勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
評註：本題結合勾股定理，通過構造幾何圖形，再利用圖形中邊與邊的關係求出了最小值，充分體現了數形結合思想的優越性.其實勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用都體現了數形結合的思想.
四、分類討論思想
分類討論思想是指，當一個數學問題所給的對象不能進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準分類，然後對每一類分別研究，得出每一類結論，最後綜合各類結果得到整個問題解答的數學思想.
例4 在⊿ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖4，根據勾股定理，則a²+b²=c²
.若⊿ABC不是直角三角形，如圖5和圖6，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關係，並證明你的結論.
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
評註：本題結合勾股定理，通過構造幾何圖形，再利用圖形中邊與邊的關係求出了最小值，充分體現了數形結合思想的優越性.其實勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用都體現了數形結合的思想.
四、分類討論思想
分類討論思想是指，當一個數學問題所給的對象不能進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準分類，然後對每一類分別研究，得出每一類結論，最後綜合各類結果得到整個問題解答的數學思想.
例4 在⊿ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖4，根據勾股定理，則a²+b²=c²
.若⊿ABC不是直角三角形，如圖5和圖6，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關係，並證明你的結論.
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
評註：本題結合勾股定理，通過構造幾何圖形，再利用圖形中邊與邊的關係求出了最小值，充分體現了數形結合思想的優越性.其實勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用都體現了數形結合的思想.
四、分類討論思想
分類討論思想是指，當一個數學問題所給的對象不能進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準分類，然後對每一類分別研究，得出每一類結論，最後綜合各類結果得到整個問題解答的數學思想.
例4 在⊿ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖4，根據勾股定理，則a²+b²=c²
.若⊿ABC不是直角三角形，如圖5和圖6，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關係，並證明你的結論.
評註:本題通過類比勾股定理，分兩種情況對a²+b²與c²的大小關係作出判斷，體現了分類討論的解題思想.數學裡的許多問題，在解答過程中只有用分類討論的思想，才能保證解答完整準確，做到“不漏不重”.
五、整體代換思想
整體思想就是指在研究和解決數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特徵，從整體上認識問題、思考問題，從而對問題進行整體處理的思想方法.
例5 如圖7，在RT⊿ABC中，∠BAC=90°，M,N是斜邊BC的三等分點，已知AM=4,AN=3，則BC= .
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
評註：本題結合勾股定理，通過構造幾何圖形，再利用圖形中邊與邊的關係求出了最小值，充分體現了數形結合思想的優越性.其實勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用都體現了數形結合的思想.
四、分類討論思想
分類討論思想是指，當一個數學問題所給的對象不能進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準分類，然後對每一類分別研究，得出每一類結論，最後綜合各類結果得到整個問題解答的數學思想.
例4 在⊿ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖4，根據勾股定理，則a²+b²=c²
.若⊿ABC不是直角三角形，如圖5和圖6，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關係，並證明你的結論.
評註:本題通過類比勾股定理，分兩種情況對a²+b²與c²的大小關係作出判斷，體現了分類討論的解題思想.數學裡的許多問題，在解答過程中只有用分類討論的思想，才能保證解答完整準確，做到“不漏不重”.
五、整體代換思想
整體思想就是指在研究和解決數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特徵，從整體上認識問題、思考問題，從而對問題進行整體處理的思想方法.
例5 如圖7，在RT⊿ABC中，∠BAC=90°，M,N是斜邊BC的三等分點，已知AM=4,AN=3，則BC= .
勾股定理是初中數學中的一個重要應理，它是溝通幾何與代數的橋樑，也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數學思想，則會開闊解題思路，優化解題過程，同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想，以作參考.
一、方程思想
方程思想是指運用適當的數學語言，從問題的數量關係出發，通過設未知數，將問題中的條件轉化為數學模型——方程(組)，然後運用相應的知識來求解問題的一種數學思想.
例1 如圖1，矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB邊上任意一點(不與A,B重合).設BE=t，將⊿BCE沿CE對摺，得到⊿FCE，延長EF交CD的延長線於點G，則tan∠CGE= .(用含t的代數式表示)
評註：本題主要考查矩形的性質，軸對稱變換的性質，正切的定義及勾股定理.其中，運用勾股定理構建方程，把已知量與未知量建立關係是解題的關鍵;同時也體現了運用方程思想解題的簡便快捷.
二、轉化思想
轉化思想又叫化歸思想，就是指將需要解決的問題由難化易，由繁化簡，從而實現化未知為已知的數學思想.
例2 將兩塊三角板如圖2放置.其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積.
評註：本題中四邊形DBCF的面積很難直接求得，將其轉化為⊿ABC與⊿ADF的面積差是解決問題的關鍵.由此可見，轉化策略是數學解題中一種常用的思想方法，可以說，數學解題的過程實際就是問題轉化的過程.
三、數形結合思想
數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化的一種數學思想.
評註：本題結合勾股定理，通過構造幾何圖形，再利用圖形中邊與邊的關係求出了最小值，充分體現了數形結合思想的優越性.其實勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用都體現了數形結合的思想.
四、分類討論思想
分類討論思想是指，當一個數學問題所給的對象不能進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準分類，然後對每一類分別研究，得出每一類結論，最後綜合各類結果得到整個問題解答的數學思想.
例4 在⊿ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖4，根據勾股定理，則a²+b²=c²
.若⊿ABC不是直角三角形，如圖5和圖6，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關係，並證明你的結論.
評註:本題通過類比勾股定理，分兩種情況對a²+b²與c²的大小關係作出判斷，體現了分類討論的解題思想.數學裡的許多問題，在解答過程中只有用分類討論的思想，才能保證解答完整準確，做到“不漏不重”.
五、整體代換思想
整體思想就是指在研究和解決數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特徵，從整體上認識問題、思考問題，從而對問題進行整體處理的思想方法.
例5 如圖7，在RT⊿ABC中，∠BAC=90°，M,N是斜邊BC的三等分點，已知AM=4,AN=3，則BC= .
評註:本題中AC和AB的長無法直接求出，於是把AC²+AB²看作一個整體進行求值，其它問題便迎刃而解.可以看出，運用整體思想解題能使複雜問題簡單化，難度大大降低，起到一舉解決問題的作用.
總之，數學思想方法是隨著學生對數學知識的學習、運用逐漸形成的，它是數學的生命和靈魂，是數學知識的精髓，是把知識轉化為能力的橋樑，同時也是對數學內容的一種本質認識.在運用勾股定理解決問題的過程中，如果能抓住思想方法，就抓住了問題的本質.
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