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淺談波利亞的數學教育思想
作者：張茹
作品編號：022
投稿時間：2019.7.28
波利亞對數學教育有著自己獨到的見解，對於今天的數學教學困境，我們有必要再次回顧波利亞的數學教育思想，從中獲得有益的借鑑。
作者認為要想更好地理解波利亞的數學教育思想，首先得清楚把握他的數學哲學思想，波利亞本人是如何看待數學的？他的數學觀有何獨特之處？薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》一文中，深入探討了波利亞在數學本體論、方法論以及認識論上與前人的不同之處。本體論方面，他強調數學源於並應用於客觀現實和社會，強調了客觀世界是數學生存和發展的基礎；方法論方面，他強調數學研究不僅需要論證推理，也需要合情推理；而認識論方面則是波利亞數學哲學思想的精華部分，給予後人很大的啟發性。
他的數學教育宗旨是教會思考、培養創造精神、倡導“探索性”，如何教會思考以及培養創造精神，又如何進行探索性教學以及這些宗旨為何能夠得以實現。這些都是源於他的數學教育思想中的哲學認識論基礎：其一，數學具有兩重性；其二，生物發生律在數學教育中同樣適用。也就是說人類後代學習數學和前代認識數學的歷史是相似的，具體而言，這種生物發生律可以在課程設計或教學時決定所教的內容和理論，可以預見用什麼樣的先後順序和適當方法來講授這些內容。（詳見《一生的解題者—波利亞數學教育思想解讀》，馬文靜）
作者認為，正是波利亞的教育宗旨決定了他的數學教育思想。他認為數學教育要教會學生思考，那麼數學中所謂的思考是什麼？怎樣教會思考？通過什麼來教會思考？這一系列的問題可在他的解題思想中得到答案；他也認為數學教育應該培養學生的創造精神，而一直以來人們對於數學是演繹科學的認識束縛著創造精神，它使得人們相信數學學習必須按照嚴格的演繹推論進行，不得有任何差池。但波利亞認為這種想法是偏頗的，原因在於人們只認識到數學這門學科的獨特性，而忽略了它與其它學科的共性。波利亞以數學發展史上豐富的數學教學研究案例、數學名家的教學思想和數學思維方法，並結合他本人從事數學研究的實際經驗闡明瞭數學發現法——合情推理的重要性。（薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》）；他還一直強調自己用的方法是探索性的，啟發性的，他將教師和學生之間的教學關係比喻為推銷員和顧客的關係，有時顧客不買推銷員的東西，我們不該責怪顧客，從原則上講顧客總是對的，有時候，從實際上講，顧客也是對的。所以你不能把東西硬塞給顧客，而要引導顧客去買你的東西。雖然這種啟發法的思想在孔子時代以及蘇格拉底時代就已提出，但是他成功地復興了“現代啟發法”（正如他自己在《怎樣解題》第一版印刷序中提到的那樣“雖然它已經不再那麼流行了，但是它有過一段很長的歷史，而且也許還會有其將來。”）而且波利亞對於啟發法的研究是現代數學問題解決研究的先驅，美國問題解決的早期研究主要集中在對啟發法的明確闡述和進一步發揮上，蕭恩菲爾德的《數學問題解決》就是在波利亞的基礎上進一步研究得來的，可以說沒有波利亞就沒有現代數學問題解決。
波利亞的在數學教育領域的貢獻主要集中在解題思想、歸納思想、教師培訓思想和學教思想上。
第一、可以毫不誇張的說，波利亞在數學解題研究方面獨樹一幟，他開創了一個時代。他的解題思想主要體現在其《怎樣解題》一書中，為何波利亞會產生這樣的想法，他在該書的第一次印刷序中提到：在他還處於學生時代時，他在聽課、看書以及試圖領會所給出的解答和事實時，總有一個問題困惑著他“是的，這個解答看來是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這樣一個解答呢？”，後來他在《數學的發現》一書中提到過這種感覺“這種解法太突如其來了，不曉得是從哪裡蹦出來的，簡直就像從一隻帽子裡蹦出一隻兔子一樣”，除了他自身困惑之外，還有一個重要原因就是美國當時的數學教師培訓水平令人堪憂。（我想進一步的解題思想研究，可以參考《怎樣解題》）
