[遇見數學創作小組] 作者: 心如止水(Java程序員。善於把複雜的數學知識，簡潔易懂地表達出來)
閱讀該文章時要結合註釋來看。為了敘述的完整感，很多拓展內容在註釋上。
半弦表
天文學的發展對精確的製圖提出了要求，人類對角的認識也從定性開始走向定量。
研究角度和長度之間的關係，其實就是在研究函數，所以用的辦法也和之前談過的乘法、對數是一樣的：直接編一個表。
最早的時候托勒密用的就是弦長，不過後來這個表被印度數學家改良了，從“弦長表”改良成了“半弦表”，因為如果要用這個表解任意三角形的話，“半弦”明顯比“弦”好用很多，就是在這張表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其餘角的“半弦”就叫做“餘弦”。[1]
後來，印度人的半弦表經阿拉伯人之手又傳回了歐洲[2]，被翻譯為希臘文 "sinus(sin)"，意為“海灣”，所以在東方人的意識中正弦是“弓弦”，而在西方人的意識中則是“海灣”， "co" 在拉丁語裡有“聯合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“餘弦”。
▲ 虹灣(Sinus Iridum)是月球上西北側的一處撞擊坑
日晷和測量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角邊，最初直角邊之間的關係就是用拉丁文“陰影”命名的，隨著數學的繼續發展，概念也從具象走向抽象，15世紀之後開始用 tangere(tan) 來描述了，這個詞在拉丁文中是“接觸”的意思，而中國人把 "tan" 翻譯為“正切”。這是顯然是從線與圓的關係上來看的，"tan" 所在的直線和圓正好相切。
從具象到抽象
奧地利雷蒂庫斯(G. J. Rheticus,1514—1574)，一改過去用弧與弦來討論，使用直角三角形斜邊與對邊的比來定義角函數[6]，編制了每隔 10" 的角函數表。計算機普及之前，角函數表一直都是數學家手中必不可少的重要工具。
▲ 國內曾出版的精度為8位三角函數值表
不過這種定義方法有缺陷：定義在直角三角形上，鈍角的情況就不存在了，另外從這個角度上理解，我們似乎很難對它的含義作進一步的探究。[3]
隨著解析幾何的發展，人們發現如果在單位圓上定義，那麼角函數可以用圓和三角形的線段，或者座標之比來表示。[5]
鈍角三角形的問題也就迎刃而解了，因為可以把高作在負軸上；這種定義方法也使角從靜態走向動態，負角就出現了，從座標系上來看順時針轉動是角度減少，反之，逆時針則是角度增加。[4]
把這樣得到的 x 和 y 記錄下來，可以畫出圖像；從動態旋轉的角度來看，角度是可以突破 360°的，無需限制函數的定義域，所以優角就出現了。由於角度本身是有周期的，所以函數圖像也是有周期的。
這麼一放，就會觀察到 sin 和 cos 其實就是“二維世界的點，在一維世界上的投影”。這就很容易理解 sin 和 cos 的圖像形狀是“尖尖”的，因為他們相當於“把圓看扁了”；生活經驗也會告訴我們，從投影的角度看圓周運動就是忽快忽慢的。
從幾何意義上可看出：
● sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 的是整個實數集 。因為 tan 是斜率，所以垂直時不存在，定義域為
● 另外，能夠一眼就看出函數值的符號：因為 sin 其實就是 y，所以在角座標上半邊時結果是正的；cos 就是 x，所以在右半邊是正的；tan是 sinα/cosα， 所以“同增異減”，在第一和第三象限是正的。
角函數的應用
角函數還可以看做“解旋”[7]的過程：把旋轉拆分為平移。
所以，會在物理的運動分析上見到它，因為它可以把複雜的曲線運動分解為簡單的直線運動；你也會在受力分析上見到他，可以把平面上的任何力都分解成垂直於平行的兩個力之和(也叫“向量的平行四邊形法則”)。
還可以意識到，描述平面上任意一點，直角座標和角度+長度其實是等價的，這兩種形式的橋樑就是角函數。
在描述旋轉(曲線)的時候，直接用旋轉的量角度(弧度)，比用平移的量(直角座標)要簡潔方便的多，所以我們就多了一種描述曲線的方法，現在可以哪種方便用哪種，所以在雷達屏幕上你可以見到“極座標”。
再舉兩個例子，用極座標方程 y=1表示圓，而用 y=e^(aθ) 表示螺線：
當然向量和複數也都可以用這兩種座標來表示，他們的兩種表示形式都可以用角函數進行變換。
三角形與圓
你會發現，大量的概念都和直角三角形扯上了關係，直角三角形為啥總是出現？
如果從轉動的角度來說直角三角形其實是簡潔的，而任意三角形是複雜的。
➣ 為什麼這樣講呢？
