接上篇：最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）（上）

10電磁感應

既然是要做實驗看磁如何生電，那首先肯定得有一個磁場。這個簡單，找兩塊N極和S極相對的磁鐵，這樣它們之間就會有一個磁場。我再拿一根金屬棒來，看看它有沒有辦法從磁場中弄出電來。因為金屬棒是導電的，所以我把它用導線跟一個檢測電流的儀器連起來，如果儀器檢測到了電流，那就說明磁生電成功了。

法拉第做了很多這樣的實驗，他發現：你金屬棒放在那裡不動，是不會產生電流的（這是自然，否則你就是憑空產生了電，能量就不守恆了。你要這樣能發電，那我買塊磁鐵回家，就永遠不用再交電費了）。

然後，他發現金屬棒在那裡動的時候，有時候能產生電流，有時候不能產生，你要是順著磁感線的方向運動（在上圖就是左右運動）就沒有電流，但是你要是做切割磁感線的運動（在上圖就是上下運動）它就能產生電流。打個通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根麵條，你只有把麵條（磁感線）切斷了才會產生電流。

再然後，他發現金屬棒在磁場裡不動雖然不會產生電流，但是如果這時候我改變一下磁場的強度，讓磁場變強或者變弱一些，即便金屬棒不動也會產生電流。

法拉第仔細總結了這些情況，他發現不管是金屬棒運動切割磁感線產生電流，還是磁場強度變化產生電流，都可以用一個通用的方式來表達：只要閉合迴路的磁通量發生了改變，就會產生電流。我們想想，磁通量是磁場強度B和麵積a的乘積（B·a），我切割磁感線其實是相當於改變了磁感線通過迴路的面積a，改變磁場強度就是改變了B。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的。

也就是說：只要通過曲面（我們可以把閉合迴路當作一個曲面）的磁通量發生了改變，迴路中就會產生電流，而且磁通量變化得越快，這個電流就越大。

到了這裡，我們要表示通過一個曲面的磁通量應該已經輕車熟路了。磁通量是B·a，那麼通過一個曲面S的磁通量給它套一個積分符號就行了。於是，通過曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

細心的同學就會發現這個表達式跟我們高斯磁場定律裡磁通量部分稍微有點不一樣，高斯磁場定律裡的積分符號（拉長的S）中間有一個圓圈，我們這裡卻沒有。高斯磁場定律說“閉合曲面的磁通量恆為0”，那裡的曲面是閉合曲面，所以有圓圈。而我們這裡的曲面並不是閉合曲面（我們是把電路迴路當成一個曲面，考慮通過這個迴路的磁通量），也不能是閉合曲面。因為法拉第就是發現了“通過一個曲面的磁通量有變化就會產生電流”，如果這是閉合曲面，那根據高斯磁場定律它的磁通量恆為0，恆為0那就是沒有變化，沒變化按照法拉第的說法就沒有電流，那還生什麼電？

所以，我們要搞清楚，我們這裡不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個非閉合曲面的磁通量，這個磁通量發生了改變就會產生電流，而且變化得越快產生的電流就越大。上面的式子給出的只是通過一個曲面S的磁通量，但是我們看到了最終決定電流大小的並不是通過曲面的磁通量的大小，而是磁通量變化的快慢。那麼這個變化的快慢我們要怎麼表示呢？

我們先來看看我們是怎麼衡量快慢的。比如身高，一個人在十二三歲的時候一年可以長10釐米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就長1釐米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（假設身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更小），看看這個量的變化dy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。

因此，我們可以用這個量的變化dy和給定的時間dt的比值dy/dt來衡量量這個量y變化的快慢。所以，我們現在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表達式替換掉上面的y就行了，那麼通過曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

這樣，我們就把磁生電這個過程中磁的這部分說完了，那麼電呢？一個閉合迴路（曲面）的磁通量有變化就會產生電，那這種電要怎麼描述？

11電場的環流

可能有人覺得磁通量的變化不是在迴路裡產生了電流麼，那麼我直接用電流來描述這種電不就行了麼？不行，我們的實驗裡之所以有電流，是因為我們用導線把金屬棒連成了一個閉合迴路，如果我們沒有用導線去連金屬棒呢？那肯定就沒有電流了。

