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給孩子最好的科學教育
作者 七君
認識這個暈倒的8麼：∞
它和8其實不是一個品種，它的本名叫做無窮大，它並不是一個數。
無窮大，很奇怪，5歲的小朋友就能理解，無窮大有多大。比如你隨便想出一個數字，總可以再找一個比它大的數字。
可是，無窮大是不是隻有一個品種呢？
第一個發現無窮大並不是只有一種的人，進了精神病院。今天我們就來八一八，無窮大的故事。
首先要明白的是，無窮大和8不一樣，它不是一個數。
如果它是一個數，那麼你只要給它加個1，那麼就可以產生一個比它更大的值了。顯然，無窮大並不參與你的這種加一遊戲，你一要玩這種遊戲，它就掉線。
所以，無窮大到底是什麼來頭？
長久以來，不光普通人鬧不明白，數學家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼，人人都聽說過它，但是卻不理解它，更沒有見過它的真面目。
後來，出現了一個銀，他開始思考，無窮大這個鬼，會不會也有不同品種的呢？
他做了這樣一個思想實驗，並且發現，一些無窮大，居然比其他的無窮大還要大。
我們先從簡單的講起。有一種無窮大用人類的大腦還是能理解的，因為和常識比較接近嘛。
比如，
1, 2, 3, 4, 5, 6, ….
這些正整數可以一直延伸到無窮大對吧。
負整數也是一樣，
-1, -2, -3, -4, -5, -6, ….
隨便你說一個整數，不管它有多大，只要你願意寫，就可以一直寫到這個整數。換句話說，任意整數都可以被你安排到上面這列數字裡。
因此，列出這些無窮多個數字的集合，叫做可數無窮。
其實，分數也屬於可數無窮哦。
比如我們做這樣一個表出來，
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, …
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, …
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, …
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/7, …
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7, …
...
隨便你想到一個什麼樣的分數，它都可以在上面這個表裡被找到，所以分數也屬於可數無窮。
好的，那麼，你能用同樣的方法，做出0-1之間所有的有理數和無理數的數列，或者表格麼？
如果你覺得可以，那我們來試試下面這個例子。
假設你列出了所有0-1之間的數，如下：
0.82705736…
0.31023865…
0.62087906…
0.55293091…
0.75235073…
…
我們現在就來證明，我總是可以造出一個0-1之間的數，而且它絕對不在你列的這些無窮多的數裡面。
我是這樣乾的，我取0.82705736…的8，0.31023865…的1…
也就是畫一條對角線，取出這條對角線和你列出的這些數相交的部分，組成一個新的數，也就是0.81095…
現在我用這個0.81095…幹這樣一件事，我把裡面的1改成2，非1的數改成1，所以這個數就變成了：
0.12111…
這個數有什麼奇怪的呢？奇怪就奇怪在，它肯定不在上面你列的那無窮多的數裡面。
我們來證明一下。比如，
0.12111…的小數點後第1位（1）和你的第1個數0.82805736…的小數點後第1位的8不一樣…
它的第2位（2）和你的第2個數0.31023865…的小數點後第2位的1不一樣…
它的第3位（1）和你的第3個數0.62087906…的小數點後第3位的0不一樣…
…
實際上，如果你說我造出的數和你的第N個數一樣，你喊你的那個第N個數出來，它敢答應嗎？
根據我設定的規則，我造的數的小數點後的第N位，就是和你的第N個數的小數點後第N位不一樣，它當然不敢動啊。
當然，除了我設定的這種造數規則，還有其他各種各樣的規則，可以把0.81095…變成列表裡沒有的數。
所以，0-1之間的數，不是可數無窮。這個無窮大，比自然數的無窮大可要大多了，因為自然數的無窮大還可以被你列表，但是0-1之間的數卻永遠沒辦法列出來。
那就給這樣的無窮大取個名字唄，就叫不可數無窮吧。
當然，發現無窮大還可以這樣玩的人，並不像我這樣開心。
這個人，是個戰鬥種族裔，在自帶不開心的種族屬性的德意志受的教育。他的名字，叫做格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）。
格奧爾格·康托爾
他是在1874年的時候發現了無窮大的野生品種這個祕密的，並且為現代數學的一個核心——集合論打下了基礎。
不過，當時的數學家們各種不適應無窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾，說他是個大PI YAN ZI。
同時期的數學家有多麼不理解他的研究呢？
比如，法國最偉大的數學家之一龐加萊這樣評價康托爾的集合論：“後世的人會把集合論看作一個人曾經生過的一場病。”
又比如，1881年哈勒－維騰貝格大學（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數學家愛德華·海涅（Eduard Heine）去世後，康托爾推薦了3個數學家頂替他的位子，分別是理查德·戴德金（Richard Dedekind）、安裡西·韋伯（Heinrich Weber）、弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）。但好死不死，這3個人都拒絕了康托爾的提名，不肯過來。
別說德高望重的的數學家的隔空放炮，就連身邊的多年好友也不理解自己。
1885年，他多年的好友、瑞典數學家哥斯塔·米塔-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）變成了高級黑，勸他把一篇論文從頂級數學期刊——《數學學報》（Acta Mathematica）上撤稿，理由是這篇文章“早了100年”。
就連他常年的好友、數學家赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）和戴德金也為了避嫌而分別在1880年和1882年和康托爾中斷了往來。
搞到後來，同時代的大佬哲學家，比如維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）都蹦出來添亂，說康托爾的集合論挑戰了他們對上帝的看法，簡直大不敬。
維特根斯坦
公元前5世紀，畢達哥拉斯的門徒希帕索斯（Hippasus）發現根號2是無理數，證明畢達哥拉斯學派所認為的“所有數都是有理數”的看法是錯的。
死人是不能出賣這個祕密的，因此畢達哥拉斯的其他門徒把希帕索斯丟到海里淹死了，史稱第一次數學危機…
而在兩千年後，發現了2個有理數之間夾著無窮多無理數的康托爾，就這樣，在這些數學家們的強烈鄙視和一連串暴擊之下，在1884年被生生地懟抑鬱了，在人生的最後階段都不想搞數學了，一心一意地撲在莎士比亞和弗蘭西斯·培根之間的關係上。
最後，康托爾住進了德國哈勒的精神病院，並且死在了那裡。
好在死後又過了數十年，康托爾終於被平反。
曾經罵他瀆神的維特根斯坦也良心發現，親自撰文哀悼，說當時學術界指責集合論的說法是“可笑”、“錯誤”的“無稽之談”。
德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）揮一揮手，人都被你們逼死了，你們都憋說了：
“沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。”(Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.)
所以，看不懂無窮大又有什麼關係呢...你只不過犯了和龐加萊、戴德金、維特根斯坦...一樣的錯。你總是可以找到犯了這個錯的人，而且TA不在前面這串人名裡。
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