原創： 唐乃遷 算法與數學之美
e是一個重要的常數，但是我一直不知道，它的真正含義是什麼。
它不像π。大家都知道，π代表了圓的周長與直徑之比3.14159，可是如果我問你，e代表了什麼。你能回答嗎？
維基百科說：
"e是自然對數的底數。"
但是，你去看"自然對數"，得到的解釋卻是：
"自然對數是以e為底的對數函數，e是一個無理數，約等於2.718281828。"
這就構成了循環定義，完全沒有說e是什麼。數學家選擇這樣一個無理數作為底數，還號稱這種對數很"自然"，這難道不是很奇怪的事情嗎？
原因很簡單，因為e和自然數0,1,2……一樣自然。
1
可以說，數學整個學科都是人為創造出來，被用來了解自然和了解人類本身的。
由於人類有可數的十根手指，於是我們用了十進制。不過如果有一個外星人有四根手指呢？他們是不是就使用四進制呢？
如果外星人是有無法數清的觸手的觸手怪呢？
所以數學的很多分支都是為了瞭解人類本身被研究的，它不自然。
自然的事物中，其中的一種是世界上正在發生的一切。
2
為了研究世界上正在發生的一切，人類在數學之外又創造了物理、化學、生物等等學科，它們被稱作“自然科學”。顯然在這些課本中，數字到底是十進制還是四進制並無大礙，人類正在脫離了解人類本身這一範疇，開始瞭解世界。
人類對世界的最深層次的疑惑，在誕生之日就一直是是：
在下一個時刻會發生什麼？
3
這一疑惑貫穿了人類的全部歷史，在此不深入研究。
不過，此時人類發現：
儘管自己能夠對一些東西做出改變，但是對另一些東西卻無能為力。
如果你推一個東西，這個東西就會動。如果愚公願意，他可以和他的子子孫孫無數代一起把太行山和王屋山搬走。
但是愚公會死，他的子子孫孫都會死。
時間，事物的變化，或許真的如同某些神諭一樣，是上天安排的。
4
在人類對這兩種變化感到深深地迷茫的時候，人類的數學卻在糾結著十進制和四進制的事情，把畢達哥拉斯以後的近兩千年的時間讓位給了宗教。
然而人類不可能徹底把對自然的理解交給神。數學將以一種最新的形態回到我們對自然的理解中。
跟著新的數學而來的，還有物理，化學，生物等等自然科學。
是的，不管你如何討厭它，沒有它，或許現在的世界依然沒有走出教會的中世紀，我們對世界的瞭解，依然是所謂的神諭。
5
瞭解世界的過程中，我們傾向於研究可測量的量。
然而在神學統治世界的兩千年中，變化的特別要素，時間，只能以日晷上的小時來測量。
或許是哪位在封建主的領地裡放羊的小孩，在路過潺潺的山泉的時候的發現吧。
那些一滴一滴，時間間隔相同的緩緩滴落的水滴，敲響了萬能神的喪鐘吧。
人類通過這些水滴，意識到：
身邊一直正在發生的 所謂變化，是可以測量的。
6
鉛球從比薩斜塔的五樓落下，用了六滴水的時間。
而從二樓落下，也要用三滴水的時間。
這是人類對那一種“自己能夠掌握”的變化的初步研究。
也正是在這一次研究中，人類知道了：
我們身邊的一切事物的特徵，除以無時無刻不在流逝的時間，不就是他們的變化嗎。
7
在自然數、幾何之後，數學跑偏兩千年之久。
而在這個我們開始把時間稱作“滴答滴答地流逝”的文藝復興的時代，自然數學盛裝歸來。
和很多人的認識不同，這門新的數學是比代數自然得多的學科。
因為它研究的，就是兩千年來被神掌握的“變化的規律”。
這一自然規律，由於時間的測量技術變得可測量。
也正是這門科學，打破了人類對自然認識的最後一道，也是最難被逾越的一道障礙。
相信不用我說，大家都知道，所謂自然數學有一個更響亮的名字，叫做微積分。
8
人們知道，時間是無時無刻不在流逝的，相應的變化也無時無刻不在發生。
對於變化的研究，先從最容易測量的物體的位置開始。
