.2 陶籌與泥板文書
迄今為止，兩河流域最早的原始楔文文獻出土於伊拉克南部的烏魯克，時間大致在公元前1700前後，但最早的泥板是公元前3200時期的。目前已發現50多萬塊泥版，其中大部分是經濟文獻，一小部分是數學文獻，它們記載著各種經濟問題和算術數表。
蘇美爾文明之所以能夠重見天日，和他們使用的書寫材料有著重要關係。他們沒有使用埃及人那種不易保存而又奢侈的莎草紙，而是使用當地充裕的泥土製作的泥板，用蘆葦製成的尖筆在尚未乾燥的溼泥板上刻畫印痕來書寫文字和數字。書寫好的泥板在乾燥之後比較堅硬，比起莎草紙更容易保存，所以至今已有幾十萬塊泥板在巴比倫的故地被髮掘出來。
蘇美爾人最早使用裝有陶籌的圓形或橢圓形空心封球來記數記事。大約在新石器時代早期，即公元前8000年左右，人們就開始使用陶籌記數。公元前四千年代末，人們開始把陶籌包裹在空心的封球裡保存，在封球變幹變硬之前，在封球上印上印文，以示所有。陶籌有各種各樣的形狀，它們也被用在早期的算盤上作為計算的工具：小泥錐代表1，泥球代表10，大泥錐代表60，各種陶籌放置在計數板的凹槽裡，就可以成為一個算盤。現存最早的算盤就是古巴比倫時代的，是一塊石板上放著白色的大理石算珠，大約是公元前300年的產物。
隨著文字的進步和發展，刻寫的符號代替了籌碼，泥板成為書寫記事的主要工具。當然，陶籌封球作為一種民間的工具，幾乎和泥板同時共存著。從出土文物的情形來看，出現泥板的地方，總是能夠找到陶籌封球。猶如在計算機如此普及的今天，我們還是能夠看到算盤的蹤影。
約公元前24世紀的楔形文字
§1.3 巴比倫的記數系統
現存的泥板文書顯示，巴比倫人已經發明瞭一套有效的記錄數值的數字符號。巴比倫人採用60進制，他們已經採用了位置記數法，即同一個數字在不同的位置，表示不同的數值。寫數值1，巴比倫的抄寫員將他的蘆葦筆在泥板上刃口向外側刻畫；而表示10，則刃口
平直刻畫。這兩種刻痕結合使用，一直到數字59。而到60時，1的符號再次使用，就像我們在表示10這個數字時使用1那樣；類似的，可以表示60 × 60，60 × 60 × 60，如此等等。表示0的符號還沒有出現，他們有時候用空位來表示，但有時候也不留空位，所以
表1-1 巴比倫數字
當某些數值裡有零的時候，就有必要根據上下文來判斷。這個缺陷並不影響巴比倫人使用這種記數系統進行精確的算術計算。
當我們把巴比倫的數字符號改寫成用阿拉伯數字表示的形式時，採用每一位用逗號分隔的形式，比如：4，30是一個數字，其第一位是4，第二位是30；而1，25，30是另一個數字。巴比倫人把75表示成“1，15”，這和我們把75分鐘寫成1小時15分鐘是一樣的，說明在60進制的記數法中，意味著數字每向左移動一位，其值就要擴大60倍；而向右移動一位，其值就要除以60來表示某個分數。因此，我們把1,25,30換算成十進制的數時，其結果如下：
1·60·60＋25·60＋30＝3600＋1500＋30＝5130。
六十進制帶給我們的一個文化遺產就是三角學中圓周分為360度，1度分為60分，1分分為60秒。類似的，1小時分為60分鐘，1分鐘分為60秒，都反映了巴比倫的記數法。當我們寫下120°35′40″時，我們實際上在使用巴比倫的記數法。而當我們說現在是晚上8點40分15秒時，我們實際上講的是4000多年前巴比倫人的語言，當然，他們有時會更簡潔地說午後已過8；40，15小時了。
有一種說法認為，巴比倫最早採用的是12進制和10進制，採用12進制的目的是為了使分數便於計算；後來，為了把這兩種進位制結合起來，所以產生了60進制。
