歐拉和黎曼在數學界的地位誰更高一些？

我想把題目類型數學家擴充一下五個，比較一下高斯，歐拉，黎曼，龐加萊，格羅藤迪克五中類型的數學家(我評價標準比較注重數學家創造性)

NO5. 格羅藤迪克

等級：半神

類型：超越時代

風格: 一個方向走到極致，代數幾何的極致，抽象的極致，結構化的極致！進而影響數學全局！

留給數學家就業崗位:

1夢想中的動機理論，2代數幾何中的標準猜想(遠阿貝爾代數幾何)，

3. ABC猜想

4. 30%左右的菲爾茲獎得主的研究領域都幾乎直接和間接和格羅藤迪克研究的代數幾何相關，格羅藤迪克為中國乃至世界數學家留下了許多研究的飯碗，創造力大量數學家就業崗位，從這一點看，格羅藤迪克功德無量。

主要成果：

1.非交換代數幾何(當代數學最重要的主流方向，未來數學的一大趨勢，史上抽象結構化數學的巔峰)

2.motive動機理論(無人能夠完全解讀，未來數學的可能性，意義重大，一旦成立，將會對基礎數學幾乎所有數學分支研究產生革命性影響，被譽為數學中的烏托邦。)

3.概型理論(一旦成立，概型有可能是比流形更接近數學本質的東西，國際許多數學大佬都感到非常深奧難懂，對他的研究目前仍然毫無頭緒)

4.拓撲斯理論

5.黎曼－洛赫－格羅滕迪克定理(連接分析與幾何拓撲的中心定理)

簡評：

代數幾何的上帝，當代數學的統治者，其思想與成就將引領數學下一個百年！格羅騰迪克進入第五，或許有點令人奇怪，畢竟一個2014年才去世的當代數學家，還沒有經過歷史時間長河的考驗，憑什麼排在這麼高的位置？

不過要我說，再過五十到一百年，就學術成就而言，上帝還可能超越高斯，排名第三！

就目前來看，格羅藤迪克的的數學影響力已經有和高斯王子，歐拉老師，希爾伯特叫板的本錢了。

而上帝還只是個當代數學家，在可以想見的未來裡，他學術印記必定會進一步加深！上帝的風格很奇特，屬於一個方向走到極致，代數幾何的極致，抽象的極致，結構化的極致！

從一個方向出發，進而全面輻射影響到了數學的各個方向和分支，代數，幾何，數論，拓撲，分析，很難找到當代數學哪個方向沒有受到上帝的啟發！上帝並不全面，不以全才著稱，他主要只專注於代數幾何，卻影響了了全局！

其抽象結構化的能力與天賦，史上第一！沒有爭議！放眼數學史上，除了黎曼，龐加萊，加羅華，牛頓等了了幾人之外，還有誰一開創一種數學工具，立刻解決大量當代最重要的數學問題？

費馬大定理，韋伊猜想，莫德爾猜想，谷山志村猜想，當代最重要的數學突破進展都來源於他的代數幾何，超過一半的菲爾茨獎與上帝的工作直接或間接相關！當代最偉大的數學家，沒有之一！

把他排在第五位，考慮到歷史長度，他還需要至少一百年的時間，來加深他對數學的印記，才能名正言順的超越高斯王子和歐拉老師，這個是個大概率事件！(因為到了博士生階段，前沿數學領域，高斯和歐拉的數學理論慢慢無法解決許多數學和物理大問題，慢慢走下神壇，給了其他數學家增加影響力的機會。)

當然，如果未來幾十年有更強的數學家創造新的數學工具取代格羅藤迪克的思想，那麼上帝當然也無法超越高斯和歐拉大師了！目前而言，他所需要的，只是還差一點時間！這個時間是多久？大約一百年，就夠了，😄他的總體成就，與希爾伯特可以說不相上下，但考慮到上帝在未來的潛力和提升的空間，其思想的可挖掘的寶藏，還是將上帝放在前面。

而上帝的總體數學成就，明顯要比加羅華，阿貝爾，牛頓，萊布尼茨要高出不少，無論創造性，重要性，影響力，顛覆性，格羅都可以排名史上前五！而比起成果滿天開花的魏爾斯特拉斯，柯西，拉格朗日等歷史偉大人物，上帝在純數學領域顯然要直接超越了，已經不是一個檔次的數學家了！

格羅藤迪克的亮點:

從數學爆發力來說，他和黎曼阿貝爾伽瓦羅是總統山級別，就是說平均時間裡的數學產出。

格羅藤迪克2014年去世後留下的數學遺產仍然沒有被完全挖掘，他的拓撲斯理論鏈接了邏輯與代數幾何，是層論和拓撲的範疇化，目前數學界有5個很有潛力替代集合論的構造主義數學基礎，都彙集指向元素拓撲斯理論，高階拓撲斯理論仍然是開放問題，數學家對其研究像盲人摸象。

格羅藤迪克黑點:

