劇照

在香港的電影或電視劇裡，我們經常看到5張牌賭大小的牌局，還知道賭局中最大的牌——大同花順。這是一款怎樣的遊戲？怎樣的玩法？又如何比較大小？為什麼同花順最大,是因為它出現的概率最低嗎？真的是物以稀為貴嗎？

估計可以準確回答上述問題的人並不多，撲克牌傳入中國以來,受到人們的普遍歡迎,而與象棋、圍棋等傳統遊藝融為一體。但一般人對其勝負所依據的概率原理很不瞭解,只知道機械執行。

01名稱與玩法

這款遊戲的名稱叫梭哈，又稱沙蟹、谷啤，學名Five Card Stud，是撲克遊戲的一種。以五張牌的排列組合、點數和花色大小決定勝負。遊戲開始時，每名玩家會獲發一張底牌，此牌為暗牌;當派發第二張牌後，便由牌面大者決定下注額，其他人有權選擇"跟注"、"加註"或"放棄"。當五張牌派發完畢後，各玩家翻開所有底牌來比較，梭哈在全世界紙牌遊戲地位非常高，深受人們的喜愛。

02洗牌與大小

在拙文魔術師帽子裡的兔子——神祕而又狡猾的圖形，你上當了嗎？介紹了美國魔術師、數學家戴康尼斯和哥倫比亞大學的戴夫·拜耳合作，為交叉洗牌法建立了一個數學模型。

證明至少要洗7次牌才能確保整副牌真正混散，也就是每張牌都是隨機出現的，即是說：大約需要8次以上才能使撲克牌隨機，而且洗的次數增多，效果並不會變得更好。

把52張牌徹底洗過,從中抽取5張牌,則決定勝負的遊戲規則：

牌型比較:同花順>四條>滿堂紅>同花>順子>三條>二對>單對>散牌。

數字比較:A>K>Q>J>10>9>8 >7>6>5>4>3>2

花式比較:黑桃>紅桃>草花>方塊

普通朋友大多隻知道同花順子>四條>滿堂紅>同花>順子,這是大家所公認的,人人信守不渝,百分之百地照辦,從來無人提疑。然而何以要如此規定,則是不知其所以然。

03各牌型的數學概率

上面五手牌都是難得一見的“緊缺貨”,然而其出現概率則大有不同。

讓我們說先計算總的樣本空間。從52張撲克牌中隨機選擇出一張牌，一共有52中選法：從剩下的牌中再隨機挑選一張，則有51種選法，以此類推，選取5張牌再進行排列總共有52×51×50×49×48種排序方法。不考慮5張牌出現的順序，僅進行組合，還要把這個數字除以5張牌的排列數，也就是除以5!=5×4×3×2×1。這樣從52張牌中不計順序的選取5張牌，一共有2598960種不同組合。說的有點複雜,學過排列組合的朋友可以立刻得到總的樣本空間數就是組合數：

這個數字不算很大,僅為上海人口數1/6,我們知道,美國彩票的出售總額動輒超過一億五千萬張,與之相比,簡直是小巫見大巫了。所以,這五種大牌在撲克牌的實戰史中,都曾經不止一次地出現過按照計算的難易程度,讓我們依次來分析。

(1)四條

這個概率的分子應該是13×48=624。何以見得,由於四張牌的點數必須相同,所以它們必然是AAAA,2222，……直到KKKK,共有13種.而剩下的1張牌則是（52-4）張牌中的任意一張，所以根據排列組合中的乘法原理，分子應該是13×48=624.從而出現四條的概率是

（624）/（2598960）≈0.0002401，就是不到萬分之三。

(2)同花

撲克牌有四種花色:黑桃、紅心、方塊、梅花。每種花色各有13張牌，因而分子上的數應該是

(3)順子

順子的五張牌，其點數必須成為等差數列，就點數最小的一張牌而言，可以是一點（即愛司，Ace）到十點，共有10種情況。所謂“順子”是不需要考慮花色的，只著眼於牌的點數，所以第一張牌可以取4種花色之一，而第二、三、四、五張牌依然如此，故應為：