第二、數學一直以來被人認為是建立在公理和定理上的演繹科學，而波利亞則認為數學具有二重性：它既是一門歐幾里得式的嚴謹的演繹科學，但在創造過程中又是一門實驗性的歸納科學。因此，他很注重培養學生的猜想能力。在《數學與合情推理》一書中他具體回答了這樣兩個問題：其一，怎樣使得歸納更可靠？其二，是否存在一定的歸納法則？根據第一個問題，他提出了“基本歸納模式”，這不僅具有獨創性，更具有啟發性。（可以進一步閱讀《數學與合情推理》）
第三、這樣的一個現實困境似乎一直存在：教師培訓過程中理論和實踐的脫節。準教師們在學校學的似乎只要走出校門就變得折價，而實踐中的問題又從不會進入高校課堂。在波利亞看來，教師培訓的一個重大缺陷就是：我們希望我們的教師能夠培養學生的某些品質，而這些品質教師自身都沒有，他又如何能培養出這樣的學生了？所有的人無一例外的都希望學生擁有一些美好的品質，但卻沒人對數學教師提出這樣的品質要求，這難道不奇怪嗎？波利亞認為，要改善教師培訓水平，要回答兩個問題，而這兩個問題又是密切相關的：其一，學院應當給未來的教師提供什麼樣的課程？其二，中學應當給他們的學生教些什麼？對於後者的回答是無法統一的，但在波利亞看來，至少可以統一一點：任何學問都包括知識和能力兩方面。而實踐告訴我們，數學裡，能力比起單單具有一些知識來，要重要的多。因此，我們應該在授予一定數量知識的同時，還應教會他們一定的解決問題的能力。那麼對於教師培訓就得涉及兩類課程——“業務”課程和“方法”課程。首先，業務知識方面，在波利亞看來，當時一般水平的高中數學教師不僅沒有積極主動的數學工作的經驗，甚至沒有實際掌握他要去教的那些高中教材。其次，方法知識方面，波利亞根據自己工作經驗發現，許多教師對此情緒並不高，當時有一個對教師的這種普遍情緒的形象說法：數學系給我們的是啃不動的硬牛排，而教育學院給的則是一碗沒有肉的白水湯。因此，波利亞就提出了這樣一個問題“教學是可以教的嗎？”而事實上，他自己已經回答了這個問題，他認為方法課程是有益的。另外，波利亞當年寫成他的經典著作的一個直接動機就是想改善當時美國中學教師的培訓，從而提高中學的數學教學水平，對於今天的我們而言，波利亞當時面對的問題依然存在，應試教育的頑固和大學教育質量的問題，或許使得問題更加嚴峻，希望波利亞的數學教育思想有助於改善目前數學教學和學習的現狀。（《數學的發現》一書中有更詳細的記錄）
第四、人們一直認為教學既是一門科學，也是一門藝術。在波利亞看來，教學不是科學，而是藝術。他說“假如教學這件事可以完全被科學的事實和理論所規定，那我也就不必談論它們徒費你的時間了。”他認為教學和唱戲、音樂以及詩歌都有共同之處。他認為唱戲的主要藝術格式是“表演”。（教學也需要表演，假如你在某個班要講一個很熟的證明，而過去的許多年之中，你已在同一課程中講過許多遍了，你對此已經沒有多大興趣，但請不要在課堂上表現出來，假如你表現出厭煩，那麼整個課堂也會如此。開始證明的時候，你要擺出興奮的樣子；證明進行的過程中，要裝出有許多點子；證明結束時，還要表現出驚奇和得意。你多少應當做些表演，因為有時候你的學生也許從你的舉止中比你所講的主題中學到的更多。）而音樂的主要藝術格式是“變奏曲調”和“迴旋曲”。（變奏曲調的藝術格式應用到教學中就是：開始時用最簡單的形式講你的東西，然後略加變化的重複它，然後又增加一點新的色彩再次重複它，最終在你結束時，又可以回到原來簡單的形式上。而回旋曲格式的應用則是：你把同一句最重要的話不加改變或很少改變地重複幾次，然後在兩次重複之間加入若干適當對照的敘述材料）（參見《數學的發現》一書）