所以，電流並不是最本質的東西，那個最本質的東西是電場。一個曲面的磁通量發生了變化，它就會在這個曲面的邊界感生出一個電場，然後這個電場會驅動導體中的自由電子定向移動，從而形成電流。因此，就算沒有導線沒有電流，這個電場依然存在。所以，我們要想辦法描述的是這個被感生出來的電場。

首先，一個曲面的磁通量發生了改變，就會在在曲面的邊界感應出一個電場，這個電場是環繞著磁感線的，就像是磁感線的腰部套了一個呼啦圈。而且，你這個磁通量是增大還是減小，決定了這個電場是順時針環繞還是逆時針環繞，如下圖：

如果我們從上往下看的話，這個成閉環的感生電場就是如下圖所示：它在這個閉環每點的方向都不一樣，這樣就剛好可以沿著迴路驅動帶電粒子，好像是電場在推著帶電粒子在這裡環裡流動一樣。

這裡，我們就要引入一個新的概念：電場環流，電場的環流就是電場沿著閉合路徑的線積分。這裡有兩個關鍵詞：閉合路徑和線積分。閉合路徑好說，你只有路徑是閉合的，才是一個環嘛，感生電場也是一個環狀的電場。

電場的線積分是什麼意思呢？因為我們發現這個感生電場是一個環狀電場，它在每一個點的方向都不一樣。但是，我們依然可以發動微積分的思想：這個電場在大範圍內（比如上面的整個圓環）方向是不一樣的，但是，如果在圓環裡取一個非常小的段dl，電場E就可以看做是一個恆定的了，這時候E·dl就是有意義的了。然後把這個環上所有部分的E·dl都累加起來，也就是沿著這個圓環逐段把E·dl累加起來，這就是對電場求線積分。而這個線積分就是電場環流，用符號表示就是這樣：

積分符號下面的C表示這是針對曲線進行積分，不同於我們前面的面積分（下標為S），積分符號中間的那個圓圈就表示這個是閉合曲線（電場形成的圓環）。如果大家已經熟悉了前面曲面通量的概念，我想這裡要理解電場在曲線上的積分（即電場環流）並不難。

這個電場環流有什麼物理意義呢？它就是我們常說電動勢，也就是電場對沿著這條路徑移動的單位電荷所做的功。我這裡並不想就這個問題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺一下就行了。你想想這個電場沿著這個迴路推動電荷做功（電場沿著迴路推著電荷走，就像一個人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場環流要傳遞的概念。而用這個概念來描述變化的磁產生的電是更加合適的，它既包含了感生電場的大小信息，也包含了方向信息。

12方程三：法拉第定律

所以，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的最後表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等於感生電場的環流。用公式表述就是這樣：

方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場環流我們上面都說了，還有一個需要說明的地方就是公式右邊的這個負號。為什麼磁通量的變化率前面會有個負號呢？

我們想想，法拉第定律說磁通量的變化會感生出一個電場出來，但是我們別忘了奧斯特的發現：電流是有磁效應的。也就是說，磁通量的變化會產生一個電場，這個電場它自己也會產生磁場，那麼也就有磁通量。那麼，你覺得這個感生電場產生的磁通量跟原來磁場的磁通量的變化會有什麼關係？

假如原來的磁通量是增加的，那麼這個增加的磁通量感生出來的電場產生的磁通量是跟原來方向相同還是相反？仔細想想你就會發現，答案必然是相反。如果原來的磁通量是增加的，你感生出來的電場產生的磁通量還跟它方向相同，這樣不就讓原來的磁通量增加得更快了麼？增加得更快，按照這個邏輯就會感生出更強大的電場，產生更大的與原來方向相同的磁通量，然後又導致原來的磁通量增加得更快……

然後你會發現這個過程可以無限循環下去，永遠沒有盡頭，這樣慢慢感生出無限大的電場和磁通量，這肯定是不可能的。所以，為了維持一個系統的穩定，你原來的磁通量是增加的，我感生電場產生的磁通量就必然要讓原來的磁通量減小，反之亦然。這就是楞次定律的內容，中學的時候老師會編一些口訣讓你記住它的內容，但是我想讓你知道這是一個穩定系統自然而然的要求。楞次定律背後還有一些更深層次的原因，這裡我們暫時只需要知道這是法拉第定律那個負號的體現就行了。