格羅藤迪克許多烏托邦的數學設想和數學架構，需要時間來檢驗，大概100年後在來評價比較合適。

NO4. 龐加萊

等級：神級

類型：超越時代

風格:天馬行空般的創造性大師

留給後世數學家就業崗位: 龐加萊猜想

代表性成果：

1.代數拓撲（數學史上最重要的數學構造之一，透視未來物理的基礎性創造）

2.單值化定理（連接數學和物理的重要橋樑）

3.混沌理論

4.自守函數

5.動力系統(創始人)

龐加萊的亮點：

1.史上在數學與物理綜合成就最接近於牛頓的數學家！物理學史上最偉大的數學家！雖然在物理上無法與牛頓相提並論，但狹義相對論僅次於愛因斯坦貢獻者，以及天體力學僅次於牛頓，開創的混沌理論，以及對量子力學的影響，無不是第一流物理學家的水準，而且龐加萊的純數學成就直接甩牛頓八條街，甩愛因斯坦更是十八條街。在數學創造力上，龐加萊除了黎曼之外，對於其他數學家，基本上是個吊打無壓力的水準。

2.一己之力開創拓撲學這個堪稱數學史上難度最大的最重要的數學構造之一！其在完成度和深度上雖然不如黎曼的幾何（但難度遠勝之），但要勝過伽羅華，阿貝爾的群論，和高斯在算術探索曲面幾何的深度和完成度相仿，但同樣難度遠勝之！其開創的同倫同調技術，尤其是高維單值化定理的證明推廣，成為現代代數幾何，乃至數學，理論物理最重要的基石之一，影響到多維時空的研究與發展！

而且普遍認為，在未來的物理學的關鍵性突破，必須源於透視拓撲的更根本的性質，必須拓撲學有重大突破才能夠誕生新的物理飛躍！lie

2016年的諾貝爾物理學獎三位物理學家，因為拓撲相變的理論成果而獲獎，而這方面的遠見性思想的拓撲學內在性質工作，皆是起源於龐加萊的論文之中。

這方面工作21世紀被挖掘出來的越來越多，龐加萊學說仍然有許多數學和物理上的淘寶地。

3.數學史上的智力之神！龐加萊學說的難度史上第一，毫無爭議，其中充滿創造性與複雜的新思想與新技巧，他是如何想出來這些艱深看不到盡頭的學問，無人知曉！這與高斯，柯西，魏爾斯特拉斯搞出無數定理之類的工作根本不是一個檔次！這是人類智力上的一個奇蹟！這也是數學史上的一個謎！迄今無人可以解讀！

龐加萊的黑點：

1.拓撲學足夠偉大(重要性在20世紀超越高斯認為的數學明珠-數論，沒辦法，數學大神不止高斯一位)，但龐加萊所開創的這項震撼人心的偉大數學構造只是粗糙構造，雖然揭示看清了許多本質，但遠遠未達到完美構造和預期，龐加萊去世後，拓撲學的研究已經進入停頓，再無實質性突破，龐加萊並未留下線索，迄今也無人能夠企及這個高度，拓撲學仍然在等候下一個龐加萊一樣的天才繼承人。

2.否認狹義相對論的基本原理，所以即使他比愛因斯坦更早推出了狹義相對論方程，也極大的降低了他應得的榮譽，不作死就不會死，否則龐加萊將成為狹義相對論的第一發現人，物理學地位將躋身物理學史前十，而非如今前五十都進不了，成為愛因斯坦狹義相對論的第二貢獻者的陪襯地位。這個是物理學上的黑點，不影響他數學上的成就。不過因為太著名，也就提提。

龐加萊為什麼不如黎曼？

簡評：事實上，龐加萊學術尤其是拓撲學的難度遠超黎曼，而且在數學與物理的綜合個人總戰績中也遠超黎曼。但是為什麼龐加萊比起黎曼還是差了一個檔次呢？

首先，我們這裡是比較數學成就，不論物理成就綜合。

其次，也是最重要的，就是龐加萊最重要最具代表性的成果的創造拓撲學，完成度和深度依然較粗糙，遠不及黎曼在幾何上的完成度和深度。龐加萊之後，拓撲學基本已經是一門快要死亡的學科了，研究已經變成一潭死水；而黎曼的學說思想，迄今仍然在給數學家們無數有益啟發，已經成為基礎性的數學語言平臺，所有的數學家都在此基礎工作。換言之，雖然因為時代的原因，龐加萊工作難度更大，但黎曼的目光更深邃，思想更深刻，這就猶如黎曼不但找到了一座巨大的金礦，不但自己挖出了金子，而且給了後人指點了上山的路，並提供挖掘金礦的工具和方法，而後人沿著黎曼的指引和使用黎曼提供的工具，迄今不斷開採出黃金。

