利用嚴格的數學，很多時候我們可以對一些現象進行合理的解釋，但反過來，如果有的時候我們從抽象深刻的數學定理出發可以得出一些或許難以想象的結論。今天我們就來看看兩個深刻而神奇的數學定理。

毛球定理

毛球定理是一種非常形象直觀的稱呼，實際上它是非常深刻的霍普夫-龐加萊(Hopf-Poincare)定理的一個非常簡單的特例。毛球定理說的是對於一個表面垂直佈滿毛髮的圓球，無法把所有的毛髮撫平。當然，這是非常形象的描述，並不太嚴格，用嚴格的數學語言來說，應該是二維歐式球面上不存在處處非零的光滑向量場，也就是說球面上的非零向量場必定有零點，而在這個零點處，“毛髮”就無法被捋平，因為被“捋平”就意味著沒有零點。

乍看起來，這是一個很難想象的結論，但也是一個很好的例子，充分說明直觀的想象在數學中是非常靠不住的。由這個定理，我們可以立即得到很多有意思的結論，例如在地球上，每時每刻必定有某處的水平風速為零，因為宏觀上水平風正好可以看作向量場，那麼它必定在某一點為零。而且這一定理還可以在一定程度上解釋“旋”的存在性，例如颱風一定會有一個風眼，人的頭髮也會有個旋，物理中的場很多時候也會有這樣的旋。當然，這樣的解釋實際上並不是非常嚴格的，但內在的數學原理確實相通的。

最後我們再從數學本質上來看這個定理。前面已經說過，毛球定理是霍普夫—龐加萊定理的二維特例，而二維的特例正是龐加萊首先在1885年證明的，高維的情形則由霍普夫(1894~1971，德國著名數學家，代數拓撲與微分幾何大師)在1925年在布勞威爾和阿達瑪工作的基礎上完成的。

霍普夫—龐加萊定理說的是微分流形上向量場零點的指標等於這個微分流形的歐拉示性數。

指標可以形象的理解為向量場在一點處的“繞圈數”，繞了幾圈指標就是幾，但這個“繞數”可能是負數，幾種簡單的情形可以參見下面的圖。

歐拉示性數是我們比較熟悉的數學概念，對於一個多面體，它就是頂點數+面數－稜數，實際上，歐拉示性數可以拓展到一般的拓撲空間上，並且是一個非常重要的拓撲不變量，可以通過很多數學方法得到，例如可以通過對微分流形進行三角剖分得到。

實際上，二維球面的歐拉示性數為2，利用霍普夫-龐加萊定理，我們就知道二維球面上的向量場的指標不等於零，也就是必有零點。而一些歐拉示性數為零的微分流形上就存在處處不為零的向量場，例如圓圈和環面。這樣，“毛球定理”就在數學上得到了完美的解釋。

霍普夫-龐加萊定理這樣深刻的數學定理在數學內外所發揮的作用是很大的，它揭示了拓撲空間深層次的拓撲性質，例如陳省身在證明整體微分幾何的奠基性結果高斯-博內特定理中就用到了這個結論，把微分流形的拓撲和幾何性質緊密聯繫在了一起。

布勞威爾不動點定理

“不動點”的概念我們在中學數學裡或多或少都有接觸，那麼這個“不動點”有沒有什麼直觀形象一點點解釋？例如攪動一杯水，水靜止後，真的有一個點沒有變化嗎？實際上，利用數學，我們可以肯定的說，這樣的“不動點”確實存在，而這得益於強大的“布勞威爾不動點”定理。

布勞威爾不動點定理說的是每一個從一個歐幾里得空間的某個給定的凸緊子集(例如球體)到它自身的連續函數都有至少一個不動點。實際上，布勞威爾不動點定理還有更一般的形式，但這裡無需再贅述了。一般的情形最早是由法國著名數學家阿達瑪證明的，不就之後布勞威爾又給出了更為簡潔的證明，但不知為何這個定理最終被冠以布勞威爾的名字。

現在回到具體的例子中，比如開頭說的攪動水的例子。攪動水的過程在宏觀上可以看作一個連續變化的過程，符合定理的條件，因而必定存在一個不動點，不過需要注意的是，這個不動點在運動過程中可能會隨時間變化，但每時每刻必定存在一個不動點。

早期不動點定理在微分方程和泛函分析中得到重要應用，但最近幾十年，它卻繼續扮演了更為重要的角色，例如在博弈論中，也能見到布勞威爾定理的應用。在經濟學中，布勞威爾不動點定理以及其推廣在證明經濟學中全局平衡的存在性中發揮了基礎性作用。總的來說，布勞威爾不動點定理成為了證明博弈論均衡存在性和經濟學一般均衡存在性的基礎。

不可思議的現象背後往往有深刻的數學背景，以上就是兩個很好的例子。數學的精神正在於它的嚴密性，因而可以撥雲見日，透過表象揭示本質。這樣的數學定理和結論非常多，我們所介紹的不過是冰山一角而已，但也足以感受到數學的美妙與深邃。