到這裡，我們就把麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的內容講完了，它刻畫了變化的磁通量如何產生電場的過程。但是，我們上面也說了，我們這裡的磁通量變化包含了兩種情況：導體運動導致的磁通量變化和磁場變化導致的磁通量變化。這兩種情況其實是不一樣的，但是它們居然又可以用一個統一的公式來表達，這其實是非常不自然的，當時的人們也只是覺得這是一種巧合罷了，但是愛因斯坦卻不認為這是一種巧合，而是大自然在向我們暗示什麼，他最終從這裡發現了狹義相對論，有興趣的同學可以這裡思考一下。

也因為這兩種情況不一樣，所以，法拉第定律還有另外一個版本：它把這兩種情況做了一個區分，認為只有磁場變化導致的磁通量變化才是法拉第定律，前面導體運動導致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時候就會看到法拉第定律的另一個版本：

對比一下這兩個法拉第定律，我們發現後面這個只是把那個變化率從原來的針對整個磁通量移到了只針對磁場強度B（因為B不是隻跟時間t有關，還可以跟其它的量有關，所以我們這裡必須使用對時間的偏導的符號∂B/∂t），也就是說它只考慮變化磁場導致的磁通量變化。這種形式跟我們後面要說的法拉第定律的微分形式對應得更好，這個後面大家會體會到。

磁生電的過程我們先講這麼多，最後我們來看看電生磁的情況。可能有些人會覺得我這個出場次序有點奇怪：明明是奧斯特先發現了電流的磁效應，大概十年後法拉第才發現了磁如何生電，為什麼你卻要先講磁生電的法拉第定律，最後講電生磁呢？

13安培環路定理

確實，是奧斯特首先爆炸性地發現了電流的磁效應，發現了原來電和磁之間並不是毫無關係的。

如上圖，假設電流從下往上，那麼它在周圍就會產生這樣一個環形的磁場。磁場的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導線，拇指指向電流的方向，那麼你右手四指彎曲的方向就是磁場B的方向。

然後畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應，看看一定大小的電流在周圍產生的磁場的大小是怎樣的。於是，我們就有了描述電流磁效應的畢奧-薩伐爾定律和安培環路定理。其中，畢奧-薩伐爾定律就類似於庫倫定律，安培環路定理就類似於高斯電場定律，因為在麥克斯韋方程組裡，我們使用的是後一套語言，所以我們這裡就只來看看安培環路定理：

安培環路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的。因為法拉第定律說磁通量的變化會在它周圍產生一個旋轉閉合的電場，而電流的磁效應也是在電流的周圍產生一個旋轉閉合的磁場。在上面我們已經說了我們是用電場環流（也就是電場在閉合路徑的線積分）來描述這個旋轉閉合的電場，那我們這裡一樣使用磁場環流（磁場在閉合路徑的線積分）來描述這種旋轉閉合的磁場。

安培環路定理的右邊就比較簡單了，μ0是個常數（真空磁導率），不用管它。I通常是用來表示電流的，enc這個右標我們在高斯電場定律那裡已經說過了，它是包含的意思。所以，右邊這個帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑裡的總電流，哪個閉合路徑呢？那自然就是你左邊積分符號中間那個圈圈表示的閉合路徑了。

也就是說，安培環路定理其實是在告訴我們：通電導線周圍會產生旋轉磁場，你可以在這個電流周圍隨便畫一個圈，那麼這個磁場的環流（沿著這個圈的線積分）就等於這個圈裡包含的電流總量乘以真空磁導率。

那麼，這樣就完了麼？靜電、靜磁分別由兩個高斯定律描述，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環路定理描述？

不對，我們看看安培環路定理，雖然它確實描述了電生磁，但是它這裡的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項）。難道一定要有電流才會產生磁？電磁感應被發現的原因就是看到奧斯特發現了電流的磁效應，發現電能生磁，所以人們秉著對稱性的原則，覺得既然電能夠生磁，那麼磁也一定能夠生電。那麼，繼續秉著這種對稱性，既然法拉第定律說“變化的磁通量能夠產生電”，那麼，我們實在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產生磁呢？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

那麼，為什麼描述電生磁的安培環路定理裡卻只有電流產生磁，而沒有變化的電通量產生磁這一項呢？難道當時的科學家們沒意識到這種對稱性麼？當然不是，當時的科學家們也想從實驗裡去找到電通量變化產生磁場的證據，但是他們並沒有找到。沒有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實驗精度還發現不了它。

