數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
進位的計算本來很簡單，但在二進制裡卻是非常之多，這也沒有辦法。
乘法的“九九表”也極簡單，只不過是
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
進位的計算本來很簡單，但在二進制裡卻是非常之多，這也沒有辦法。
乘法的“九九表”也極簡單，只不過是
寫成表格,就是表1。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
進位的計算本來很簡單，但在二進制裡卻是非常之多，這也沒有辦法。
乘法的“九九表”也極簡單，只不過是
寫成表格,就是表1。
表1
全部只有四個。對於懶得記憶的人來說，二進制是最合適的算法了。
“20門”的原理就是二進制的一個例子。這個遊戲就是重複20次“是”和“不是”來猜中一件事。如果把“是”作為1，“不是”作為0，就可以翻譯成二進制的語言。要用二進制來猜對20位數，只要把是0還是1的問題重複20次就可以。所以“20門”在數學上是和猜中20位的數一樣。開始時有一個還不知道的20位數。對於每一問，就可以知道一位數字，是0還是1（見圖7）。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
進位的計算本來很簡單，但在二進制裡卻是非常之多，這也沒有辦法。
乘法的“九九表”也極簡單，只不過是
寫成表格,就是表1。
表1
全部只有四個。對於懶得記憶的人來說，二進制是最合適的算法了。
“20門”的原理就是二進制的一個例子。這個遊戲就是重複20次“是”和“不是”來猜中一件事。如果把“是”作為1，“不是”作為0，就可以翻譯成二進制的語言。要用二進制來猜對20位數，只要把是0還是1的問題重複20次就可以。所以“20門”在數學上是和猜中20位的數一樣。開始時有一個還不知道的20位數。對於每一問，就可以知道一位數字，是0還是1（見圖7）。
圖7
這樣做下去，就可以區別出全部2的20次方，也就是20個2相乘的數。
2的20次方=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 048 576
總之是100萬以上。我們就可以知道有時出乎意料地猜中“20門”也並不是很難。
......
怎麼樣，這樣學數學是不是輕鬆了許多？本文節選自《數學與生活（修訂版）》。
數學是高等智慧生物的共有思維，是對真理的探索，對矛盾的懷疑，但它絕非一門晦澀難懂的學問，非應試目的的數學是純粹而樸實的智慧。《數學與生活》為日本數學教育改革之作，旨在還原被考試扭曲的數學，為讀者呈現數學的真正容顏，消除應試教學模式帶來的數學恐懼感。
數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。——經濟學家亞當·斯密
很多人討厭數學，是因為它太複雜太抽象，可數學之所以被創造出來，卻是為了解決我們生活中的具體問題。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到它的起始點，在從未開化人變成數學家的道路上再走一遍。
不要覺得自己數學不好而打退堂鼓，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。站在未開化人當中，我們就是第一流的數學家。
數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢？因為數這個東西是無形的，沒有一種直接瞭解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物瞭解數？
有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎？ 德國的動物學家奧·凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬迴應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2,3,4,5,6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1
上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1,2,1,0,1，......這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是“我吃完了”的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖2