波利亞的思想是具有時代啟發性的。他使我們認識到：我們的數學課程體系和教材內容一般沿知識的縱向展開，採用“定義—定理法則—證明—應用”的純形式模式，突出高度完善的知識體系，而對知識的發明（發現）的過程則採用“濃縮”的形式，或幾乎略去，缺乏必要的提煉、總結和再現。這和教學法是顛倒的，束縛了學生的數學直覺和數學想象。
但任何一種思想都不是萬能的，既有積極之處，也有不足之處，我們在認真學習研究波利亞思想的同時，也要關注時代的發展，積極改進，發揮思想的最大優勢。康武在《波利亞數學教育思想述評》一文中指出：波利亞解題的四階段模式，作為啟發式過程的基本框架，是能夠成功地促進問題解決的，但是他忽視了元認知過程，至少元認知過程在波利亞的解題模式中表現不明顯。也就是說有時我們知道一件事情應該怎麼做，也知道如何做的效果最好，但並不代表我們能夠那樣做，如果我們不能很好地採取一些諸如調節、監控自己認知的策略，我們很難做到自己應該做的那樣。若我們僅僅是知道解題的四階段模型，而無法在解題過程中按照這樣的四個階段思考，那麼我們還是沒有很好地解決問題。
其次，認知科學表明，人們頭腦中的知識是以組塊的形式呈現的，而不是以單個的內容，而我們若按照波利亞的方法進行，更多強調的是單個的知識內容，這樣長久以往是不利的（你若去看看解題表，將會更明白）
另外，波利亞認為解題是人類最富有特徵性的活動，他認為數學的才智就體現在解題上。這容易使人誤會。因此有人拿此說法作為“題海訓練”的理論基礎，認為數學學習就是學習如何解題，並儘量用不同方法解題，有人對方法多樣化的追求遠遠超過了方法優化的追求，有點本末倒置。這裡一定要明確這裡所指的問題，不僅僅是常規的，還包括那些要求要求有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創造精神的問題。波利亞在《怎樣解題》第一次印刷序中也明確指出“如果一位數學教師把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規運算，那麼他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失他的良機。”
反思：本文對於波利亞的數學教育思想僅處於簡單介紹程度，沒有個個深入探討，有興趣的讀者可以繼續閱讀相關書籍。
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作者：張茹
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波利亞對數學教育有著自己獨到的見解，對於今天的數學教學困境，我們有必要再次回顧波利亞的數學教育思想，從中獲得有益的借鑑。
作者認為要想更好地理解波利亞的數學教育思想，首先得清楚把握他的數學哲學思想，波利亞本人是如何看待數學的？他的數學觀有何獨特之處？薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》一文中，深入探討了波利亞在數學本體論、方法論以及認識論上與前人的不同之處。本體論方面，他強調數學源於並應用於客觀現實和社會，強調了客觀世界是數學生存和發展的基礎；方法論方面，他強調數學研究不僅需要論證推理，也需要合情推理；而認識論方面則是波利亞數學哲學思想的精華部分，給予後人很大的啟發性。