事實上，在烏魯克出土的早期原始楔文文獻裡，現代學者發現了數十種不同的計算體系，有六十進位制的“S體系”、混合進位制的“B體系”、“Š體系”、“G體系”以及“E體系”，此外，還有專門用來記載時間的“U體系”和記載容量的“DUG體系”。蘇美爾人最常用的是六十進位制的“S體系”，但這個“S體系”也不是純粹的六十進制，而是包含了十進制和六進制的混合計算體系。這也是一種正常現象。對於不同的計算對象，採用不同的進位制，不過是為了計算的方便。即便是今天，我們的日常生活中，雖然是十進制為主，但十二進制、十六進制、六十進制任然在使用，計算機科學中更是同時使用了二進制、八進制、十進制、十六進制和六十進制。
理論上來說，我們可以採用任何大於1的整數作為基底構成計數系統的進位制。除過歷史的原因之外，如今我們採用什麼進位制，取決於我們使用的方便和需要。雖然十進制逐漸成為主流的計數制，但其它計數制仍然存在了相當長的時間。直到二十世紀末期，英制的十二進制在工程和機械製造領域還一直在使用。
§1.4 巴比倫的算術
當一套記數系統發明出來後，相應的算術計算規則也會被制定出來。雖然各種文明的計算方式會有所差異，但加減乘除的基本規則卻是相同的，因為數學最早是為了解決實際的生活需要而發展起來的。換句話說，數學在其原始時代，也是一門經驗科學。直到古希臘文明的時代，他們才開始從理論上探討數學的原理和規律，從而使數學成為一門純粹的理論科學。除過古希臘文明之外，在絕大多數可以看到的古代數學文獻中，作者會首先描述需要解決的問題，然後用一個算法計算出結果。這個算法可能是顯式的，也可能是隱式的。這些文獻很少說明這些算法是如何得到的，它們是普遍有效，還是隻是這類問題的特殊解法。相反，我們只是看到許多應用這些算法的例子。當然，從數學後來的發展，我們可以看到，這些算法是普遍有效的。也就是說，它們是基本的算術規則的實際應用和符合邏輯的推廣，雖然我們看不到它們推廣的具體過程。
從表1-1可以看出，在巴比倫的記數制中，表示數字1的記號和表示數字10的記號是基本記號，從1到59這些數都是用幾個或更多基本記號結合而成的。因此，這些數的加減法就是加上或是去掉這些記號。
由於巴比倫數系是一個位置記數系統，加、減，包括進位與借位的實際算法，和我們現代的算法基本類似，所以對於更大的一般數的加法，他們採用相同位置上的數字相加，滿60向下一列進位為1的方法。例如，將23,37(=1417)和41,32(=2492)相加，首先是把32和37相加得到(1,09)(=69)，這時將09寫下，把1進到下一列；同樣41+23+1=1,05(=65)，最終得到結果為1,05,09(=3909)。
在巴比倫的原始文本里，數字只是一個個數字串，並且也沒有數字零，其具體的數值要依靠上下文來判斷。為了清晰起見，現代的研究者一般會對原始文本加以改寫，在每一個數字的位置之間加上“逗號”，在整數和分數之間加上“分號”。比如數字串1，25，30可以讀成下列三個數字：
加減法的運算比較簡單，但是乘除法對於60進制就比較複雜了。所以對於乘法運算，巴比倫人制作了許多的乘法表。這種表有很多種，每一張表上是某一個數字比如說9的倍數，從1×9到20×9，然後再給出30×9,40×9,50×9（見圖1-2）。
假如要計算34×9，他們先在乘法表上找到30×9=40,30（=270）和4×9（=36），然後再把這兩個數加起來，就可以得到結果5,06（=306）。為了計算更多位數的60進位數的乘法，巴比倫人制作了很多張這樣的乘法表。和我們現在的九九乘法表相比，巴比倫的乘法表是很龐大的。
圖1-2 一塊用於9的乘法表
對於除法，巴比倫人用的是倒數表。因為除以一個整數a就等於乘以這個數的倒數，所以巴比倫人是把除法轉換成了乘法來做的。