龐加萊則是相當於也發現了另外一座巨大的金礦，卻發現金礦在懸崖上，龐加萊自己也沒能爬上去金礦，也沒找到路，於是用鉤子吊繩之類工具，於是也自己也開採了一些金礦出來，後人用龐加萊的辦法也弄了一些黃金出來，但這座巨大的金礦的依然藏在懸崖上，龐加萊既沒有指出上山的路，也沒有提供更有效的工具，後人只能對著巨大的金礦望洋興嘆而無能為力！

這個就是龐加萊不如黎曼，龐加萊和黎曼有接近一檔次的差距的原因！

細比較黎曼和龐加萊，會發現兩人有許多驚人的相似：都是數學直覺燦爛的代表，都是幾何天賦奇高，而都是對代數無多少貢獻，都是在做創造性的工作！都引導了物理的最前沿的突破。

(龐加萊學說重要性在21世紀還會不斷上升，因為他的學說還有大量可以挖掘的財富，留給後人研究的飯碗非常多，學術地位還在上升是大勢所趨，對歐拉，高斯的地位挑戰是非常大的)

NO3. 歐拉

等級：大神

類型：統治時代

風格: 世界第一流的數學應用技巧大師

留給後世數學家就業崗位: 推廣哥德巴赫猜想

代表性成果：

1.分析學(分析化身，分析學史上第一人，遠超牛頓與萊布尼茨在微積分的成就，奠定分析學與數論，幾何，代數為四大數學分支並列地位的最重要數學家)

2.歐拉恆等式(解析數論先驅，數論與分析之間的神祕橋樑，從此以後可以用微積分來研究數論，黎曼推廣到複數系後形成史上最偉大數學猜想，迄今未破解)

3.微分方程(先驅，物理學最重要數學工具的早期先驅與開創者)

4.變分法

5.圖論，拓撲學(早期先驅，後世最重要的數學構造之一，由黎曼與龐加萊徹底開創輝煌)

6.分析力學，彈道力學(開創者)

7.應用數學

簡評：

作為人類科學史上第一個純粹意義上的職業數學家，18世紀數學界的統治者，全面卓越的數學成就與貢獻，偉大的歐拉大師排在第三位，作為歐拉老師的粉絲，還是可以接受的。

歐拉的在各個數學分支的全面性貢獻，歷史上只有高斯可以相提並論。就學術成就來說，歐拉與高斯、格羅滕迪克、希爾伯特不相上下。

與高斯相比，歐拉最重要的工作對於微積分的發展，分析學史上第一人的成就，足以與高斯在數論和微分幾何上的成就媲美，而且歐拉對18世紀數學界的統治力完全無解，相比高斯在19世紀數學界時不時被超車的統治力更有說服力。但總體說來，高斯在理論的抽象性與嚴密性要超越歐拉，而且在深度與完成度上也強於歐拉，而且高斯奠基與開創的學科與分支對於現代數學更深刻與重要，再者，高斯的學術成果的系統性與體系性也要超越歐拉，因此在學術成就上總體低於高斯一個身位。而與格羅滕迪克，希爾伯特比起來，雖然在學術上半斤八兩，而且隨著時代推移，歐拉的學術成就與影響力，地位可能被格羅滕迪克，希爾伯特，超越，但歐拉也和高斯一樣，佔據了橫向的時代優勢，也就是說，在作出同級別重量級的數學成就的基礎上，歐拉老師比他們早了兩百年！

而且歐拉老師的全面性要超過希爾伯特，更遠超格羅滕迪克和龐加萊。

歐拉的亮點：

1.分析學史上第一人！一般會有人質疑，分析史上第一人不是牛頓或萊布尼茨嗎？照一般人的觀點，學科開創者的成就最大！但持平而論，牛頓萊布尼茨確定了微分與積分為互逆運算，從而開創了微積分這個數學中最重要的基礎工具，但是分析學在牛頓時代僅僅處於萌芽狀態，還非常粗糙，學科完成度與本質遠遠沒有完成，還談不上成熟到成為獨立分支，而在歐拉才是將分析學帶到數學巔峰的學者，歐拉採用的函數變量的觀點，才是分析學突破的關鍵，遠超牛頓從運動學的角度提取微積分的觀點，牛頓的觀點更適用於物理，但在純數學上的突破和重要性距離歐拉差距太大。在歐拉之後，無窮級數的研究以及變分法的創造，才將分析學真正意義上建立起來，一舉與數論，代數，幾何並肩，成為四大基礎分支之一，並且深刻影響了拉格朗日，拉普拉斯，柯西，魏爾斯特拉斯，黎曼等後代分析學大師，這個功績，從函數變量的觀點切入，才是分析學後世研究的主流方向，從純數學角度來說，歐拉的觀點才是決定性的，在這點上歐拉遠超牛頓，作為近代數學史上最重要的創造微積分，歐拉作為分析學史上第一人的地位應該是可以肯定的，憑這個成就，歐拉也足以躋身史上最強數學家之一！

