自從很久以前人們發現了存在圓周率π這個神奇的數字之後，便費盡一切心力來計算這個值。在那個數學工具比較匱乏的時代，人們能夠做的就是根據圓周率的定義來計算。歷史上，東西方几乎在同時發現了割圓術，雖然細節上有所不同，但是大致思路都是一致的。其實說不上巧合，割圓術是最基礎的求π方式。我們常人可能覺得把這個圓周率求到小數點後幾位就夠了，像祖沖之那樣的大神能夠求到小數點後7位，已經是擁有超越常人的意志力和計算力了。其實在微積分到來之前，有人用割圓術把圓周率求到了極致。

魯道夫·範·科伊倫

大約1600年，荷蘭數學家魯道夫·範·科伊倫利用兩千年前阿基米德創立的割圓術，耗盡一生心血，計算到了2⁶² 邊形。你沒看錯就是這麼多邊形，得出圓周率小數點後35位，也就是3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288。這個數字也叫魯道夫數，後來他去世，墓碑上刻上了這個記錄他一生成就的數字。

魯道夫墓碑上的數字記錄了他一生的成就

後來，數學界終於迎來了微積分這一最重要的數學工具，於是，人們的眼界一下子被打開了。

有無窮級數的加持，你會發現，幾乎每個無窮級數後面都會跟著一個π。比如，大名鼎鼎的萊布尼茨曾經發現過一個級數，看起來相當簡單。

大神萊布尼茲

引以為傲的萊布尼茨級數

如果讓微積分時代以前的人們看到這個公式肯定會驚訝異常，這個真的可以求出圓周率嗎？當然可以，這個神奇的級數其實是來自下面這個簡單的幾何數列。

萊布尼茨級數的證明

可能很多同學都會覺得，有了無窮級數和微積分，這個求π的方法到處都是，已經沒有了之前的高冷感了。甚至會覺得有了這些五花八門的公式，求π已經是毫無技術含量的工作了。沒有技術含量，意義也不再那麼明顯了。你要說現代人們用超級計算機來反覆求π值是為了檢測計算機硬件以及算法的效力的，在那個時代，計算只能靠人工的時代，這種枯燥無味的事情有誰會去做呢？

數學家們不會因為這種枯燥無味的工作就停止對π的研究，不禁又在想著歪心思，求π就一定要人工計算嗎？有沒有一種算法可以不用去計算那些繁雜的級數，直接得到圓周率呢？

數學上想要的工具大部分都被髮明出來了

其實翻看數學研究的歷史，你會發現，數學家想要的工具還真沒幾個是發明不出來的。全新的求圓周率π方法就是如此。

在1777年，有一位大神站出來說，我可以不用紙筆計算就可以得出圓周率，眾人當然不信，直到他把自己的方法以及證明亮出來。人們終於相信了這一套圓周率的求法是正確的。

18世紀，法國數學家蒲豐做了這個著名的投針實驗，與其說實驗，不如說是遊戲。

法國數學家 蒲豐

在一張比較大的紙上有一簇間距為t的平行線，用一個長度是l的針 ，此時用針隨機地投向這張紙，那麼針與平行線相交的概率就是P=2l/tπ。這裡出現了π。

如果大家有興趣，可以自己來做下這個實驗，統計一下隨機投針之後與平行線交叉的概率是不是滿足蒲豐提出的這個公式。歷史上，有很多人都做過這樣的實驗，幾百次到幾千次不等，而最後的統計事實也證實了這個公式的正確性。甚至到了20世紀初，還有人痴迷於這個實驗。我們這裡當然不會枯燥地重複這個投針過程，只是準備從根本上來解釋，為什麼投針的次數統計就會跟看似毫不起眼的π打上交道。

投針實驗

想要弄清楚這裡的原因，首先我們要了解兩個預備知識。

概率密度函數

密度，這是一個物理學上基本的單位，也是物質的一種屬性。比如我得到了純鐵塊，我只要測量一下這個鐵塊的體積，然後再根據鐵的密度，就可以算出這塊鐵的重量。反過來，我先測量出鐵塊的重量，根據密度值，也可以算出鐵塊的體積。在數學上，人們在研究密度問題時，引入了這個概念，相當直觀形象，表達了某種情況下特定事件發生的概率。

舉個例子。

最簡單的概率密度函數——均勻分佈

在[1,10]的區間內任取一個數a，那麼a剛好在[2,5]之間的概率是多少？

很明顯，a在整個取值區間內的分佈都是均勻的，也就是說，a在區間內的任何位置被取到的概率都是相同，既然在任一點被取到的概率相同，那麼[2,5]整個區間被取到就不具備特殊性。因此，這裡a剛好在[2,5]之間的概率就是(5-2)/(10-1)=1/3。這是一個顯而易見的結果，我們把這種分佈叫作均勻分佈，均勻分佈也是最簡單的概率密度函數。