因此，他們也製作了很多種倒數表。這就說明巴比倫也有了分數的概念。如果用分號來把整數和分數部分分開，六十進制的分數0；7，30就代表1/8。
下面我們給出一張倒數表的一部分：
2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
8 7,30
9 6,40
10 6
12 5
15 4
在這張表中，第二列數是第一列數的倒數，比如30表示30/60=1/2，也就是說，第一列數和第二列數的乘積都等於1。
這樣，做除法時，除以第一列的數，就等於乘以第二列的數。
利用數表計算，是巴比倫算術的一大特色。
研究巴比倫泥板的學者們還發現了擴大了的倒數表，這種倒數表包括象7和11這些其倒數不能用六十進制有限小數表示的數，並且把它們的倒數給出了有幾位小數的近似值。
還有平方表、立方表和開方用的平方根表，還有用於計算複利的利息表和一些相當複雜的數字程序利息表。
顯然，巴比倫人把日常生活中需要計算的東西都製成了各種數表。其實，在計算機普及之前的二十世紀，我們現代人也曾經廣泛使用各種數表，比如三角函數表、對數表等等，而這是從古巴比倫開始的。
巴比倫的方根表，當方根是整數時，給出的是精確值，當方根是其它數值的時候，相應的六十進制數值只能是近似值。沒有證據表明巴比倫人懂得無理數，他們用比較多的位數來表示無理數。
比如巴比倫人給出的2的平方根的近似值是1.4142128......其六十進制數是1；24,51,10，這一結果的推導過程沒有給出，數字見於耶魯大學巴比倫收藏所的YBC7289號泥板，是一個計算正方形對角線的圖形。
這個近似值其精確度已經達到小數點後五位，直到近兩千年後，以公元一世紀的希臘數學家希羅命名的方法也給出了完全一樣的結果。我們將會看到，畢達哥拉斯學派正是在計算正方形的對角線的時候發現了無理數。
§1.5巴比倫的代數
我們從泥板中的各種數表裡可以瞭解到巴比倫算術的詳細細節，他們的數系和計算規則以及一些特殊算法。還有一些文件和我們前面講的內容不同，它們是處理代數與幾何問題的。數學方面的楔形文本通常包括兩類文件，一類是各種數表，9的乘法表和倒數表是完整的範例；另一類文件是各種問題的彙集，有些問題只給出最後結果，沒有解題的過程，但是也有許多問題給出瞭解題過程，他們甚至企圖說明二次方程的一般解法，他們還用變量置換的方法把更為複雜的代數問題化成較為簡單的問題。和所有的古代文明一樣，巴比倫的代數問題和解題方法都是用語言描述的，而不是用符號來表示的。
二次方程的求解是巴比倫代數的一個基本問題。比如求出一個數，使它與它的倒數之和等於給定的一個數，用現代的符號來表示，巴比倫人要求出下列方程的解：
整理後就是一個關於x的二次方程，即
他們先作出(b/2)²，再作出
然後得到答案：
這實際上說明巴比倫人是知道二次方程的求根公式的。比如給定兩數之和與兩數之積而求這兩個數，即
由此，就可以立即得出x和y是下面這個方程的解：
關於二次方程的具體解法，有一個大不列顛博物館館藏的編號為BM13901的文本，（見《早期數學史選篇》第27頁）共有24節內容，其中第六節的內容翻譯如下：
我把我的正方形面積加上正方形變長的三分之二得
0；35。取1作“係數”，係數1的三分之二是0；40。
其一半是0；20，將它乘以0；20，（結果是）0；6，40，
把它加到0；35上，（結果是）0；41。40的平方根是
0；50。將0；20自乘，並從0；50中減去，那麼0；30
就是正方形的邊長。
這一例題陳述並求解了下列二次方程：
2/3是用一個特殊的記號寫的。第一步是把2/3化為六十進制的數0；40。如果我們按照文本中陳述的解法一步一步作下去，就會得到如下的表達式：
我們知道，二次方程x²＋px = q正數解是：