2.真正意義上的史上第一位純職業數學家！在歐拉之前的數學學者其實更像物理學家，比如牛頓，阿基米德，或者哲學家，比如笛卡爾，萊布尼茨，有些專業的數學家，往往也是身兼多職，數學只是愛好或附帶的成果，比如帕斯卡，費馬，畢達哥拉斯，等等，歐拉可以說是真正意義上的純數學家第一人，以此為生，當然歐拉在物理上，分析力學彈道力學也有開創之功，但他數學上的成就，遠遠超過其他的成就，也遠遠超越了前人！包括牛頓和萊布尼茨阿基米德，歐拉是個標杆性的里程碑，自從歐拉之後，數學家的名字才有了真實的意義！

3.史上第一個全面的數學全才式的天才！歐拉生涯著作浩繁，達近900部著作與論文，研究領域滲透分析，幾何，代數，數論各個領域，在歐拉之前，只有阿基米德，牛頓，萊布尼茨勉強有點全面性數學家的影子，阿基米德研究了幾何與代數，並萌芽了微積分的思想，牛頓開創了微積分，並在代數幾何上有所建樹，萊布尼茨共享微積分創始人地位，並且在數論代數有所成就，萌芽了離散數學與計算數學，但他們與歐拉都無法相提並論，歐拉在分析，代數，數論，幾何均達到當時的最頂尖的成就，阿基米德難度太低，牛頓被歐拉數學上全面超越，並且牛頓在數論沒什麼建樹，萊布尼茨在全面性上和歐拉完全無法相提並論！至於古希臘其他數學家以及歐拉之前的數學家，與歐拉更是在全才上天差地遠！史上在全面性，廣度上均達到當時最頂尖地位的，只有後世的高斯能夠與之相提並論，柯西較接近，但橫向時代的地位無法與歐拉相提並論，黎曼龐加萊代數太弱，格羅滕迪克，希爾伯特幾何拓撲太弱，歐拉是數學史上第一個全面式的全才！

4.統治18世紀數學界！17世紀是牛頓的世紀，18世紀是歐拉的世紀，相比較而言，歐拉和牛頓在他們自己的時代，他們的數學能力都是絕對強勢的統治級別的，但在數學成就上，牛頓與歐拉無法相提並論！而後世學者中，高斯在19世紀的統治力明顯達不到大一統的地步，其他人更不用說！

5.近代數學先驅！牛頓萊布尼茨開創微積分，從此將數學帶入了近代！但這個過程中，歐拉才堪稱是古典數學的第一個集大成者、第一個近現代數學的萌芽與先驅者，歐拉在各個分支的卓越貢獻，才真正的全面將數學開始帶入到一個新的階段！

6.數學界的老師！在傳道方面，歐拉的直系旁系學生幾乎統治了歐洲數學界，而且他的著作對後世更是影響深遠！

7.驚人的計算能力！據說連高數都能心算！數學天賦與天才，歐拉絕對在史上名列前茅！

8.世界第一的應用數學大師: 歐拉對數學的掌控和應用遠超上古大神阿基米德，作為歐拉老師的粉絲，更想封他一頂現代機械動力學鼻祖的帽子。今日的流體力學、多剛體動力學、機器人學等，離開了歐拉角定義，離開了歐拉運動方程，離開了著名的歐拉公式，我看簡直寸步難行，沒有了靈魂。

歐拉研究有大手筆，也有小杰作。歐拉推出的壓桿穩定性分析極限力求解公式PK=pi^2*E*I/(u*L)^2（其中u長度折算係數）是現代框架結構類屈服極限承載能力計算的始祖；歐拉推出的柔性體纏繞圓輪兩端張力比公式F2/F1=exp(-u*a)（其中u摩擦係數，a包角)是機械皮帶傳動和機械柔性緊固結構的數理基石。今日搞機械動力學研究的，搞純數學研究的，搞應用數學研究的，尋根溯源到最後，我看至少90%都是歐拉的門徒。

歐拉老師的不足:

偉大的歐拉大師生平黑點很少，無論是學問或者人品，都是聲譽卓著。不過既然提到不足，就勉強說一點。

1.學術研究的嚴密性，抽象性，系統性未達到應有的高度，至少與高斯或後世的偉大數學家還是有不小的差距。雖然歐拉大師在分析上功勳卓著，但總體說來，歐拉的學術成果廣泛而龐雜，雖然生平近900篇著作，開始了許多學科的先聲，啟發了無數後來者的進一步研究並創新高度，但可惜的是，歐拉本人很大程度上並未徹底給一個重要的學科分支完全定型，即使是他作為分析史上第一人，也不能夠說完全定型了分析學，因為前有開創者牛頓萊布尼茨，後有柯西，拉格朗日，魏爾斯特拉斯，在定型分析學上的功績關鍵作用不亞於歐拉，何況黎曼，柯西魏爾斯特拉票開創的複分析方法，已經大大突破超越了歐拉時代的思想，當然，這也跟時代有關，不能苛求歐拉老師了。在歐拉的時代，數學才剛剛進入近代科學的階段，不可能以黎曼流，形群論之類的思想去要求歐拉。

