摘要：“流浪地球”計劃執行過程中，由於行星發動機的熄火，地球被木星吸引，一旦穿過洛希極限，地球將會分解。實際情況是否真的如此？

關鍵詞：流浪地球，洛希極限，木星

1、洛希其人

洛希，全名愛德華·艾伯特·洛希，是個法國人，法語名Édouard Albert Roche。是橫貫十九世紀中期的一個法國數學家和天文學家。其最知名的成就就是洛希極限，此外還有洛希球，洛希瓣。

洛希本尊（圖片來自維基百科）

2、洛希極限

２.１受力分析

考慮兩個天體，一大一小，小天體圍繞大天體運動，為了更具一般性，假設小天體被大天體吸引，呈螺旋狀墜向大天體。

墜落一般軌跡

現在，在小天體的表面有一個物體A和B，根據理論力學，很容易就可以畫出物體A、B的受力圖。小天體的加速度可以分解為法向加速度an和切向加速度at。

小天體加速度的分解

小天體表面的物體會分別受到大天體和小天體的引力（F，G），由於加速度存在導致的慣性力（FI）（注：這個慣性力 並不真實存在），以及天體表面的支撐力。

受力分析

其中，這個虛擬的慣性力FI僅與方向加速度有關，可以表示為：

慣性力表達式

物體所受的4個力中，其中大天體引力和慣性力的合力稱之為引潮力。對於A、B兩點，其引潮力如下：

引潮力

２.２　引潮力

大天體引力和法向加速度表達式如下：

引力與法向加速度

因此，引潮力可以寫成：

引潮力

上式跟我們通常見到的引潮力表達式不一樣。通常引潮力表達式為：

引潮力表達式

其中，ｒ是質心的距離，R是小天體半徑。這個引潮力表達式實際上是從加速度的角度導出來的，而且是個近似值。詳細的數學推導過程見維基百科。上述兩個引潮力表達式本質上是一樣的，第一個式子雖然是精確解，但是需要知道角速度ω。而第二式用起來則比較方便，且R與ｒ相差非常大的話，這個值非常接近精確解。

２.３洛希極限

洛希極限的定義是引潮力等於小天體的引力，既：

洛希極限等式

得距離ｒ：

其中，R為小天體半徑，M為大天體質量，M2為小天體質量。大小天體都假設為球體，其質量可以用密度表示。則，距離表示為：

剛體洛希極限

其中，Rb是大天體半徑。這是剛體得洛希極限公式。對於流體，由於流動性，計算過程複雜的多，其表達式如下：

流體洛希極限

3、洛希極限的討論

根據洛希極限的定義，小天體上的物體進入到大天體的洛希極限，那麼其引潮力大於小天體的引力，這時候支撐力為負。既這個物體脫離了小天體，被大天體吸引過去了。如下圖：

物體A進入洛希極限

如果A是流體，那麼就會出現一個很有意思的畫面。物體A很大，隨著物體A進入洛希極限，已經進入極限範圍的流體飛了起來，在臨界點處則是正要起飛，在尚未進入洛希極限範圍內的流體則依舊被小天體引力所束縛。真個畫面，就像龍吸水，只不過這裡的水龍沒有旋轉，規模也要大的多。就像《流浪地球》地球大氣被木星吸引的畫面一樣。

流體進入洛希極限後類似畫面

對於流體，是比較容易理解的。另外一個叫做剛體洛希極限，理解起來稍微不太容易。通常，剛體是指不發生變形的物體。既然不發生變形，我們也從來不會考慮計算剛體的斷裂。所以，本文中的剛體洛希極限，研究的對象是小天體上的物體，而不是小天體本身。

小天體上的物體，或直接放置表面，由支撐力維持平衡，或通過連接件，由約束力維持平衡。小天體上的物體進入洛希極限後，支撐力比較容易破除，所以表面物體（如行人，凳子，桌椅等）很容易直接飛起來。而被各種形式約束住的物體則由於約束力的存在，無法飛起。所以，小天氣，進入洛希極限，並不會被撕裂呈碎片。誇張一點，小天體上的固體在接近洛希極限，並進入極限後，變得狹長，像橢圓。這種變形，其實很小。

進入洛希極限

隨著兩個天體距離的接近，引潮力更加巨大，當引潮力大到可以破壞約束力的時候，才可以破壞物體結構。比較極端的例子就是黑洞。黑洞引力巨大，在引潮力的作用下，普通的岩石根本不在話下，分分鐘變成粉末。

在《流浪地球》中，我們將地木的質量帶入公式中，得到剛體洛希極限為5.48萬千米，小於木星半徑7.1萬千米。正如樂樂老師所言，地木的剛體洛希極限，位於木星內部。所以，地球在靠近木星的過程中，根本不需要考慮剛體洛希極限。地球表面的人和物，直到撞擊到木星，也不會先被木星牽引。

假設木星替換為更大質量的天體。地球進入洛希極限後，首先表面的人和物直接飛起，然後表面的房屋、樹木等物體，根據約束力的大小，先後飛起。再然後就是山脈、板殼。但是這些物體飛離後，仍然保存整體，既物體是整體飛起，並不會像攪拌機一樣變成粉末。所以地球進入更大質量的天體的洛希極限後，會變成大小不一的一塊一塊的東西。

如果天體質量更大，必然比如黑洞，那麼這些塊狀體也無法保存，巨大的拉力差，會把物體撕成粉碎。

進入黑洞的洛希極限，任何物體變成粉碎

4、總結

洛希極限的對象是小天體上的物體，當該物體受引潮力（大天體引力與慣性力的合力）等於受小天體引力時，物體與大天體的距離就是極限距離。

洛希極限實際上規定的是物體僅放置於小天體表面的情況。對於有額外約束力限制的，比如房屋的地基約束力，樹木的根部約束力，山脈板殼的地球約束力等，其極限值更加小。

所以，洛希極限成為剛體洛希極限，而不是固體洛希極限。如果考慮固體自身的抗拉強度，那麼這個極限可以稱之為固體洛希極限了。

最後，小天體經過了大天體的洛希極限，並不一定就會四分五裂。這主要取決於小天體內部結構。