他的數學教育宗旨是教會思考、培養創造精神、倡導“探索性”，如何教會思考以及培養創造精神，又如何進行探索性教學以及這些宗旨為何能夠得以實現。這些都是源於他的數學教育思想中的哲學認識論基礎：其一，數學具有兩重性；其二，生物發生律在數學教育中同樣適用。也就是說人類後代學習數學和前代認識數學的歷史是相似的，具體而言，這種生物發生律可以在課程設計或教學時決定所教的內容和理論，可以預見用什麼樣的先後順序和適當方法來講授這些內容。（詳見《一生的解題者—波利亞數學教育思想解讀》，馬文靜）
作者認為，正是波利亞的教育宗旨決定了他的數學教育思想。他認為數學教育要教會學生思考，那麼數學中所謂的思考是什麼？怎樣教會思考？通過什麼來教會思考？這一系列的問題可在他的解題思想中得到答案；他也認為數學教育應該培養學生的創造精神，而一直以來人們對於數學是演繹科學的認識束縛著創造精神，它使得人們相信數學學習必須按照嚴格的演繹推論進行，不得有任何差池。但波利亞認為這種想法是偏頗的，原因在於人們只認識到數學這門學科的獨特性，而忽略了它與其它學科的共性。波利亞以數學發展史上豐富的數學教學研究案例、數學名家的教學思想和數學思維方法，並結合他本人從事數學研究的實際經驗闡明瞭數學發現法——合情推理的重要性。（薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》）；他還一直強調自己用的方法是探索性的，啟發性的，他將教師和學生之間的教學關係比喻為推銷員和顧客的關係，有時顧客不買推銷員的東西，我們不該責怪顧客，從原則上講顧客總是對的，有時候，從實際上講，顧客也是對的。所以你不能把東西硬塞給顧客，而要引導顧客去買你的東西。雖然這種啟發法的思想在孔子時代以及蘇格拉底時代就已提出，但是他成功地復興了“現代啟發法”（正如他自己在《怎樣解題》第一版印刷序中提到的那樣“雖然它已經不再那麼流行了，但是它有過一段很長的歷史，而且也許還會有其將來。”）而且波利亞對於啟發法的研究是現代數學問題解決研究的先驅，美國問題解決的早期研究主要集中在對啟發法的明確闡述和進一步發揮上，蕭恩菲爾德的《數學問題解決》就是在波利亞的基礎上進一步研究得來的，可以說沒有波利亞就沒有現代數學問題解決。
波利亞的在數學教育領域的貢獻主要集中在解題思想、歸納思想、教師培訓思想和學教思想上。
第一、可以毫不誇張的說，波利亞在數學解題研究方面獨樹一幟，他開創了一個時代。他的解題思想主要體現在其《怎樣解題》一書中，為何波利亞會產生這樣的想法，他在該書的第一次印刷序中提到：在他還處於學生時代時，他在聽課、看書以及試圖領會所給出的解答和事實時，總有一個問題困惑著他“是的，這個解答看來是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這樣一個解答呢？”，後來他在《數學的發現》一書中提到過這種感覺“這種解法太突如其來了，不曉得是從哪裡蹦出來的，簡直就像從一隻帽子裡蹦出一隻兔子一樣”，除了他自身困惑之外，還有一個重要原因就是美國當時的數學教師培訓水平令人堪憂。（我想進一步的解題思想研究，可以參考《怎樣解題》）
第二、數學一直以來被人認為是建立在公理和定理上的演繹科學，而波利亞則認為數學具有二重性：它既是一門歐幾里得式的嚴謹的演繹科學，但在創造過程中又是一門實驗性的歸納科學。因此，他很注重培養學生的猜想能力。在《數學與合情推理》一書中他具體回答了這樣兩個問題：其一，怎樣使得歸納更可靠？其二，是否存在一定的歸納法則？根據第一個問題，他提出了“基本歸納模式”，這不僅具有獨創性，更具有啟發性。（可以進一步閱讀《數學與合情推理》）