歐拉做了海量的無數領先時代的工作，堪稱史上數學導師。

不過，他未能徹底定型學術與分支，這樣成就就要大打折扣，這點算是一個小小的遺憾吧。

NO2. 高斯

級別：大神

類型：統治時代

留給後世數學家就業崗位: 高斯類數問題

代表性成果：

1.算術探索（初等數論集大成者，代數數論萌芽，18世紀最偉大的數學著作）

2.曲面內蘊微分幾何（黎曼幾何的重要源頭，微分幾何奠基之作，非歐幾何代表工作之一，啟發現代幾何學）

3.概率論正態分佈

4.高斯絕妙定理

5.高斯電磁定律

簡評：

做為古典數學集大成者，現代數學的重要啟發者和奠基人，王子的成就覆蓋了數學各個分支，公認的數論史上第一人，幾何學史上top5，初等數論集大成者，代數數論萌芽始祖，現代微分幾何鼻祖，對概率論作出重大貢獻，並且在非歐幾何，代數數論，橢圓函數論，橢圓積分作出早期系列工作，並且在電磁學，大地測量學，天文學等取得不凡成績。王子的學術成就遍佈數學各個領域和分支，並且極具深度與完成度，毫無疑問，在一切時代，高斯都是史上最偉大的數學家之一！尤其在學術廣度，全面度以及公眾影響力，以及數學史地位，高斯基本上都是公認的數學之王，歷史第一人。

高斯的亮點：

1.數學史上天智全才，廣度與厚度無人能及！王子是與歐拉並肩，甚至在抽象性與嚴格化超越歐拉的數學史第一全才，在他的時代，數論當之無愧的史上第一，幾何史上top5，在代數領域也做了阿貝爾，伽羅華之前的最強的成就，在分析領域，也僅次於魏爾斯特拉斯，柯西，黎曼，阿貝爾等幾人能稍微領先他。換言之，在1840年以前，王子是絕對的統治時代的人物，也是牛頓，歐拉之後又一個統治時代的數學家。在1840年以前，高斯在數論，幾何，代數，分析四大數學領域裡均做出了當時最頂尖的成就，無人能及！無論是阿貝爾伽羅華，還是魏爾斯特拉斯，雅可比，無疑都是他的學生輩了，雖然後來者在某些領域超越了高斯，但高斯擁有自己完整的統治時代，毫無疑問！王子的全面性從縱橫時代來講，都當之無愧的史上第一。

2.早慧的傳奇，領先時代的神話！高斯早慧的傳說早已名垂千古，為他的公眾影響力帶上耀眼的光環，19歲的時候，就超越了3L的成就與地位，年紀輕輕就登上數學神壇，成為當時數學家膜拜的至高偶像，聲譽權威威望與地位無人能及！甚至直到今天，還是有許多專業或業餘數學家與愛好者認為高斯是史上第一！

3.高斯的數學筆記，無疑是他又一個燦爛數學生涯的最好註腳！王子去世後整理出來的筆記，裡面許多結論甚至在當時都是很卓越的成果，而這些成果都是在1814年以前完成的，裡面囊括了數論，分析，幾何，代數各個分支的成果，而且都是當時最領先的東西，研究了高次代數方程，分圓方程，甚至發現了橢圓函數雙週期性，這些成果，直到阿貝爾伽羅華出現之前都是領先的，而阿貝爾加伽羅華的理論被認可，差不多已經是1840至50年代以後了，換言之，高斯這些未發表的筆記論著，領先了時代數十年，如果高斯不是因為追求完美，而把這些遺著當時也發表了，可以讓數學研究直接在他的基礎上，至少前進四五十年！這也是高斯偉大的數學生涯令人驚駭智力表現！

4.王子為人冷漠，不喜歡也不擅長教學，雖然有許多頂級數學家組成的豪華粉絲團，但在傳道方面卻難稱出色。但是，高斯有一個名字照耀千古的史上最強數學家弟子黎曼！雖然黎曼受高斯教導影響不大，與高斯並無多少接觸，但從哥廷根的系統來說，黎曼可算是高斯的嫡系門生了。在黎曼博士論文和就職演說兩項數學史上最偉大最燦爛的篇章中，高斯都給予黎曼最大的支持和最高的讚美！

高斯的黑點：

1.最大的黑點：19世紀近現代數學最重要的標誌性的成果，沒有一個是王子獨立開創的！近現代數學的標誌性成果，黎曼幾何、非歐幾何、群論、橢圓函數論、複分析、分析基礎嚴格化、複變函數論等等，沒有一項是由高斯創立的！雖然高斯幾乎在所有領域都作出了傑出的貢獻，但他不是決定性的人物，群論歸功於伽羅華阿貝爾，橢圓函數論阿貝爾雅可比的工作超越了高斯，複分析與分析基礎嚴格化以及複變函數論成就最大的是黎曼，柯西，魏爾斯特拉斯，雖然高斯被認為是非歐幾何創始人之一，但他沒有公開發表論文，而且完成度不如羅巴切夫斯基，鮑耶，雖然高斯引入曲率和測地線成為現代微分幾何的奠基人，但將非歐幾何、微分幾何、橢圓幾何大一統的黎曼幾何是黎曼創立的，即使在高斯最強的數論領域，高斯所有數論的著作，沒有一篇比得上黎曼猜想這篇僅僅八頁紙的論文來的重要！而且高斯也只是統治了初等數論，對代數數論，解析數論貢獻不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！幾乎在十九世紀近現代所有最重要數學標誌性成果，竟然沒有一項的發明權是屬於高斯的！很驚異吧？在很多人眼裡史上第一的數學家，竟然沒有一項成果可以躋身19世紀最重要的頂級成果的行列！這就尷尬了！