4×4×4×4×4=1024，從而可以算出相應的概率是（10240）/（2598960）≈0.00394.這個概率是千分之四，不算太小。

說明：“順子”中包含著下面的“同花順子”。

(4)同花順子

分子應該是4×10=40，道理和上面上面，其概率為（40）/（2598960）≈0.00001539.從數字看得出來，在現實生活中，出現這種牌的概率比電影或電視劇裡所描述的低得多。在真實賭局中要打6萬~7萬把牌才能遇上一把“同花順”！至於那個最大的就更小了！

(5)滿堂紅

滿堂紅又叫富爾好施（是英文名字full house的諧音, 又譯為“滿倉”、“滿貫”），是5張牌中有三張同點的與兩張同點的一組牌。這種情況分析起來比較麻煩，因而也更有挑戰性與趣味性一些。先考慮點數，看下錶：

除了主對角線上的情況不符合條件外，應該排除，其他的都是可行的，故而有13×13-13=156種；當然還有其他的方法來推得同樣的結果，但毫無疑問的是這種看圖說話的方法最“清澈見底”，最能體現一個人的洞察力的好方法。

再看花色，先從4種花色中選3種給三張同點的牌，再從4種花色中選2種給兩張同點的牌，即是

到此地步，事情已是小蔥拌豆腐——一清二楚。原來，勝負的判定是完全按照概率的大小來決定的，嚴格的遵守了“物以稀為貴”的原則。

至於其他的如“三條”、“兩對”等等有興趣的朋友可以自己去算算看。

用數學知識一算，是不是很吃驚呢？其實，數學是在生活中隨處可見的，只要你用心去發現。

04鍾開萊先生

鍾開萊先生

我們已在《曹雪芹筆下那多人的生日相同是純粹為了寫作的需要嗎？》中提到了鍾開萊先生，上面關於撲克牌的計算也是沿用鍾先生的研究。下面就為大家介紹這位被譽為“概率學界教父”的鐘開萊先生。

以下內容來自網絡，並非本人原創。

04.1簡介

年少時的鐘開萊

鍾開萊（KaiLaiChung,1917年～2009年），華裔數學家、概率學家。

浙江杭州人，1917年生於上海。1936年入清華大學物理系，1940年畢業於西南聯合大學數學系，之後任昆明西南聯合大學數學系助教。1944年考取第六屆庚子賠款公費留美獎學金。1945年底赴美國留學，1947年獲普林斯頓大學博士學位。

五十年代任教於美國紐約州塞納克斯大學（Syracuse），六十年代以後任斯坦福大學數學系教授、系主任、榮休教授。鍾開萊為世界知名概率學家，著有十餘部專著。

鍾先生基本沒什麼人熟悉，就象薛定諤這個名字被很多人誤認為是中國人一樣，鍾開萊往往被誤認為西方人，或者是華裔。其實不然，鍾先生是地地道道的中國杭州人士，師從華羅庚，也是中國概率論與數理統計研究的開拓者之一許寶騄的學生，

04.2段子

① 鍾開萊靠著高智商順利考進了清華大學物理系。當時清華理學院的院長吳有訓曾開設課程。吳有訓，世界重大科學發現上第一位名垂史冊的中國人。對於中國近代物理學奠基人的課，學生們都一絲不苟，不敢懈怠。唯獨鍾開萊，年少輕狂，聽了幾節課，覺得老師講的書上都有，吳老師無非照本宣科，自學也成，索性開始逃課。

吳有訓

然而物理世界那麼細緻入微的元素與射線都難逃吳有訓法眼，更何況區區一個翹課的學生？幾節課後，吳有訓發覺鍾開萊頻頻逃課，怒不可遏。

他甚至想過開除鍾開萊。還是經周培源（清華大學物理系教授）說情後，方才作罷，可見鍾開萊的“猖狂”。兩人有了衝突，鍾開萊選擇轉到數學系。

周培源

鍾開萊師從華羅庚，主攻數論，這樣高深的學科依然沒能掩蓋鍾開萊的“光芒”。他嫌華羅庚囉囉嗦嗦，拖泥帶水。

華羅庚

華羅庚在課上講的內容，鍾開萊不耐煩又不服氣。他回家整理了十頁綱領性文字。第二天把文稿往華老爺子桌上一放，言下之意：“看吧，能用幾句話講完就少廢話。”