因為我們已經通過對變化的理解，定義了速度和加速度。
就在水滴旁的男孩將鉛球一次又一次從比薩斜塔上扔下去的時候，他驚訝地找到了一個不變量：
地球給鐵球的加速度。
9
後來，人們發現了所有的位置變化速度的變化，都是人類可以通過自己的力量施加給自然的東西。
此時，人類對自己能夠改變的未來，已經有了初步的理解。
不過人類並不甘心，因為為什麼還有不可掌握的未來存在？
10
一杯熱水什麼時候冷掉？
大火什麼時候熄滅？
植物什麼時候長成？
動物什麼時候繁衍？
很多問題，人類最多隻能改變進程，不能改變結果。
後來，人們發現：
熱水自然會冷掉。
大火自然會熄滅。
植物自然會長成。
動物自然會繁衍。
這裡的“自然”，
就是自然本身賦予事物的有關變化屬性。
11
力，稱為人類改變外界的媒介的東西，是事物隨著外界環境變化的一種屬性。
我們可以表示為：
A物體速度的變化=外界的力
而外界的力和A物體速度無關。
然而熱水的冷卻不一樣。
經過測量，我們發現：
熱水冷卻的速度只和熱水與環境的溫度差正比例相關。
於是我們得到了：
熱水溫度的變化=確定數量×（熱水溫度-環境溫度）
這是自然本身賦予熱水的變化屬性。
與外界無關。
12
於是通過上面熱水的例子，我們把自然本身賦予事物的有關變化屬性抽象一下，總能得到一個等式。
那就是：
A的變化=A本身的某種性質
當然，最簡單的情況當然是：
A的變化=A的數量×確定數量。
為了研究這個簡單的問題，人類又把目光放在了自然界。
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這時自然研究者已經分成了兩隊，一隊前往大自然尋求這個問題答案，只因為他們知道：
自然界很多生物的性質，決定了他們的生活、習性，當然包括了變化。
一堆前往實驗室尋求這個問題的答案，只因為他們已經在實驗室中找到了幾個符合這個問題描述的變化。
我們叫第一種人生物學家，第二種人物理學家。
不過，他們的目標是一樣的。
那是因為，他們都知道：
熱水自然會冷掉。
大火自然會熄滅。
植物自然會長成。
動物自然會繁衍
14
懷著對自然的敬畏，他們上路了。
我們先講生物學家的故事，因為他們很久以前就發現了一些規律。
一對兔子一年生一窩，一年10對兔子存活，t年後一共有多少兔子？
這是一個連小學五年級的學生都會得算數，答案是10的t次方。生物學家在看到
A的變化=A的數量×確定數量
的時候，一下就想到了這個題目。
可以看到，t這個數字，在計算的結果中跑到了10的指數的位置上。
一聲嘆息。生物學家知道，這個老掉牙的題目在幾千年前，人類就已經知道答案了。
如果人類在當時就有所思考，也就沒有所謂的黑暗的中世紀了吧。
但是生物學家知道這並不是問題的答案。
因為，兔子的數量是每年變化一次的，而自然，則要求時間無時無刻不在流逝。
思忖良久，生物學家將“指數”兩個字記在本子上，開始尋找更多的證據。
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此時物理學家正在對著自己誤差巨大的數據發愁。
儘管已經能精確地測出距離和時間，但對於溫度的測量還是一籌莫展。
雖然知道最終的正確數值是一條弧線，但他還要用已知的變化關係去和這一關係對照。
如果能夠得到熱水冷卻的這一條弧線，一切的問題都能迎刃而解吧。
此時，物理學家腦中蹦出一種想法。
推動冷卻的會不會是一種力呢？
可不可以用變化率、變化率的變化率等等來表示呢？
即使它不是一種變化率的疊加，那可不可以用這種變化率來近似呢？