尤其是19世紀對後世影響最大的啟發現當代數學的最偉大的一系列標誌性成果，幾乎沒有一項是由高斯創立完成的，幾何，分析，代數，甚至數論某些領域，所有分支在高斯生前就都已經被其他學者彎道小超車了，這個黑點高斯無論如何沒法越過，這點和牛頓完全統治17世紀，歐拉完全統治18世紀，有些差距，論時代統治力，高斯不如牛頓歐拉，而且在洞察力，創造力，顛覆性方面，高斯比起同時代的黎曼阿貝爾，伽羅華以及後世的龐加萊要遜色不少，比起後世的格羅滕迪克，希爾伯特沒什麼優勢，即使是在高斯還活著的生前，他的數學創造力，爆發力就已經被黎曼全面超越了。

所以註定了高斯絕不可能是數學學術史上第一人！

2.關於高斯的數學筆記問題！

這既是高斯的一大亮點，同時也是最大的黑點之一！無可否認，高斯去世後整理出來的筆記，即使在當時看來都是很出色的工作，如果早發表出來，至少推動數學提早三四十四五十年！但問題是，在高斯的生前並未公開發表這些成果！因為高斯追求完美的性格，所以沒有發表，什麼意思，就是說，高斯筆記的成果，實際上並不完美，還有很多不足！高斯研究了高次方程解問題，但發現群論的功績屬於伽羅華阿貝爾，高斯發現了橢圓函數雙週期性，但阿貝爾雅可比在橢圓函數上的工作比高斯要深刻的多！高斯有了非歐幾何的思想，但完成度不如羅巴切夫斯基和鮑耶！高斯苦思一生沒有解決的幾何基礎問題，在他生前已經被黎曼解決！最小二乘法和二次互反率勒讓德也發現了，正態分佈發明權高斯必須與棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等……什麼意思呢，意思就是說，實際上，就是因為高斯沒有當時第一時間發表這些成果，而實際上已經被同時代的人做出或超越了！換句話說，高斯筆記在高斯去世之後正式出版的時候，這些成果實際上已經過時了，已經不算是前沿的東西了！實際上，說這些筆記出版的時候，已經一文不值，這有點傷人，但實際情況差不多就是這樣。尤其對專業數學家而言，高斯的遺著筆記當然還是有很多啟發，但基本已經不是前沿的東西了，幾何的發展沿著黎曼的思想，代數群論的發展沿著阿貝爾伽羅華的思想，分析與冪級數的發展隨著魏爾斯特拉斯，柯西的思想發展，數論沿著狄利克雷，黎曼，戴德金的思想為主發展，數學界最重要的發展，跟高斯筆記甚至高斯本人其實關聯已經不是很緊密了。

高斯筆記體現的是高斯全才與早慧，體現了高斯驚人的天賦所在，但即使高斯正式發表的完成度極高的論文都沒有堪稱最頂級的開創性成果，何況筆記這些完成度不夠有缺陷的成果呢？正是因為這些筆記沒有第一時間發表，所以導致了每個分支都已經被同時代或學生輩的數學家超越，基本渣渣都不剩多少了，完全沒有發揮和體現出應有的影響力，這個也是數學史上的一大遺憾！

如果這些筆記在寫出來當時就發表，即使有缺陷，也依然奇怪最前沿的，並且足以引導後人更進一步，大大提升數學史的進程，毫無疑問！問題是當它發表時，已經被超越了！高斯遺著筆記體現了他驚人的全才，早慧，個人能力，天分，相當於他一個人就做了當時大部分頂尖數學家的成就，何等驚人的智力！但是就學術意義，實際上高斯遺著筆記並沒有太大的價值，尤其對於十九二十世紀的近現代數學而言，可以忽略不計！這也大大減弱了高斯應得的實際形象力和學術地位，誠然現代數學才是將來物理需要的東西，推動人類進程的能量。但飲水忘源似乎不太好吧。沒有古典數學哪來的現代數學。完全站在現代數學、對將來的影響力那當然時代越晚的越佔優勢。