如果你是當時的科學家，面對這種情況你會作何選擇？如果你因為實驗沒有發現它就認為它不存在，這樣未免太過保守。但是，如果你僅僅因為電磁之間的這樣一種對稱性（而且還不是非常對稱，因為大自然裡到處充滿了獨立的電荷，卻沒有單獨的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會產生磁”這樣未免太過草率。這種時候就是真正考驗一個科學家能力和水平的時候了。

麥克斯韋選擇了後者，也就是說麥克斯韋認為“變化的電通量也能產生磁”，但是他並不是隨意做了一個二選一的選擇，而是在他的概念模型裡發現必須加入這樣一項。而且，只有加上了這樣一項，修正之後的安培環路定理才能跟高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會產生矛盾（這個矛盾我們在後面的微分篇裡再說）。麥克斯韋原來的模型太過複雜，我這裡就不說了，這裡我用一個很簡單的例子告訴大家為什麼必須要加入“變化的電通量也能產生磁”這一項。

在安培環路定理裡，我們可以隨意選一個曲面，然後所有穿過這個曲面的電流會在這個曲面的邊界上形成一個環繞磁場，問題的關鍵就在這個曲面的選取上。按理說，只要你的這個曲面邊界是一樣的，那麼曲面的其他部分就隨便你選，因為安培環路定理座標的磁場環流只是沿著曲面的邊界的線積分而已，所以它只跟曲面邊界有關。下面這個例子就會告訴你即便曲面邊界一樣，使用安培環路定理還是會做出相互矛盾的結果。

上圖是一個包含電容器的簡單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器，它可以容納一定量的電荷。一開始電容器是空的，當我們把開關閉合的時候，電荷在電池的驅動下開始移動，移動到了電容器這裡就走不動了（此路不通），然後電荷們就聚集在電容器裡。因為電容器可以容納一定量的電荷，所以，當電容器還沒有被佔滿的時候，電荷是可以在電路里移動的，電荷的移動就表現為電流。

所以，我們會發現當我們在給電容器充電的時候，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒有電流。所以，如果我們選擇上圖的曲面，那麼明顯是有電流穿過這個曲面，但是，如果我們選擇下面這個曲面呢（此處圖片來自《麥克斯韋方程直觀》，需要的可以後臺回覆“麥克斯韋方程組”）？

這個曲面的邊界跟上圖一樣，但是它的底卻託得很長，蓋住了半塊電容器。這是什麼意思呢？因為我們知道電容器在充電的時候，電容器裡面是沒有電流的，所以，當我們把曲面選擇成下面這個樣子的時候，根本就沒有電流穿過這個曲面。

也就是說，如果我選上面的曲面，有電流穿過曲面，按照安培環路定理，它是肯定會產生一個環繞磁場的。但是，如果我選擇下面的曲面，就沒有電流通過這個曲面，按照安培環路定理就不會產生環繞磁場。而安培環路定理只限定曲面的邊界，並不管你曲面的其它地方，於是我們就看到這兩個相同邊界的曲面會得到完全不同的結論，這就只能說明：安培環路定理錯了，或者至少它並不完善。

我們再來想一想，電容器在充電的時候電路中是有電流的，所以它周圍應該是會產生磁場的。但是，當我們選擇下面那個大口袋形的曲面的時候，並沒有電流穿過這個曲面。那麼，到底這個磁場是怎麼來的呢？

我們再來仔細分析一下電容器充電的過程：電池驅使著電荷不斷地向電容器聚集，電容器中間雖然沒有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來越多。電荷越來越多的話，在電容器兩個夾板之間的電場強度是不是也會越來越大？電場強度越來越大的話，有沒有嗅到什麼熟悉的味道？

沒錯，電場強度越來越大，那麼通過這個曲面的電通量也就越來越大。因此，我們可以看到雖然沒有電流通過這個曲面，但是通過這個曲面的電通量卻發生了改變。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項也添加到產生磁場的原因裡。因為這項工作是麥克斯韋完成的，所以添加了這一項之後的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律：

把它和安培環路定理對比一下，你就會發現它只是在在右邊加了變化的電通量這一項，其它的都原封未動。E·a是電通量，套個面積分符號就表示通過曲面S的電通量，再加個d/dt就表示通過曲面S電通量變化的快慢。因為在講法拉第定律的時候我們詳細講了通過曲面磁通量變化的快慢，這裡只是把磁場換成了電場，其他都沒變。