重新來看角和圓的定義(上一篇中談過)，如果轉動的時線段長度是可變的，那麼最後形成的東西就是“任意三角形”了，對應亂亂的軌跡和無序；反之，產生的東西就是“等腰三角形”，對應的是優美的圓弧與有序。
為了計算的方便，我們把“等腰三角形”一份兩半，形成“直角三角形”，同時也把圓弧和全弦一分兩半，形成“半弦”(正弦)。
直角三角形本來就是圓的一部分(都是有序轉動產生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化無序為有序，就意味著一下子多了非常多的已知條件，依靠直角三角形往往能讓問題的解答簡潔優美，有助於問題的解決。
把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常簡單的，只要作頂點到底邊的垂線即可。
從這個角度上來講：“作高”的過程，其實就是在“作弦”，時光倒流，把原本亂亂的運動變成簡潔的運動。所以直角三角形總是這麼頻繁的出現。
總結
- 角函數的發展也是從具象到抽象的過程：
- 定性 → 弦長表 → 半弦表 → 定義在直角三角形上(角函數表) → 定義在直角座標系上
- 角函數是旋轉和平移之間的橋樑。sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。
- 直角三角形是在旋轉中充當了有序和無序之間的橋樑。
註釋
[1] 弦長表是希臘天文學家 Hipparchus 首創的，其作品已失傳，事蹟記錄於托勒密的《天文學大成》一書。如果不知道“正弦”先後有兩個意思，就難以理解“正弦”與“圓”的關係。“遇見數學”翻譯過一篇文章，作者說“正弦”和“圓”的關係是巧合，也許作者對這段數學史沒有了解。
[2] 阿拉伯是東西方的信使，托勒密的弦長表是 60進制的，因為那時只有60進制才能表示小數。印度人的發明的10進制也是阿拉伯人傳到西方的，所以也叫做“阿拉伯數字”，其實阿拉伯人只是個翻譯。
[3] 用斜邊和對邊之比定義角函數的源頭就在於此。從名稱上來看並不利於記憶，和“弦”、“割”及“切”的具象定義無關；其次，從定量上看不及單位圓和座標系。可以用聯想法輔助記憶。
[4] 在幾何作圖中我們往往默認長度是正數，也就是“單向數軸”。如果接受“長度也可以是負數”，也就是“數軸”的概念，那麼就鈍角的問題就解決了，角度也可以為負。
另外，在尋找複數的過程中，最關鍵的就從幾何上解釋 √-1，笛卡爾作為座標系發明人，也沒有意識到“數平面”的概念，結果尋找複數的努力失敗了。
但是有一個人卻極其接近成功，因為他發現如果 √-1 是存在的，那麼做出來的線段應該是在“上方”，這就暗示了“數平面”的存在。可惜這個概念實在是太過抽象，複數的發現最終與他擦肩而過，這個榮譽最後被高斯獲得，“數平面”也被命名為“高斯平面”。
[5] 定義在直角座標系和單位圓上的角函數，曾出現過 12 種，目前最常用的有 6 種，剩下的 3 種沒有介紹是因為與sin/cos/tan互為倒數，他們分別是 ：csc餘割，sec正割，ctg餘切。除非計算中經常使用，就不用符號表示，直接使用倒數表示。我找到了一張圖，也許包含了12種吧，不常用的那些我沒有仔細看，似乎有一些的名稱統一性還挺差。
[6] 叫做“角函數”而不叫做“三角函數”是為了響應克萊因的建議。
在開始之前，我要說明用角函數這個名稱似乎比習慣上用的三角函數要好，因為三角學只是這些函數的一個特殊應用。它們本身與指數函數相類似，但其中的反函數又類似對數函數。我們稱這些反函數為測圓函數。 —— 《高觀點下的初等數學》
[7] “解旋”一詞借鑑於生物學中的“DNA解旋”，我認為這個詞用來解釋 sin 的意義是簡潔而恰當的。
參考資料
[1] https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/ (圖2、註釋圖1)[2]《數學符號史》[3]《數學史》[4]《數學史通論》[5]Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (註釋圖2)[6]《三角函數超入門》(註釋圖3)[7]《虛數的故事》(註釋圖4)[8] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif (圖6)[9] http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (圖7)[10]《圖解數學學習法》
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