正好在分水嶺時期。所以他古典數學大成，現代數學開了點頭。黎曼是整個現代數學的大源頭。所以現代數學地位而論肯定黎曼強。整個數學史地位應該高斯第一。

但隨著時間推移，因為缺陷，隨著龐加萊可挖掘的數學遺產越來越多，高斯王子的學術地位，還會進一步下降。

NO1 黎曼

等級：超神

類型：超越時代

留給數學家就業崗位: 黎曼猜想

代表性成果：

1.黎曼幾何(人類數學史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧與認知突破，革新了人類對時空的重新認識，是現代物理學大廈相對論的基石)

2.黎曼曲面，流形(現當代數學，物理的最重要的數學構造和基礎工具之一，是現代高能物理學的重要基石)

3.黎曼洛赫定理

(當代代數幾何乃至物理學的數學中心定理中心支柱之一)

4.黎曼映射定理(聽說過黎曼曲面的高維單值化定理嗎)

5.黎曼空間 (弦理論和超弦理論非常重要的開天神器，很有可能重新塑造新的數學和物理輝煌，個人認為其在21世紀的重要性將會超越黎曼幾何)

6.黎曼猜想(最重要的數學猜想，史上最驚豔的個人秀，單核碾壓全時代數論學者包括高斯無壓力，一篇僅僅八頁的短文，160年前，迄今未被超越)

簡評:

從純數學學術成就角度來看，黎曼佔據榜首是沒爭議的。，這麼說可能會讓很多高斯粉，歐拉粉牛頓粉不開心，但從數學成就的角度來看，黎曼無論在重要性，影響力，顛覆性個突破性上，都遠遠超過高斯歐拉牛頓，換言之，黎曼在數學上的成就，大約等於高斯加歐拉再加上牛頓的總和，他們的差距大概這麼遠。

黎曼以下的數學家，跟他差距都比較大，基本不在一個等級上(首先申明，我不是黎曼粉，而是歐拉老師粉)

黎曼的亮點：

1.史上唯一具有全面統治力的數學家，沒有之一！

以黎曼命名的數學成果有81個，僅次於高斯(110個)，歐拉(102個)

黎曼對如何證明發現幾十幾百條各個數學分支的定理興趣似乎不大，黎曼只搞那些將幾何，數論，分析等各類分支大一統的數學工具，重新改變數學的觀念和定義！

高斯和歐拉停留在證明數學定理和奠定數學學科分支的階段，而黎曼直接創造數學，搞起了數學大一統和數學鏈接物理橋樑的數學工具和方法，促進這兩個學科捆綁式發展，而20世紀的物理學大廈，相對論和量子力學，德國學術界就是照著黎曼留下的方法和思路走下去的，所以才會有德國現代物理學革命。

這就是黎曼比高斯歐拉強十倍的原因！黎曼所做的都是數學史上最重要的工作，而這類工作只有黎曼一個人在做。

很多評論說黎曼的主要成就是開創奠基了複變函數，非歐幾何，解析數論，代數幾何，拓撲學等等學科，這當然很偉大，也很形式化，但這個評價並不能準確評估黎曼的地位，如果黎曼只是開創了多少新學科，那麼他的成就和地位不會比歐拉，高斯，龐加萊，希爾伯特更高。開創許多數學分支並不是黎曼的核心成就，黎曼的輝煌是來自他在開創這些分支時若發明的方法和數學構造，而這些數學構造卻是聯接幾何，分析，拓撲，數論，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼羅赫定理，黎曼映射定理，無不是直接聯接數學與物理的最重要的數學工具，很難想象當代一流的數學家或理論物理學家能夠不用到這些基礎而作出一流的工作。

黎曼的創造性的工作，使他成為史上迄今唯一統治了數論，幾何，分析各大數學分支併為現代物理提供最強力數學構造的神級數學家。唯一能夠與黎曼接近的是龐加萊。牛頓聯接了分析與物理，但牛頓在數論，代數，幾何上的成就太次，根本達不到水準之上；高斯和歐拉，柯西等人成果覆蓋數論代數幾何分析，號稱全才，但和黎曼直接聯結分支的工作比起來，就顯得完全不是一個檔次的工作了。阿貝爾，伽羅華的群論抽代思想，既可以對數學全局具有統治力，也完美聯結物理，本可以與黎曼抗衡，但他們的完成度太低，短命留下了數學史上最大遺憾。

黎曼唯一的缺憾是沒有對代數群論作出成果，影響了他

大一統數學領域，但不要忘記，黎曼羅赫定理是現代抽象結構代數幾何的中心！

2.史上最具創造力，洞察力與遠見的數學家，沒有之一。黎曼從來不以證明定理、爆算能力著稱，甚至不在乎證明的嚴格性。黎曼只搞自由自在的創造！黎曼面，流形，度量，曲率張量，虧格，參模數，模空間，力即幾何，空間彎曲，等等在當時看來稀奇古怪的新概念新觀念，後來都被證明這些觀念才是數學物理的正確打開方式，才是數學物理走進現代的基石，如果沒有黎曼憑空搞出來的這些奇怪的東西，現代數學和現代理論物理估計就完蛋了，相對論和量子場論恐怕就是民科了，弦論絕對不復存在了。而這些稀奇古怪的東西，在黎曼屈指可數的十幾篇論文裡俯拾皆是，這類新概念新觀念，隨便你發明了其中一個，都會成為中國第一乃至世界前幾位的數學家！即使是他次一級的成就，比如柯西黎曼條件，黎曼積分，黎曼許瓦茲定理，黎曼澤塔函數等等等等之類，拿出來放在今天，也足以讓任何一個數學家成為相關領域的頂尖學者！高斯是古典數學的集大成者，並啟發了現代數學，但帶領數學走進現代化的，是黎曼，伽羅華，阿貝爾，其中黎曼，才是現代數學和物理大爆發的原點！