從上面兩個例子可以看出，巴比倫人對二次方程有著通用的求解方法，其結果和現代的求根公式是一致的。而第二個問題並不是具有實際意義的問題，因為把面積和長度相加，顯然沒有任何真實的幾何意義。
一種可能的解釋是，巴比倫人通過圖形的幾何關係來幫助求解諸如二次方程這樣的代數問題。第二個問題的陳述是非常明確的，使我們可以確切地瞭解一般的解題過程。
然而，任何文本都沒有指明那些蘊含在解題過程中的規則是如何被發現的。所有的古典文明的數學基本都是這種狀態，直到古希臘時代，證明的概念才真正確立起來。
除過二次方程之外，巴比倫人對一些特殊的高次方程也能夠解出來。比如像下面這樣的方程
可以通過變量置換化簡成普通的二次方程來求解。對未知數的表達一般是用文字來敘述的，有時候用來自幾何的術語長、寬、面積等來表示未知數。巴比倫人有時也用特殊的記號來表示未知數。 在有些問題裡，他們用兩個蘇美爾文字來表示互為倒數的未知數。因為這兩個文字在古蘇美爾文裡是象形文字，而它們在當時已經不流行，所以加在阿卡德文裡就等於用兩個特殊的符號來表示未知數，就好像在現代漢語里加入兩個甲骨文字符，是很容易分辨的。
巴比倫的代數涉及的範圍之廣，絲毫不亞於古希臘的數學。他們對於包含兩個未知數的方程組，也提供了詳細的解題過程。我們從泥板文書VAT8389中找到一個解方程組的例子：
兩塊田地中，一塊每沙爾（sar）出產2/3西拉（sila）
穀物，另一塊每沙爾出產1/2西拉穀物。第一塊地的產量比
第二塊地多500西拉。兩塊地的面積總共是1800沙爾，問
每塊地的面積是多大？
用x和y來表示未知面積，則這個問題可以表示為下列方程組：
這個方程組的一個現代的解法是代入法，即從第二個方程裡求出x，然後代入第一個方程裡。但是巴比倫人的解法卻是一種猜測然後加以調整的辦法：他們先假設x和y都等於900，然後代入第一個方程計算：
2/3×900－1/2×900=150
所得到的結果和方程要求的500相差350。為了調整得數，他們認為x的值每增加一個單位，則y的值會相應的減少一個單位，從而“函數”(2/3)x - (1/2)y就會增加2/3+1/2=7/6。因此，只需要解方程(7/6)z=350,得到z=300，則x=900+z=1200，y=900-z=600。這個答案是正確的，說明巴比倫人對於方程的線性性質也有所理解。
§1.6 巴比倫的幾何
相對於算術和代數，巴比倫的幾何是不太重要的，也不是一門獨立的學科，他們不像希臘人那樣因為理論的興趣而研究幾何，他們總是在解決實際問題時才去研究幾何。
在計算面積的問題裡，有些三角形是否是直角三角形，四邊形是否是正方形等等，這些總不是很明確。巴比倫人有許多公式用來計算各類圖形的面積，他們甚至也有計算面積的數表——相當於今天的係數表，是一種反映不同幾何圖形的某些數學關係的常數表。比如對三角形給出的係數是0；30，就是十進制的1/2，表示三角形的面積是底乘以高的一半，等等。
計算圓的周長和麵積，從來都是一個困難的問題，沒有任何簡便的方法來準確地計算一個給定直徑的圓的周長和麵積。在許多巴比倫的泥板上，圓的周長是當作直徑的三倍來計算的。稍作簡單的測量，就可以發現周長比直徑的三倍大，但是巴比倫人就是這樣用的。很明顯這是一個經驗的數值，對於實用來講精度也足夠了，也許還因為計算方便，所以流傳了很久。
在許多的楔形文件中，更多的問題是求圓的面積。巴比倫人給出了一個計算圓面積的公式;
式中C是周長，d是直徑。這個公式將圓面積的計算和周長聯繫了起來。按今天的圓面積公式來說，巴比倫的這個公式也是正確的，問題的關鍵是如何來計算周長。
