最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）（下）
接上篇：最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）（上）10電磁感應既然是要做實驗看磁如何生電，那首先肯定得有一個磁場。這個簡單，找兩塊N極和S極相對...
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。
08方程一：高斯電場定律
總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：
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2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。
08方程一：高斯電場定律
總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：
方程的左邊，我們上面解釋了這麼多，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量，ε0是個常數（真空介電常數），暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數學公式完美地詮釋了我們的思想。
麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線通過一個曲面的數量，而我們也知道磁場也有磁感線（由於歷史原因無法使用磁場線這個名字），那麼，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然後在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢？
09方程二：高斯磁場定律
磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個曲面的數量定義磁通量。因為磁場線的密度一樣表徵了磁感應強度（因為歷史原因，我們這裡無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場通過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。
同樣，根據我們在上面電場裡使用的微積分思想，類比通過閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過一個閉合曲面S的磁通量表示為：
"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。
08方程一：高斯電場定律
總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：
方程的左邊，我們上面解釋了這麼多，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量，ε0是個常數（真空介電常數），暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數學公式完美地詮釋了我們的思想。
麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線通過一個曲面的數量，而我們也知道磁場也有磁感線（由於歷史原因無法使用磁場線這個名字），那麼，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然後在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢？
09方程二：高斯磁場定律
磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個曲面的數量定義磁通量。因為磁場線的密度一樣表徵了磁感應強度（因為歷史原因，我們這裡無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場通過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。
同樣，根據我們在上面電場裡使用的微積分思想，類比通過閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過一個閉合曲面S的磁通量表示為：
然後，我們可以類比高斯電場定律的思想“通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比”，建立一個高斯磁場定律，它是核心思想似乎就應該是：通過閉合曲面的磁通量跟這個曲面包含的“磁荷量”成正比。
然而這裡會有個問題，我們知道自然界中有獨立存在的正負電荷，電場線都是從正電荷出發，彙集與負電荷。但是自然界裡並不存在（至少現在還沒發現）獨立的磁單極子，任何一個磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場線不一樣，它不會存在一個單獨的源頭，也不會彙集到某個地方去，它只能是一條閉合的曲線。
"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。
08方程一：高斯電場定律
總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：
方程的左邊，我們上面解釋了這麼多，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量，ε0是個常數（真空介電常數），暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數學公式完美地詮釋了我們的思想。
麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線通過一個曲面的數量，而我們也知道磁場也有磁感線（由於歷史原因無法使用磁場線這個名字），那麼，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然後在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢？
09方程二：高斯磁場定律
磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個曲面的數量定義磁通量。因為磁場線的密度一樣表徵了磁感應強度（因為歷史原因，我們這裡無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場通過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。
同樣，根據我們在上面電場裡使用的微積分思想，類比通過閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過一個閉合曲面S的磁通量表示為：
然後，我們可以類比高斯電場定律的思想“通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比”，建立一個高斯磁場定律，它是核心思想似乎就應該是：通過閉合曲面的磁通量跟這個曲面包含的“磁荷量”成正比。
然而這裡會有個問題，我們知道自然界中有獨立存在的正負電荷，電場線都是從正電荷出發，彙集與負電荷。但是自然界裡並不存在（至少現在還沒發現）獨立的磁單極子，任何一個磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場線不一樣，它不會存在一個單獨的源頭，也不會彙集到某個地方去，它只能是一條閉合的曲線。
上圖是一個很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極，在磁鐵的內部又從S極指向N極，這樣就形成一個完整的閉環。
如果磁感線都是一個閉環，沒有獨立存在的磁單極，那我們可以想一想：如果你在這個閉環裡畫一個閉合曲面，那麼結果肯定就是有多少磁感線從曲面進去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來。因為如果有一根磁感線只進不出，那它就不可能是閉合的了，反之亦然。
如果一個閉合曲面有多少根磁感線進，就有多少根磁感線出，這意味著什麼呢？這就意味著你進去的磁通量跟出來的磁通量相等，那麼最後這個閉合曲面包含的總磁通量就恆為0了。這就是麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恆為0。
通過閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個曲面的積分符號就表示曲面的磁通量）我們上面已經說了，恆為0無非就是在等號的右邊加個0，所以高斯磁場定律的數學表達式就是這樣的：
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"
2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。
麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。
不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微複雜，但是它的物理內涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數學內容，大家只要跟著長尾科技的思路，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什麼難事~
01電磁統一之路
電和磁並沒有什麼明顯的聯繫，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯繫呢？
1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。
消息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。
三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。
又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。
至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？
由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。
發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。
但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。
於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。
到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？
此處思考一分鐘……
我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～
所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。
02庫侖的發現
在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。
這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。
什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。
因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。
好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：
這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。
庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。
03電場的疊加
有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個矢量。
為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。