第三、這樣的一個現實困境似乎一直存在：教師培訓過程中理論和實踐的脫節。準教師們在學校學的似乎只要走出校門就變得折價，而實踐中的問題又從不會進入高校課堂。在波利亞看來，教師培訓的一個重大缺陷就是：我們希望我們的教師能夠培養學生的某些品質，而這些品質教師自身都沒有，他又如何能培養出這樣的學生了？所有的人無一例外的都希望學生擁有一些美好的品質，但卻沒人對數學教師提出這樣的品質要求，這難道不奇怪嗎？波利亞認為，要改善教師培訓水平，要回答兩個問題，而這兩個問題又是密切相關的：其一，學院應當給未來的教師提供什麼樣的課程？其二，中學應當給他們的學生教些什麼？對於後者的回答是無法統一的，但在波利亞看來，至少可以統一一點：任何學問都包括知識和能力兩方面。而實踐告訴我們，數學裡，能力比起單單具有一些知識來，要重要的多。因此，我們應該在授予一定數量知識的同時，還應教會他們一定的解決問題的能力。那麼對於教師培訓就得涉及兩類課程——“業務”課程和“方法”課程。首先，業務知識方面，在波利亞看來，當時一般水平的高中數學教師不僅沒有積極主動的數學工作的經驗，甚至沒有實際掌握他要去教的那些高中教材。其次，方法知識方面，波利亞根據自己工作經驗發現，許多教師對此情緒並不高，當時有一個對教師的這種普遍情緒的形象說法：數學系給我們的是啃不動的硬牛排，而教育學院給的則是一碗沒有肉的白水湯。因此，波利亞就提出了這樣一個問題“教學是可以教的嗎？”而事實上，他自己已經回答了這個問題，他認為方法課程是有益的。另外，波利亞當年寫成他的經典著作的一個直接動機就是想改善當時美國中學教師的培訓，從而提高中學的數學教學水平，對於今天的我們而言，波利亞當時面對的問題依然存在，應試教育的頑固和大學教育質量的問題，或許使得問題更加嚴峻，希望波利亞的數學教育思想有助於改善目前數學教學和學習的現狀。（《數學的發現》一書中有更詳細的記錄）
第四、人們一直認為教學既是一門科學，也是一門藝術。在波利亞看來，教學不是科學，而是藝術。他說“假如教學這件事可以完全被科學的事實和理論所規定，那我也就不必談論它們徒費你的時間了。”他認為教學和唱戲、音樂以及詩歌都有共同之處。他認為唱戲的主要藝術格式是“表演”。（教學也需要表演，假如你在某個班要講一個很熟的證明，而過去的許多年之中，你已在同一課程中講過許多遍了，你對此已經沒有多大興趣，但請不要在課堂上表現出來，假如你表現出厭煩，那麼整個課堂也會如此。開始證明的時候，你要擺出興奮的樣子；證明進行的過程中，要裝出有許多點子；證明結束時，還要表現出驚奇和得意。你多少應當做些表演，因為有時候你的學生也許從你的舉止中比你所講的主題中學到的更多。）而音樂的主要藝術格式是“變奏曲調”和“迴旋曲”。（變奏曲調的藝術格式應用到教學中就是：開始時用最簡單的形式講你的東西，然後略加變化的重複它，然後又增加一點新的色彩再次重複它，最終在你結束時，又可以回到原來簡單的形式上。而回旋曲格式的應用則是：你把同一句最重要的話不加改變或很少改變地重複幾次，然後在兩次重複之間加入若干適當對照的敘述材料）（參見《數學的發現》一書）
波利亞的思想是具有時代啟發性的。他使我們認識到：我們的數學課程體系和教材內容一般沿知識的縱向展開，採用“定義—定理法則—證明—應用”的純形式模式，突出高度完善的知識體系，而對知識的發明（發現）的過程則採用“濃縮”的形式，或幾乎略去，缺乏必要的提煉、總結和再現。這和教學法是顛倒的，束縛了學生的數學直覺和數學想象。
但任何一種思想都不是萬能的，既有積極之處，也有不足之處，我們在認真學習研究波利亞思想的同時，也要關注時代的發展，積極改進，發揮思想的最大優勢。康武在《波利亞數學教育思想述評》一文中指出：波利亞解題的四階段模式，作為啟發式過程的基本框架，是能夠成功地促進問題解決的，但是他忽視了元認知過程，至少元認知過程在波利亞的解題模式中表現不明顯。也就是說有時我們知道一件事情應該怎麼做，也知道如何做的效果最好，但並不代表我們能夠那樣做，如果我們不能很好地採取一些諸如調節、監控自己認知的策略，我們很難做到自己應該做的那樣。若我們僅僅是知道解題的四階段模型，而無法在解題過程中按照這樣的四個階段思考，那麼我們還是沒有很好地解決問題。