點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是隻憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢？這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多·拉賽爾說：“要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。”確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖3）。
圖3
像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎？它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖4）。
圖4
把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白，如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
分割而不變
和把蛋換成完全不相同的樹枝不一樣，我們知道“把某個集合分成兩個部分或更多時，其總數仍不變”，這是知道數的第二個條件。這是因為把裝在一個容器裡的玻璃球移到形狀不同的另一個容器中時，其數目是不變的。
即使再分到兩個容器裡，總數還是不變的。這也是皮亞傑的實驗，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數不變的原則。讓五歲半的孩子把一個容器裡裝的玻璃球分裝到兩個容器時，孩子說玻璃球比原來多了。這大概是因為孩子被兩個容器迷惑了。
據說，開始知道不論分割還是合併，玻璃球的總數是不變的這件事，是在孩子6歲到7歲左右。
第三個條件是“即使改變計數的順序，數也不變”。
盤子裡放著玻璃球，不論以什麼順序來數，答案都是一樣的。7個人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母……數起是7個人，從最小的孩子開始數也是7個人。也就是說，不論怎樣改變計數順序，數是相同的。
據說很小的孩子也不知道這一點。把兩種東西的集合按照某種順序一一對應時，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會奇怪為什麼數還是一樣的。
下面這種抽籤方法就是利用了這一事實。這個抽籤是給A，B，C，D四個人標上1，2，3，4號。首先在A，B，C，D與1，2，3，4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線（見圖5）。圖5預先規定好，碰到橫線和豎線的交點就必須向下或向左右拐彎。A和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個文字的作用，可是文字的總數絕不會變，所以用不著擔心從A出發的人沒有地方可去。4這個數不會因順序的交替而變化。當然這不僅是4，100也好，1000也好，都是同樣的。這樣用一一對應來替換、分割或改變順序而不變的東西就是數。
圖5
數的語言
假設搞清楚了數的一一對應，就能知道分割、改變順序時數是不變的，就是知道了數，也就沒有必要另外去了解數的語言了。即便能說出一個大數，也就是掌握了數詞，也未必能說明一個民族的數的思想就很發達。通古島居民掌握了10萬以內的數詞，但文明程度卻極為低下，他們還不知道數的一一對應，也不知道分割或改變順序時數是不變的。幼兒也能夠機械地數到100或數到1000，但僅僅這些還不能說是很清楚地具備了數的思想。
但是，以上這些實屬例外。一般來說，文明程度低下的種族掌握的數詞也都是很小的數。
一個極端的例子就是南美玻利維亞的契基特族，他們只知道相當於1的數詞叫“埃塔瑪”。當然，即使是契基特族的“埃塔瑪”，也可以運用到一個人、一支槍或一條狗。與不會語言的動物來比，已經是天壤之別了。
還有，在亞馬孫河流域的洋柯族也是把2這樣一個數詞說成是“波埃塔拉林科阿洛阿庫”，這是由於使用2這個數的機會不多，所以流傳下來這麼長的數詞。如果經常使用2，就一定會用個更為簡單的數詞。
數詞的發展
即使是未開化人，像契基特族或洋柯族那樣也是極少見的，要是生活水平稍微提高一點，就會掌握更多的數詞。
例如，英屬新幾內亞的比由基萊族就掌握了以下的數詞：
1——塔蘭傑薩
2——米塔•基那
3——格基米塔
4——託潘
5——曼達
6——格本
7——託蘭庫金貝
8——佰達依
9——恩格瑪
10——達拉
據說這些都是身體各部分的名稱。把數和身體各部分聯繫起來進行計數，用這種方法可以數到幾百，可是要記住它們決不是件容易事，那就得過度使用記憶力了。
面對這種困難，人們就想到不是一個一個地給數命名，而是把一定的數歸納成一束來命名的方法。最初出現的好像是每兩個數歸成一束，這就是二進制的萌芽，它的原產地卻是人們稱之為最落後的未開化狀態的澳大利亞大陸。
研究一下澳大利亞波特瑪凱地方的方言，就是
1——瓦爾布爾
2——布萊拉
3——布萊拉•瓦爾布爾