華羅庚自然也沒那麼容易服軟，折騰了一晚上愣是把十頁整成了三頁。

學習數論的同時，鍾開萊學有餘力，私下開始研究概率論。

但華羅庚卻不放在眼裡：“你做的這些沒什麼意思。”

鍾開萊心比天高，脫口而出：“那你搞的那些又有什麼意思？”

當一個人的眼睛和心完全專注於一門學問上時，他就不太能注意到人情世故里那些說話的藝術。

這下兩人徹底鬧翻，鍾開萊再次告別恩師，轉到許寶騄先生門下繼續念研究生。

布萊爾拱門（“Blair Arch”）普林斯頓大學的標誌性建築之一

1945年，鍾開萊獲庚子賠款公費留美獎學金，到普林斯頓大學攻讀博士學位。

到美利堅第一天，他就拖著行李走進普林斯頓最好的法式餐廳，準備大吃一頓。

在茫茫人海里，有如神助的鐘開萊一眼就認出了當時概率論和統計學界第一人哈拉爾德·克拉梅爾。鍾開萊難掩興奮，衝到克拉梅爾面前就開始自我介紹。沒成想，這一頓飯吃完，克拉梅爾就成了鍾開萊的博士生導師。兩年後，鍾開萊順利獲得博士學位。

哈拉爾德·克拉梅爾

然而就算你是牛氣沖天的美國學界大佬，也很難讓鍾開萊心服口服，

John Tukey

當時美國概率學的一位大師對鍾開萊的作為不屑一顧，劈頭蓋臉就是一頓臭罵。認真勁兒上來了更是用紅筆把鍾開萊論文中的語法錯誤一一標示出來。鍾開萊頓時暴跳如雷，到圖書館裡把這位大師的著作全部找出來，以其人之道還治其人之身，將書中所有語法錯誤一一挑出，這才解氣。

②下面的文章來自於沈誕琦：

鍾開萊成名之後和Cinlar（概率界另一大牛人物）參加了許多國際學術會議。有一次在德國柏林的會議，中間休息一次，學者們喝咖啡聯絡感情。會議的主席是一個新近嶄露頭角的年輕人，走到鍾開萊面前想和他套近乎。那年輕人還沒開頭，鍾開萊就劈頭蓋臉的罵開了，“主席啊，剛才發言的那個俄羅斯人，講兩句話就要表揚自己，一表揚自己就要大家祝酒，發言一小時祝了十一次酒。我們不能說他，你就不能提醒提醒他嗎，真是不開竅。”年輕人徹底懵了。鍾開萊不再說話，低頭吃蛋糕喝咖啡。過了一會，看到年輕人還沒走，突然說，“算了算了，姑且念在蛋糕的份上。嘖嘖，這德國人真是會做蛋糕啊。”

鍾先生與朋友

鍾開萊和Cinlar共同創辦了一系列討論概率論難題的講習班，定期在不同的大學舉行講習班，還編輯了許多學術刊物。有一期講習班在鍾開萊任教的斯坦福大學，時間定在一個週二的下午。Cinlar就和鍾開萊說，“週二下午斯坦福還有一個統計學大會，很多統計學家肯定兩個會議都想來。你不如換個時間吧。”鍾開萊擊掌笑著說，“我就是特意安排在這個時間的！這樣所有的統計學家就來不了我的講習班啦。我最討厭統計學家了。”

Cinlar說，“我第一次遇到開萊，我就知道我們要成為終身的好朋友。真是個人物啊！你知道什麼叫人物嗎？就是，我有許多話要說，又不敢說，他全部替我說出來了。”