ε0是真空中的介電常數，把這個常數和電通量變化的快慢乘起來就會得到一個跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流，如下圖：

所以，我們經常能夠聽到別人說麥克斯韋提出了位移電流假說。其實，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產生磁場”這一項，因為當時並沒有實驗能證明這一點，所以只能暫時稱之為假說。在安培環路定理裡添加了這一項之後，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組裡預言電磁波的存在，這最後添加這項“變化的電通量產生磁場”至關重要。

因為你想想，預言電磁波的關鍵就是“變化的電場產生磁場，變化的磁場產生電場”，這樣變化的磁場和電場就能相互感生傳向遠方，從而形成電磁波。而變化的電場能產生磁場，這不就是麥克斯韋添加的這一項的核心內容麼？電場變了，磁通量變了，於是就產生了磁場。至於麥克斯韋方程組如何推導出電磁波，我後面再專門寫文章解釋，這裡知道電磁波的產生跟位移電流的假說密切相關就行了。

15麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說穿過閉合曲面的電通量正比於這個曲面包含的電荷量。

高斯磁場定律說穿過閉合曲面的磁通量恆等於0。

法拉第定律說穿過曲面的磁通量的變化率等於感生電場的環流。

安培-麥克斯韋定律說穿過曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等於感生磁場的環流。

我們看到，在這裡從始至終都佔據著核心地位的概念就是通量。

如果一個曲面是閉合的，那麼通過它的通量就是曲面裡面某種東西的量度。因為自然界存在獨立的電荷，所以高斯電場定律的右邊就是電荷量的大小，因為我們還沒有發現磁單極子，所以高斯磁場定律右邊就是0。

如果一個曲面不是閉合的，那麼它就無法包住什麼，就不能成為某種荷的量度。但是，一個曲面如果不是閉合的，它就有邊界，於是我們就可以看到這個非閉合曲面的通量變化會在它的邊界感生出某種旋渦狀的場，這種場可以用環流來描述。因而，我們就看到了：如果這個非閉合曲面的磁通量改變了，就會在這個曲面的邊界感生出電場，這就是法拉第定律；如果這個非閉合曲面的電通量改變了，就會在這個曲面的邊界感生出磁場，這就是安培-麥克斯韋定律的內容。

所以，當我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個方程串起來的時候，你會發現麥克斯韋方程組還是很有頭緒的，並不是那麼雜亂無章。閉上眼睛，想象空間中到處飛來飛去的電場線、磁場線，它們有的從一個閉合曲面裡飛出來，有的穿過一個閉合曲面，有的穿過一個普通的曲面然後在曲面的邊界又產生了新的電場線或者磁場線。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官。

16結語

有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程，其實不然。如我們所見，麥克斯韋方程組雖然有四個方程，但是其中有三個半（高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律、安培環路定理）是在麥克斯韋之前就已經有了的，真正是麥克斯韋加進去的只有安培-麥克斯韋定律裡”電通量的變化產磁場”那一項。知道了這些，有些人可能就會覺得麥克斯韋好像沒那麼偉大了。

其實不然，在麥克斯韋之前，電磁學領域已經有非常多的實驗定律，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個，然後建立一個完善自洽的模型解釋一切電磁學現象？這原本就是極為困難的事情。更不用說麥克斯韋在沒有任何實驗證據的情況下，憑藉自己天才的數學能力和物理直覺直接修改了安培環路定理，修正了幾個定律之間的矛盾，然後還從中發現了電磁波。所以，絲毫沒有必要因為麥克斯韋沒有發現方程組的全部方程而覺得他不夠偉大。

最後，如題所示，我這篇文章講的只是麥克斯韋方程組的積分篇，方程都是用積分是形式寫的。因為積分篇主要是從通量，從宏觀的角度來描述電磁學，所以相對比較容易理解。有積分篇那就意味著還有麥克斯韋方程組的微分篇，微分篇的內容我下一篇文章再講。我這篇文章主要參考了《電動力學導論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對麥克斯韋方程組做進一步瞭解的可以看看這兩本書，需要電子檔的可以在後臺回覆“麥克斯韋方程組”。

最美的方程，願你能懂她的美~