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生物學家找到了更多比兔子繁衍更快的物種。
蘑菇、酵母、細菌……
到了最後，甚至找到了幾秒就能分裂一次的病毒。
他的筆記中，底數在不斷地改變，但是t在指數的位置卻沒有改變。
有一天，在睡夢中，他突然夢見了什麼。
他猛然驚醒，打開床頭櫃，開始計算了起來。
A病毒的性質如果是1分秒鐘分裂成2倍，那它5秒鐘分裂成多少倍？
1秒鐘呢？
那麼它到底具有怎樣的分裂性質呢？
算到最後，他列出了一個算式。
如果它有1分鐘分裂成2倍的性質，
那麼當它分裂成1.10倍的時候，過1分鐘應該分裂成2.20倍。
分裂成1.20倍的時候，過1分鐘又應該分裂成2.40倍。
所以最後的結果，和2倍肯定會有很大的偏差。
經過計算之後，生物學家睏意已消，他抹去了頭上的汗水。
天空泛起了魚肚白，而這個世界已然沒有睡意。
他的草稿本的最後一行是：
自然的底數：limx→+∞ (1+1/x)^x
17
物理學家研製了越來越精確的儀器和設備。
他知道，所謂推動上一層的“力”，也就是變化率是常數罷了，而表現在公式中，則是要多乘上一個時間和時間的係數。
最終的結果，自然是一堆有關時間t的冪的集合。
有一次物理學家突發奇想，於是控制變量之後，物理學家把確定數量值變為了1，把環境變為了0度。也就是說現在熱水溫度的變化率變成了它自己。他堅信這樣可以更方便地測出真正的規律。
此時物理學家突然意識到了什麼。
我們都知道，如果位置變化是t的2次方，那麼它的變化率也就是速度就是2t，變化率的變化率就是2。
那麼如果位置變化是t的7次方呢？
那位置的7重變化率就是1×2×3×4×5×6×7。
那麼由於這一變化由無數的“變化率的變化率”組成，顯然這些“力的推動力”的變化率，是“被這些力推動的力”的整數倍。
而又由於熱水溫度的變化率是它自己，所以每個力都和被它推動的力有確定的倍數關係！
物理學家飛速地列出了最終唯一的關係式，並且當他做完實驗的時候，結果竟然和關係式完全符合！
他笑了，因為他的努力終究有了成果。
他的之上留下了一行算式：
自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……
18
物理學家和生物學家相聚了。
“我已經找到將不可掌握的未來，用自然的公式表達出來了。”
“我也是。”
“自然的公式是指數。”
“不，自然的公式是冪的和。”
物理學家的黑板上寫著Σx=0 +∞(t^x)/x!
而生物學家的黑板上則寫著limx→+∞ (1+1/x)^xt
兩人相視而笑。
是的，自然的公式只有一個，兩個公式事實上完全等同。
19
給它命個名吧，
“我建議用e^x，因為這是一個顯然的指數函數。”生物學家說。
“聽我說，我建議用exp(x)，來表示它的自然和連續性。”物理學家說。
兩人離開，留下了兩塊被拼在一起的黑板。
物理學家那邊，寫著：
exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828
生物學家那邊，寫著：
e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828
而拼起來的黑板，則組成了：
dy/dx=y的方程。
20 尾聲
人類終於邁出了認識未知自然的一步。
從此，即便是自然本身的規律，也已經被人類瞭然於心。
我們不需要再擔心一些不可能發生的事，從而把我們的能力使用在正確的地方。
儘管上文的物理學家和生物學家都是杜撰的人物，不過還是希望讀者能夠通過e這個數值的推斷過程來體會一下e到底是什麼，以及它在科學中的作用。