Cinlar教授說，鍾開萊也是這樣一個對什麼都過分好奇的人，也是一個常常擺出法國紳士風度西裝筆挺的學者。前些日子，我聽了陶哲軒的演講，覺得陶哲軒是個不折不扣的天才。今天我聽了Cinlar講關於鍾開萊的逸聞，覺得像鍾開萊那樣對什麼都過分好奇的人是另一種類型的天才。他永遠不會厭倦自己的學識，厭倦這個世界，聽到見到什麼，都嘖嘖地說，“啊，啊，太有趣了！”他又是一個頗有些唐吉珂德式的騎士幻想的紳士。然而，紳士的時代已經過去了。互相交換手寫書信四十餘年的時代已經過去了。許多普林斯頓的教授不再穿正裝去演講堂，我所知道天天穿西裝上班的教授只有三個，概率學家Cinlar，數學家 RobertGunning，和前外交部官員ThomasChristenson教授。萬物都會死，不但生物會死，禮儀和習俗也會死。那麼，那個彬彬有禮的時代已經死了。對此，Cinlar教授說，“大家都會死的嘛。死不就是一個隨機分佈嗎？”

2009年5月31日，在鍾開萊教授的妻子在菲律賓的故鄉羅哈斯市（Roxas）的別墅裡，鍾開萊進入了夢鄉。2009年6月1日，鍾開萊教授沒有醒來。他死在一片芳香的椰子樹與海風的夢境裡，終年92歲。對此，Cinlar教授評論道，“你知道世界上最幸運的事是什麼嗎？就是在睡夢裡死去。我這個老朋友，真是世界上最幸運的人。”這或許真的是世界上最幸運的一生，出生在戰火紛亂的年代，死於一片良辰美景，在中國歷史上學術最自由的清華大學和西南聯大受教育，一輩子無論學什麼都是師從這個領域的巨人。在自己研究的領域，他是美國第一人，桃李天下，被稱為“概率學界教父”。他家庭幸福富有，子孫事業有為。

鍾先生與妻子

鍾開萊的妻子是菲律賓一個顯赫家族的千金小姐，兩個有個兒子，天資聰穎在斯坦福長大。在哈佛法學院學習時，第一夫人米歇爾·奧巴馬是他的學妹。畢業後，他直接成為美國最高法院的大法官助理——幾乎所有美國法學院畢業生夢寐以求的最高理想。

然而，似乎是血液中的離經叛道在作祟，Dan Chung並沒有繼續法律事業，而是華麗轉型成為了華爾街大富。他所在的Alger資產管理公司是華爾街成長股基金的先驅，掌管240億美元資金。而Dan正是這家公司的CEO。

然而，倘若鍾開萊當真無愧於是“概率學界教父”，是現今所有概率學家的恩師，那麼，鍾教授在中國的名聲，應該和陳省身齊名。事實上，在中國，鍾開萊的名聲遠不如陳。究其原因，他常年在海外定居、與菲律賓豪門聯姻，固然影響了他在中國的知名度。然而，如陶哲軒之類在澳大利亞出生的華裔，成名後都能在中國婦孺皆知，可見鍾開萊的不知名，有更深層的原因。這原因，借用Cinlar教授的話，“你知道什麼叫人物嗎？就是，我有許多話要說，又不敢說，他全部替我說出來了。”陳省身和鍾開萊的區別，就是敢不敢把話全部說出來的區別，或者，更淺顯一點，就是郭靖和黃老邪的區別。一個是中規中矩面面俱到的，一個是“我黃藥師是何等樣人。”鍾開萊那一句“我最討厭統計學家了”，就不知得罪了多少人，少了多少人在他的故鄉為他說話。

不過，鍾開萊，這個有著晉人傲骨的、憤世嫉俗的紳士，是不會對此介意的，他連華羅庚都敢得罪，怎麼還會在乎死後的名聲呢？而我在這裡所做的，只是怕那似水流年的時光會把所有的人所有的事都綠壩成一箇中規中矩的面面俱到的影子。讓我在這裡，為一個離經叛道者，立一塊豐碑。。