這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？
一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。
我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？
有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。
牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？
04通量的引入
我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，
我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經之路。
這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於通過這個塑料袋錶面的水量。
從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個曲面的某種流量，通過塑料袋錶面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑料袋的水通量了。
好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那麼電場線通過塑料袋的數量自然就叫塑料袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑料袋的電通量等於什麼呢？
我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑料袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關。
這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。
把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。
我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼通過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？
05電場的通量
我們先從最簡單的情況看起。
問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，通過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？
我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線通過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，通過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。
因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。
木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？
問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？
如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。
然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。
AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
06矢量的點乘
到了這裡，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了。
通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。
標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因為既有大小又有方向，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量，一個矢量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？
這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在矢量這裡並不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在矢量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。
如上圖，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據三角函數的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。
既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表達式，那麼矢量OA和OB的點乘就可以表示為：
OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。
為什麼我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣？
也就是說，如果我們從矢量的角度來看：電場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。
這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？
總之，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場通過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。
07閉合曲面的電通量
知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？
這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。
地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？
彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。
下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。
如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼通過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。
這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：
這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。
08方程一：高斯電場定律
總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：
方程的左邊，我們上面解釋了這麼多，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量，ε0是個常數（真空介電常數），暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數學公式完美地詮釋了我們的思想。
麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線通過一個曲面的數量，而我們也知道磁場也有磁感線（由於歷史原因無法使用磁場線這個名字），那麼，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然後在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢？
09方程二：高斯磁場定律
磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個曲面的數量定義磁通量。因為磁場線的密度一樣表徵了磁感應強度（因為歷史原因，我們這裡無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場通過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。
同樣，根據我們在上面電場裡使用的微積分思想，類比通過閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過一個閉合曲面S的磁通量表示為：
然後，我們可以類比高斯電場定律的思想“通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比”，建立一個高斯磁場定律，它是核心思想似乎就應該是：通過閉合曲面的磁通量跟這個曲面包含的“磁荷量”成正比。
然而這裡會有個問題，我們知道自然界中有獨立存在的正負電荷，電場線都是從正電荷出發，彙集與負電荷。但是自然界裡並不存在（至少現在還沒發現）獨立的磁單極子，任何一個磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場線不一樣，它不會存在一個單獨的源頭，也不會彙集到某個地方去，它只能是一條閉合的曲線。
上圖是一個很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極，在磁鐵的內部又從S極指向N極，這樣就形成一個完整的閉環。
如果磁感線都是一個閉環，沒有獨立存在的磁單極，那我們可以想一想：如果你在這個閉環裡畫一個閉合曲面，那麼結果肯定就是有多少磁感線從曲面進去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來。因為如果有一根磁感線只進不出，那它就不可能是閉合的了，反之亦然。
如果一個閉合曲面有多少根磁感線進，就有多少根磁感線出，這意味著什麼呢？這就意味著你進去的磁通量跟出來的磁通量相等，那麼最後這個閉合曲面包含的總磁通量就恆為0了。這就是麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恆為0。
通過閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個曲面的積分符號就表示曲面的磁通量）我們上面已經說了，恆為0無非就是在等號的右邊加個0，所以高斯磁場定律的數學表達式就是這樣的：
對比一下高斯電場定律和高斯磁場定律，我們會發現他們不僅是名字想象，思想也幾乎是一模一樣的，只不過目前還沒有發現磁荷、磁單極子，所以高斯磁場定律的右邊就是一個0。我們再想一想：為什麼這種高斯XX定律能夠成立？為什麼通過任意閉合曲面的某種通量會剛好是某種量的一個量度？
原因還在它們的“平方反比”上。因為電場強度和磁感應強度都是跟距離的平方成反比，而表面積是跟距離的平方正比，所以你前者減小多少，後者就增加多少。那麼，如果有一個量的表示形式是前者和後者的乘積，那麼它的總量就會保持不變。而通量剛好就是XX強度和表面積的乘積，所以電通量、磁通量就都會有這樣的性質。
所以，再深思一下你就會發現：只要一種力的強度是跟距離平方成反比，那麼它就可以有類似的高斯XX定律，比如引力，我們一樣可以找到對應的高斯定律。數學王子高斯當年發現了高斯定理，我們把它應用在物理學的各個領域，就得到了各種高斯XX定律。麥克斯韋方程組總共就四個方程，就有兩個高斯定律，可見其重要性。
靜電和靜磁方面的事情就先說這麼多，還有疑問的請諮詢高斯，畢竟這是人家獨家冠名的產品。接下來我們來看看電和磁之間的交互，看看磁是如何生電，電是如何生磁的。說到磁如何生電，那就肯定得提到法拉第。奧斯特發現電流的磁效應之後，大家秉著對稱性的精神，認為磁也一定能夠生電，但是磁到底要怎樣才能生電呢？不知道，這就得做實驗研究了。
10電磁感應
……
因字數限制，剩下的部分只能放在下篇
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