把3說成是布萊拉•瓦爾布爾(2+1)，所以我們可以知道這就是把2歸成一束。維因梅拉地方的數詞更先進一些，那是
1——凱亞布
2——波立特
3——波立特•凱亞布(2+1)
4——波立特•波立特(2+2)
這些例子確實都包含著“逢2歸1”的非凡的想法。但這是有意識地做的呢，還是因為想節約數詞而歪打正著的呢，就不得而知了。當然節約是數學的重要想法之一，這是事實。
若把“歸束計數”的想法作為數學史的起點，二進制也仍然是最幼稚的數詞，除澳大利亞之外是極少見的。當然，現代的文明國家裡也沒有一個國家使用二進制。
但是，如果有人不屑地認為二進制是完全不足取的計算法，那就有點過早地下結論了，這是因為最新式的電子計算機都在使用二進制。即使是用十幾個小時就能把圓周率3.141 59…的值計算到2000位數的大型電子計算機，也是把十進制的數字翻譯成二進制之後再計算的。
二進制在歷史上的各個時期曾經多次出現過。中國古代的《易經》也是基於陰陽兩種東西的對立，自然也與二進制有關係。
此外，在發掘古代印度河流域的繁榮都市時，據說從寶石商店的遺址和類似的地方發現了以1，2，4，8，16，32，64為重量比例的砝碼。這些也都清楚地說明了古人曾經使用過二進制。
熱心主張二進制的人，就是那位偉大的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)。
根據二進制，所有的數都可以用0，1兩個數字來寫。例如下面這些數
1——1
2——10
3——11
4——100
5——101
…
萊布尼茨似乎注意到這件事。因為他認為1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。他把自己的空想寫了下來，送給當時派遣到中國的傑西特派的傳教士，並叫他交給中國的皇帝，勸中國皇帝改信仰為基督教。
二進制之所以用在電子計算機上，就是基於電流有“流”與“不流”的兩種情況。
圖6電子計算機的原理很簡單，可以說是一個珠的算盤。但是用不著重新制造一個珠的算盤，只要利用普通算盤的上珠就可以了，38用二進制來寫就是100 110，這一個珠的算盤就是如圖6所示的樣子。
圖6
二進制的加法極其簡單：
記住以上四種情況，把它們加以組合，什麼樣的加法都可以。例如：
進位的計算本來很簡單，但在二進制裡卻是非常之多，這也沒有辦法。
乘法的“九九表”也極簡單，只不過是
寫成表格,就是表1。
表1
全部只有四個。對於懶得記憶的人來說，二進制是最合適的算法了。
“20門”的原理就是二進制的一個例子。這個遊戲就是重複20次“是”和“不是”來猜中一件事。如果把“是”作為1，“不是”作為0，就可以翻譯成二進制的語言。要用二進制來猜對20位數，只要把是0還是1的問題重複20次就可以。所以“20門”在數學上是和猜中20位的數一樣。開始時有一個還不知道的20位數。對於每一問，就可以知道一位數字，是0還是1（見圖7）。
圖7
這樣做下去，就可以區別出全部2的20次方，也就是20個2相乘的數。
2的20次方=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 048 576
總之是100萬以上。我們就可以知道有時出乎意料地猜中“20門”也並不是很難。
......
怎麼樣，這樣學數學是不是輕鬆了許多？本文節選自《數學與生活（修訂版）》。
數學是高等智慧生物的共有思維，是對真理的探索，對矛盾的懷疑，但它絕非一門晦澀難懂的學問，非應試目的的數學是純粹而樸實的智慧。《數學與生活》為日本數學教育改革之作，旨在還原被考試扭曲的數學，為讀者呈現數學的真正容顏，消除應試教學模式帶來的數學恐懼感。
從前，數學的應用曾經侷限在一些特殊的人們之間。對於多數人來說，數學僅僅是作為考試及格的必要科目，而在畢業以後則嫌其無用很快就全忘光了。
可是近來情況有所變化，在各種場合都開始運用數學了。不用說自然科學或技術方面離不開數學，即使在經濟、政治方面也離不開數學。至於在企業的經營管理、商品的銷售上，為了能更有發展，數學的作用就更大了。對於不愛學數學的人來說，誠然將數學視為世上難學之事物，但若不學數學，日子也並不會好過。這是對於過去的那種不從事政治、經濟活動的人來說的。至於當今世界將向何處去，雖仍是專家們在研究的問題，但毫無疑問，人類生活將會逐漸地走向集體化和社會化。因而，數學的活躍時代也就來到了。
在20世紀後半葉，數學也許會獲得從未有過的廣泛應用。不過，這樣的時代已經開始了。掌握一定程度的數學知識，是今後在世界上生存不可缺少的條件。
沒有必要要求任何人都具備很高的數學水準。本人認為可以按“到微分方程為止”這樣來劃線。如果能把“到微分方程為止”這樣的數學知識變成我們的常識，這將是非常理想的。
這就是寫這本入門書的基本目的。
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【圖靈教育】
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