那麼複雜一點的概率密度函數呢？眾所周知的正態分佈，也是一種概率密度函數。

正態分佈也是一種概率密度函數

我們不必去研究這個密度函數是怎麼得來的，大家應該都有印象，在[-σ,σ],[-2σ,2σ]，[-3σ,3σ]的概率值都是固定的。實際上我們把上面那個正態分佈密度函數在這3個區間上求積分，就得到了相應區間對應的概率值了。

正態分佈在一定區間內的概率是固定的

獨立事件的概率

這個概念其實很好理解，任何兩個事件的關係無非就是3種，要麼兩個事件之間有聯繫，一件事情的發生會影響到另一事件。比如，你在雨天淋溼了身體，就有可能導致你感冒發燒，雖然這種關係不是非常直接，但是我們認為二者之間是存在一定關聯的。要麼就是兩件事件之間沒有任何關係，一件事情的發生完全不會影響到另一件事的開展，這就叫獨立事件。比如，晚上我在家吃了一個西瓜，和我明天要上班，兩個事件是沒有任何關係的。要麼就是兩件事不可能會同時發生，每次最多隻會發生其中的一件。比如，我今天是開車去上班的，和我今天是騎行去上班的。同樣的上班時間段，你只能至多隻能選擇一種交通工具。

擲2枚骰子

那麼獨立事件同時發生的概率是多少呢？假如我們手上有兩粒骰子，一次性擲下去，請問出現兩個6個概率是多少？這裡兩個骰子出現的點數就是獨立事件，一個骰子的點數多少完全不會影響到另外一顆骰子的點數。於是兩個獨立事件A,B同時發生的概率就是

獨立事件發生的概率

所以兩粒骰子同時出現6的概率就是1/6×1/6=1/36。

好了，我們已經做好了全面理解蒲豐投針求圓周率的必備知識了，接下來，我們就將完全理解他這麼做的理由。

蒲豐投針原理圖

x為針的中心和最近的平行線的距離，θ為針和線之間的銳角。在這裡，我們發現了兩個獨立事件，x與θ的取值之間沒有關聯。

其中x在[0,t/2]均勻分佈，密度函數為2/t;θ也在[0,π/2]上均勻分佈，密度函數為2/π。所以兩個獨立事件同時發生的概率就為：

我們觀察一下上面的投針簡圖，什麼情況下，針才會與平行線相交呢？這裡只考慮針長l小於平行線間距t的情況。通過觀察，我們容易發現，當x≦l/2×sinθ時，針就與平行線相交了。

至此，所有準備工作都已經結束，我們可以直接得出概率計算公式了。

針與平行線交叉的概率公式

大家千萬不要被這個二重積分嚇到了，這裡只相當於是兩個獨立事件概率相乘。至於看起來為啥這麼複雜，我們不去討論細節。當年蒲豐就是這麼得到這個計算結果的。特別的，如果針長和平行線間距一樣，那麼上面的式子就可以進一步化簡，於是

這裡的相交概率P只要通過反覆做實驗，做出統計即可，這是一項毫無技術含量的工作。但是從這個工作裡卻可以真實地得到π的值，這可就有點不可思議了。雖然，蒲豐的方法無懈可擊，但是人們還是不太相信，於是開始了用實踐來檢驗這個真理的行動。很多人做過的投針實驗都留下了確切的記錄。

歷史上的著名投針實驗結果記錄

這裡必須要提一下1901年，Lazzerini做的投針實驗。針長0.83，平行線間距1，他一共做了3408次，其中相交此次數為1808，最後得出π的值為3.1415929。這是一個令人咋舌的精準值！與祖沖之費盡千辛萬苦得到的密率355/113完全一樣，雖然一直人懷疑這樣精準的數值的可信度，但是上述的幾次著名的投針實驗，依然無可辯駁地證明了，蒲豐投針求圓周率的正確性！

蒙特卡洛方法求解圓周率

蒲豐投針給人們帶來離開全新的求π的算法，人們不再拘泥於繁雜的數學計算。換種思路同樣有效，這是歷史上第一個用幾何形式來表達概率的例子。蒲豐巧妙地把概率計算引入到對於平面幾何的處理上來，使得求解過程變得相當直觀易懂。而蒲豐投針的最重要的貢獻是給出了一種利用隨機數來模擬確定或非確定計算的思想，這也是現在人工智能領域裡最基礎的算法——蒙特卡洛算法的雛形。