3.現代數學開山祖師，對現代數學影響最深的學者，沒有之一！

4.史上思想最深邃，最具深度的數學家，沒有之一！一輩子只有18篇論文，但其中蘊含的思想，至今在引導數學家走向新的境界。黎曼的數學思想，兼具了統治力，創造性，前沿性和引導力，既找到了金礦，同時為後來者提供了挖掘金礦的工具，在完成度和啟發性上，史上第一，沒有爭議！

5.黎曼重寫了數學的語言，觀念和定義。黎曼之後，人們突然發現，**，原來數學還可以這麼搞，原來這麼搞搞出來的東西的價值才大，沿著黎曼十幾篇文章搞出來的東西，才是現代數學與理論物理的正確表達。這點太重要了，觀念的突破是決定性的，能夠與黎曼媲美的只有龐加萊，伽羅華，和可憐的阿貝爾！

6.對物理學影響深遠:

華人數學家丘成桐，陳省身，物理學家楊振寧都是黎曼的腦殘粉。丘成桐說中國學生中只要有人能完成黎曼一篇論文中的部分，這個人就能成為中國最偉大的數學家，雖然有點誇張，但也說明了黎曼的重大影響力。

楊-米爾斯理論實質就是黎曼-羅赫定理至今的終極應用，每一次對這個黎曼-羅赫定理的推廣成功都是數學和物理的巨大進步，英國當代最偉大數學家阿蒂亞(Atiyah)認為，楊-米爾斯理論實際上是數學科學大統一的核心。它是黎曼-羅赫-格羅騰迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推廣從而與代數幾何相關，同時又將分析直接同拓撲及微分幾何不變量聯繫起來。

數學金字塔Top3，深度黎曼，廣度高斯，難度龐加萊，黎曼站在高斯肩膀上並全面超越，但黎曼之後的數學巨匠龐加萊，格羅滕迪克都無法徹底走出黎曼的陰影，奠定上面兩人核心地位的拓撲和代數幾何雛形都是黎曼開創的，這僅僅黎曼部分成就，而黎曼對發現數學新理論，新分支，解決難題沒有興趣，僅僅是提供新的數學概念，觀念，想法，卻奠定了黎曼祖師爺地位，而黎曼這些奇怪的數學思想都是憑藉他大腦想象出來的，論數學洞察力堪稱世界數學家之最。

黎曼的黑點：

1.觀念與方法過於超前，不為當時所理解。雖然黎曼在生前已經被公認為當時代最強的數學家之一，但這只是他那些別的同行看得懂的工作而言，黎曼更重要的思想，在論文中創造出稀奇古怪的新概念，很懷疑當時有幾個數學家能夠理解，而黎曼開闢的思想方法工具領域，在長達近乎五十年，也就是半個世紀裡，都是相對冷門的研究領域，比如黎曼幾何，更多的是當作一種可以自洽的幾何學，有幾個意大利學者在玩，沒人覺得這玩意有用，更不是數學界的主流，又比如黎曼猜想，也一樣在半個世紀裡幾乎沒幾個人問津，相比較而言，魏爾斯特拉斯，雅可比，戴德金，才是數學界的主流，以及阿貝爾伽羅華的學說都開始逐漸成為主流。而且黎曼對於證明的某些不嚴謹，也讓後世數學家們紛紛避開黎曼面這個神級利器。所幸意大利那幾個學者默默的堅持搞這些全無用處的學問，以及後世克萊因，希爾伯特，龐加萊的力挺，黎曼終於回到神壇，在重新發現黎曼的過程中，相關學者當然也收穫的超級豐厚的回報，尤其是相對論的誕生，黎曼學說更是在弦理論裡面大顯身手，重新創造新的輝煌。直接讓黎曼成為數學史上第一人。

2.在黎曼還活著的時候，他已經是公認的當時最強數學家之一，有之一，但他的成就與地位，公認的不如前一輩的有高斯柯西，同一輩的魏爾斯特拉斯，雅可比，甚至阿貝爾，伽羅華，聲望都要高於黎曼，即使和狄利克雷，戴德金，愛森斯坦比，也就半斤八兩。這無疑大大低估了黎曼的實際成就。當時看不清楚，而在160年之後回頭看，黎曼才是十九世紀數學界燦爛星空中位居正中央的最耀眼的那一顆，光芒足以照亮整片星空！