小學奧數-等差數列

1.按照一定規律排列起來的一串數叫做數列，數列中的每一個數叫做一項，從左起第一個數叫做第一項，也叫首項；第二個數叫做第二項·····最後一個數叫做末項，數列裡項的個數叫做項數。

2.一組數，如果從第二個數開始，每一項減去它緊鄰前面的一項，所得的差都相等，具有這種特點的一組排列在一起的數列，叫做等差數列，每一項減去它的前一項所得的差叫做公差。

3.等差數列的基本公式：

等差數列的和=（首項+末項）×項數÷2；

公差=第二項－首項；

項數=（末項－首項）÷公差+1；

等差數列的第n項=首項+（n-1）×公差；

首項=末項-公差×（項數-1）。

精講1：計算（1+3+5+7+······+1997+1999）-（2+4+6+······+1996+1998）

分析：通過觀察我們不難發現：前後兩個括號裡的數都是等差數列求和，因此可以先分別求出兩個等差數列的和，再把兩個和相減，通過觀察比較容易發現：第一個括號裡的等差數列公差為2，項數為1000項；第二個括號裡的等差數列公差也為2，項數為999項。

解：（1+3+5+7+······+1997+1999）－（2+4+6+······+1996+1998）

=（1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2

=1000

精講2：計算3+7+11+······+99

分析：題中所有加數是一個公差為4的等差數列，首項是3，末項是99，要求這個等差數列的和還必須知道項數：項數=（末項－首項）÷公差+1.求出了項數，我們就可以根據求和公式求出和。

解：項數為：（99－3）÷4+1=25

原式=（3+99）×25÷2=1275

精講3：有60個數，第一個數是7，從第二個數開始，後一個數比前一個數多4，求這60個數的和。

分析：通過分析題意，我們知道：這是一個公差為4的等差數列，要求這個等差數列的和，必須知道首項、末項和項數。但題中只告訴了首項和項數，沒有告訴我們末項，因此必須先求出末項，末項=首項+公差×（項數－1）。

解：末項為：7+4×（60－1）=243

60個數的和為：（7+243）×60÷2=7500

答：這60個數的和為7500。

精講4：一個大禮堂 ，第一排有28個座位，以後每排比前一排多1個座位，第35排是最後一排，這個大禮堂共有多少個座位？

分析：從題中可以看出，大禮堂的各排座位數是一個公差為1的等差數列，求大禮堂共有多少個座位，實際上是求這個等差數列的和。已知首項是28，項數是35，第35排的座位數可以看成是末項，末項沒有直接告訴我們，我們可以先求出末項，再求和。

解：末項為：28+1×（35－1）=62

35排共有座位數：（28+62）×35÷2=1575（個）

答：這個大禮堂共有1575個座位。

精講5：把100根小棒分成10堆，每堆都是單數，一堆比一堆少2根，應如何分？

分析：根據題意可知這是項數是10，公差是2，數列和是100的等差數列。

解：設第十堆有x根，那麼第一堆有x+（10-1）×2根，則：

{x+（10-1）×2+x}×10÷2=100

（2x+18）×5=100

2x+18=20

x=1

答：第十堆到第一堆分的個數分別是：1、3、5、7、9、​11、13、​15、17、19。​