其次，認知科學表明，人們頭腦中的知識是以組塊的形式呈現的，而不是以單個的內容，而我們若按照波利亞的方法進行，更多強調的是單個的知識內容，這樣長久以往是不利的（你若去看看解題表，將會更明白）
另外，波利亞認為解題是人類最富有特徵性的活動，他認為數學的才智就體現在解題上。這容易使人誤會。因此有人拿此說法作為“題海訓練”的理論基礎，認為數學學習就是學習如何解題，並儘量用不同方法解題，有人對方法多樣化的追求遠遠超過了方法優化的追求，有點本末倒置。這裡一定要明確這裡所指的問題，不僅僅是常規的，還包括那些要求要求有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創造精神的問題。波利亞在《怎樣解題》第一次印刷序中也明確指出“如果一位數學教師把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規運算，那麼他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失他的良機。”
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波利亞對數學教育有著自己獨到的見解，對於今天的數學教學困境，我們有必要再次回顧波利亞的數學教育思想，從中獲得有益的借鑑。
作者認為要想更好地理解波利亞的數學教育思想，首先得清楚把握他的數學哲學思想，波利亞本人是如何看待數學的？他的數學觀有何獨特之處？薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》一文中，深入探討了波利亞在數學本體論、方法論以及認識論上與前人的不同之處。本體論方面，他強調數學源於並應用於客觀現實和社會，強調了客觀世界是數學生存和發展的基礎；方法論方面，他強調數學研究不僅需要論證推理，也需要合情推理；而認識論方面則是波利亞數學哲學思想的精華部分，給予後人很大的啟發性。
他的數學教育宗旨是教會思考、培養創造精神、倡導“探索性”，如何教會思考以及培養創造精神，又如何進行探索性教學以及這些宗旨為何能夠得以實現。這些都是源於他的數學教育思想中的哲學認識論基礎：其一，數學具有兩重性；其二，生物發生律在數學教育中同樣適用。也就是說人類後代學習數學和前代認識數學的歷史是相似的，具體而言，這種生物發生律可以在課程設計或教學時決定所教的內容和理論，可以預見用什麼樣的先後順序和適當方法來講授這些內容。（詳見《一生的解題者—波利亞數學教育思想解讀》，馬文靜）
作者認為，正是波利亞的教育宗旨決定了他的數學教育思想。他認為數學教育要教會學生思考，那麼數學中所謂的思考是什麼？怎樣教會思考？通過什麼來教會思考？這一系列的問題可在他的解題思想中得到答案；他也認為數學教育應該培養學生的創造精神，而一直以來人們對於數學是演繹科學的認識束縛著創造精神，它使得人們相信數學學習必須按照嚴格的演繹推論進行，不得有任何差池。但波利亞認為這種想法是偏頗的，原因在於人們只認識到數學這門學科的獨特性，而忽略了它與其它學科的共性。波利亞以數學發展史上豐富的數學教學研究案例、數學名家的教學思想和數學思維方法，並結合他本人從事數學研究的實際經驗闡明瞭數學發現法——合情推理的重要性。（薛迪群在《喬治.波利亞數學哲學思想淺探》）；他還一直強調自己用的方法是探索性的，啟發性的，他將教師和學生之間的教學關係比喻為推銷員和顧客的關係，有時顧客不買推銷員的東西，我們不該責怪顧客，從原則上講顧客總是對的，有時候，從實際上講，顧客也是對的。