巴比倫的楔形文獻中沒有給出他們是如何得到這個公式的。一種可能的解釋是，把圓切割成許多小扇形，然後把他們重新排列成一個近似的矩形，這樣，矩形的長邊是周長的一半，短邊就等於圓的半徑，這樣就可以得到上述的計算公式。巴比倫人還有另外一個計算圓面積的公式：
在這個公式裡他們用3來代表π，但是，在他們給出正六邊形及其外接圓周長之比時，從計算的結果可以知道，他們是用25/8作為π值的。
有一個計算等腰梯形面積的問題，梯形的上下底和斜邊都是給定的。他們給出了正確的計算公式，和我們今天公式是一樣的。
在我們前面提到的YBC7289的泥板上，畫著一個對角線連接起來的正方形。在這塊泥板上，我們找到了三組數字：
a = 30
b = 1,24,51,10
c = 42,25,35
根據圖形，a顯然是正方形的邊長，假設c是正方形的對角線，根據畢達哥拉斯定理，
則c² = 2a²，
我們將圖形中c記為42；25,35，化成十進制數是42.4263888...這是c的值，再除以30，得到1.4142129，這恰好是2的平方根的近似值，而我們如果將b記為1；24,51,10，化成十進制數是1.4142128，由此可知，b就是2的平方根。
這塊只有一個圖形和三個數字的簡單泥板告訴我們，巴比倫人已經瞭解正方形的對角線與其邊長的的關係。結合其他文本，我們知道巴比倫人已經掌握了畢達哥拉斯定理的全部概念。
§1.7 普林斯頓322泥板
我們接下來介紹美國哥倫比亞大學收藏的編號為普林斯頓322的泥版。該泥板上的文本說明巴比倫數學已經達到了比較高深的水平。該文本處理的是我們通常所說的畢達哥拉斯三元數組，即由三個整數組成的數組，例如3,4,5或7,24,25。數組中的三個數代表直角三角形的三條邊。因此，數組中三個數滿足方程
那麼，這種三元數組共有多少？我們如何求出它們？很顯然，我們根據數組3,4,5，立即可以得到無窮多組畢達哥拉斯三元數組，即3n，4n，5n，這裡n = 2,3,4...。但是，我們只能把它們都看作是用3,4,5表示的一組數，這組數就稱為約化三元數組，又稱為本原三元數組。所有畢達哥拉斯三元數組都是約化三元數組。
在普林斯頓322泥板上，巴比倫人列舉了十五行對應於x²/y²，x，z的數值，其中x，y，z是約化的畢達哥拉斯三元數組。
畢達哥拉斯三元數組是不定方程（1）的正整數解，三世紀的古希臘數學家丟番圖才開始研究不定方程的解，後來發展成為數論的一個分支學科。那麼，巴比倫人是如何構造出這張表的？他們的目的又是什麼？由於普林斯頓322泥板的左半部分毀壞，這兩個問題目前已經找不到答案。但是，我們有一個畢達哥拉斯三元數組的定理：
若p和q是整數，當它們滿足以下條件時
1） p＞q＞0；
2）p和q 無公約數（除去1）；
3）p 和q不同時為奇數；
則表達式
將生成所有約化畢達哥拉斯三元數組，並且每個三元數組是唯一的。
例如，當p=2，q=1產生x=3，y=4，z=5；p=3，q=2產生x=5，y=12，z=13 。很顯然，巴比倫人已經知道了這個定理的某種形式，否則，它們不可能給出泥板上的那些數組，因為它們包含的數如此之大（例如x=12709，y=13500，y=18540）絕不可能是通過試算得到的。要知道巴比倫人對這個問題的更加詳細的知識，只能寄希望於發現新的有關三元數組的泥板或其它資料。
【參考文獻】
- 《美索不達米亞考古》，【英】塞頓·勞埃德(Seton Lloyd )著，楊建華譯，文物出社1990年10月。
- 《全球通史》【美】斯塔夫裡阿諾斯(Stavrianos)著，董書慧等譯，北京大學出版社2005年6月。
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- 《早期數學史選篇》，【美】A.艾鮑著，周明強譯，北京大學出版社1990年3月版。