從字面意義上來看，美國不會也不可能宣稱自己是「基督教國家」，因為美國憲法第一修正案禁止設立國教：
「國會不得制定關於下列事項的法律：確立國教或禁止信教自由......」
這一條款，被稱為「國教條款」（establishment clause），或者說得更準確一點，是「不得設立國教條款。根據該條款，政府、公立學校、公立研究機構等不得組織宗教活動，歷史上有一些標誌性的判例：
在 Engel v.Vitale, 370 U.S. 421 (1962） 案中，一條紐約州的法令引發了爭議。該法令鼓勵學生以祈禱的方式開始一天的學習，在建議的祈禱詞中，有「全能的上帝」（Almighty God）等字眼。一些學生家長就此對執行該法令的一間學校提出起訴，認為在公立學校鼓勵晨間祈禱違背了憲法「不得設立國教」的精神，校方則辯稱，祈禱完全屬於「自願」性質，沒有宗教信仰或者不信仰上帝的學生可以不參與。
聯邦最高法院最終判決校方敗訴。雨果 布萊克大法官在判決中強調了公立教育機構和宗教機構彼此的獨立性。至於校方的辯護理由，布萊克大法官則並不感冒。在判決中，他強調了學校中「同伴壓力」的作用：如果不相信上帝的學生拒絕參加祈禱，有可能在校園中被孤立，因此所謂「自願」祈禱同樣具有強迫性。
Engel v.Vitale 開啟了一系列關於公立機構祈禱的爭議。究竟什麼才算祈禱呢？說出「上帝」算不算祈禱？這個問題不好回答。就像中文裡面說「額滴神啊」或者「老天爺啊」不代表一個人有宗教信仰一樣，一個人說出 God 這個詞，不代表他就信教或者在進行禱告。（例如 「Oh my God！」 或者純粹作為語氣詞的「Jesus！」）
對此，在後來的一系列相關判決中，法院開始考察具體的語境，看看提及「上帝」時，起主導作用的是宗教目的還是純粹的世俗（secular）目的。
「世俗」這個概念，其實在更早的第一修正案判例中就有涉及。早在 19 世紀，就有判例認為聯邦政府可以像教會設立的醫院撥款而不違反「國教條款」。法院認為，向教會醫院提供經費用於提升醫療服務水平，屬於服務於世俗目的，而不是國家在鼓勵宗教。類似地，Everson v. Board of Education, 330 U.S. 1 (1947) 一案中，法院同樣支持了政府向教會學校的校車服務提供支持，因為單純送學生上學屬於世俗活動。
雖然政府可以在資金上為教會創辦的機構提供支持，但在涉及在公立學校言論方面，直到目前法院的口子還是收得很緊。例如，在 Santa FeIndependent School Dist. v. Doe, 530 U.S. 290 (2000) 一案中，一所高中在橄欖球比賽前的講話引發了爭議。本案中，得克薩斯州某學區鼓勵公立學校在橄欖球比賽前選拔學生代表進行演講，而根據當時的實踐，這類「國旗下講話」一般具有宗教色彩。聯邦最高法院認為，鼓勵這類講話的立法違背了憲法第一修正案，理由是，這等於變相利用公立學校的設施來進行宗教宣傳。（不奇怪的是，斯卡利亞和托馬斯兩位保守派大法官寫下了反對意見。在保守派看來，當公共活動「不可避免地」會涉及一些宗教因素時，應當更多地看到公共的一面，而非宗教的一面。）
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以上說得是字面上的東西，國家不得在公立機構立法鼓勵宗教，包括基督教和任何宗教，因此我的回答是「美國不是基督教國家」。但如果不採取這麼死板的解讀，將問題理解為「美國是不是受到基督教影響非常深的國家？」，那麼答案是肯定的。對此，推薦閱讀 @Manolo 在知乎上的的回答：https://www.zhihu.com/question/59794232/answer/572646383
另外補充一點: 美國法律體系下「不得設立國教」的解讀，也具有一定的彈性。之前有知友提出一個疑問：如果說美國沒有國教，為什麼紙幣上會有「In God We Trust」表述呢？
對此，法律上還真引發過爭議，結果紙幣贏了，這就是 Aronow v. United States 432 F.2d 242 (9th Cir. 1970) 案。本案中，聯邦第九巡迴法院認為，使用在錢幣上的口號「不具備神學意義或者儀式性質」。在判決中，法院討論了這句口號在宗教之外的意義（例如愛國主義意義或者歷史上的紀念意義），並判決稱在錢幣上印「上帝」字樣並不代表國家推崇某種官方宗教。
通過這一系列的判例，再對比一下我們熟悉的，以唯物主義價值觀為主流價值的國家，就不難發現區別了：美國在討論「不得設立國教」時，討論的是在提及上帝時是否具有世俗色彩。討論的出發點不一樣，在涉及「美國是不是宗教國家」時，有和字面答案不一樣的解讀，也就不奇怪了。