所以你不能把東西硬塞給顧客，而要引導顧客去買你的東西。雖然這種啟發法的思想在孔子時代以及蘇格拉底時代就已提出，但是他成功地復興了“現代啟發法”（正如他自己在《怎樣解題》第一版印刷序中提到的那樣“雖然它已經不再那麼流行了，但是它有過一段很長的歷史，而且也許還會有其將來。”）而且波利亞對於啟發法的研究是現代數學問題解決研究的先驅，美國問題解決的早期研究主要集中在對啟發法的明確闡述和進一步發揮上，蕭恩菲爾德的《數學問題解決》就是在波利亞的基礎上進一步研究得來的，可以說沒有波利亞就沒有現代數學問題解決。
波利亞的在數學教育領域的貢獻主要集中在解題思想、歸納思想、教師培訓思想和學教思想上。
第一、可以毫不誇張的說，波利亞在數學解題研究方面獨樹一幟，他開創了一個時代。他的解題思想主要體現在其《怎樣解題》一書中，為何波利亞會產生這樣的想法，他在該書的第一次印刷序中提到：在他還處於學生時代時，他在聽課、看書以及試圖領會所給出的解答和事實時，總有一個問題困惑著他“是的，這個解答看來是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這樣一個解答呢？”，後來他在《數學的發現》一書中提到過這種感覺“這種解法太突如其來了，不曉得是從哪裡蹦出來的，簡直就像從一隻帽子裡蹦出一隻兔子一樣”，除了他自身困惑之外，還有一個重要原因就是美國當時的數學教師培訓水平令人堪憂。（我想進一步的解題思想研究，可以參考《怎樣解題》）
第二、數學一直以來被人認為是建立在公理和定理上的演繹科學，而波利亞則認為數學具有二重性：它既是一門歐幾里得式的嚴謹的演繹科學，但在創造過程中又是一門實驗性的歸納科學。因此，他很注重培養學生的猜想能力。在《數學與合情推理》一書中他具體回答了這樣兩個問題：其一，怎樣使得歸納更可靠？其二，是否存在一定的歸納法則？根據第一個問題，他提出了“基本歸納模式”，這不僅具有獨創性，更具有啟發性。（可以進一步閱讀《數學與合情推理》）
第三、這樣的一個現實困境似乎一直存在：教師培訓過程中理論和實踐的脫節。準教師們在學校學的似乎只要走出校門就變得折價，而實踐中的問題又從不會進入高校課堂。在波利亞看來，教師培訓的一個重大缺陷就是：我們希望我們的教師能夠培養學生的某些品質，而這些品質教師自身都沒有，他又如何能培養出這樣的學生了？所有的人無一例外的都希望學生擁有一些美好的品質，但卻沒人對數學教師提出這樣的品質要求，這難道不奇怪嗎？波利亞認為，要改善教師培訓水平，要回答兩個問題，而這兩個問題又是密切相關的：其一，學院應當給未來的教師提供什麼樣的課程？其二，中學應當給他們的學生教些什麼？對於後者的回答是無法統一的，但在波利亞看來，至少可以統一一點：任何學問都包括知識和能力兩方面。而實踐告訴我們，數學裡，能力比起單單具有一些知識來，要重要的多。因此，我們應該在授予一定數量知識的同時，還應教會他們一定的解決問題的能力。那麼對於教師培訓就得涉及兩類課程——“業務”課程和“方法”課程。首先，業務知識方面，在波利亞看來，當時一般水平的高中數學教師不僅沒有積極主動的數學工作的經驗，甚至沒有實際掌握他要去教的那些高中教材。其次，方法知識方面，波利亞根據自己工作經驗發現，許多教師對此情緒並不高，當時有一個對教師的這種普遍情緒的形象說法：數學系給我們的是啃不動的硬牛排，而教育學院給的則是一碗沒有肉的白水湯。因此，波利亞就提出了這樣一個問題“教學是可以教的嗎？”而事實上，他自己已經回答了這個問題，他認為方法課程是有益的。另外，波利亞當年寫成他的經典著作的一個直接動機就是想改善當時美國中學教師的培訓，從而提高中學的數學教學水平，對於今天的我們而言，波利亞當時面對的問題依然存在，應試教育的頑固和大學教育質量的問題，或許使得問題更加嚴峻，希望波利亞的數學教育思想有助於改善目前數學教學和學習的現狀。（《數學的發現》一書中有更詳細的記錄）
第四、人們一直認為教學既是一門科學，也是一門藝術。在波利亞看來，教學不是科學，而是藝術。他說“假如教學這件事可以完全被科學的事實和理論所規定，那我也就不必談論它們徒費你的時間了。”他認為教學和唱戲、音樂以及詩歌都有共同之處。他認為唱戲的主要藝術格式是“表演”。（教學也需要表演，假如你在某個班要講一個很熟的證明，而過去的許多年之中，你已在同一課程中講過許多遍了，你對此已經沒有多大興趣，但請不要在課堂上表現出來，假如你表現出厭煩，那麼整個課堂也會如此。開始證明的時候，你要擺出興奮的樣子；證明進行的過程中，要裝出有許多點子；證明結束時，還要表現出驚奇和得意。你多少應當做些表演，因為有時候你的學生也許從你的舉止中比你所講的主題中學到的更多。）而音樂的主要藝術格式是“變奏曲調”和“迴旋曲”。（變奏曲調的藝術格式應用到教學中就是：開始時用最簡單的形式講你的東西，然後略加變化的重複它，然後又增加一點新的色彩再次重複它，最終在你結束時，又可以回到原來簡單的形式上。而回旋曲格式的應用則是：你把同一句最重要的話不加改變或很少改變地重複幾次，然後在兩次重複之間加入若干適當對照的敘述材料）（參見《數學的發現》一書）
波利亞的思想是具有時代啟發性的。他使我們認識到：我們的數學課程體系和教材內容一般沿知識的縱向展開，採用“定義—定理法則—證明—應用”的純形式模式，突出高度完善的知識體系，而對知識的發明（發現）的過程則採用“濃縮”的形式，或幾乎略去，缺乏必要的提煉、總結和再現。這和教學法是顛倒的，束縛了學生的數學直覺和數學想象。
但任何一種思想都不是萬能的，既有積極之處，也有不足之處，我們在認真學習研究波利亞思想的同時，也要關注時代的發展，積極改進，發揮思想的最大優勢。康武在《波利亞數學教育思想述評》一文中指出：波利亞解題的四階段模式，作為啟發式過程的基本框架，是能夠成功地促進問題解決的，但是他忽視了元認知過程，至少元認知過程在波利亞的解題模式中表現不明顯。也就是說有時我們知道一件事情應該怎麼做，也知道如何做的效果最好，但並不代表我們能夠那樣做，如果我們不能很好地採取一些諸如調節、監控自己認知的策略，我們很難做到自己應該做的那樣。若我們僅僅是知道解題的四階段模型，而無法在解題過程中按照這樣的四個階段思考，那麼我們還是沒有很好地解決問題。
其次，認知科學表明，人們頭腦中的知識是以組塊的形式呈現的，而不是以單個的內容，而我們若按照波利亞的方法進行，更多強調的是單個的知識內容，這樣長久以往是不利的（你若去看看解題表，將會更明白）
另外，波利亞認為解題是人類最富有特徵性的活動，他認為數學的才智就體現在解題上。這容易使人誤會。因此有人拿此說法作為“題海訓練”的理論基礎，認為數學學習就是學習如何解題，並儘量用不同方法解題，有人對方法多樣化的追求遠遠超過了方法優化的追求，有點本末倒置。這裡一定要明確這裡所指的問題，不僅僅是常規的，還包括那些要求要求有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創造精神的問題。波利亞在《怎樣解題》第一次印刷序中也明確指出“如果一位數學教師把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規運算，那麼他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失他的良機。”
反思：本文對於波利亞的數學教育思想僅處於簡單介紹程度，沒有個個深入探討，有興趣的讀者可以繼續閱讀相關書籍。
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