你不知道的階乘
階乘對於有數學基礎的人來說都不陌生，簡單理解就是數的累乘。10的階乘10！=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1。但是我們有沒有思考過，如分數的階乘是如何運算的？有沒有方法估算一個數的階乘？
其實，1/2的階乘等於π的平方根的一半，本文通過兩種方式來求該等式。每一種都很巧妙，看了都能開拓數學思維。一種是利用極限與多項式，一種通過gamma函數。下面我們來證明這個等式。
首先，我們來證明沃利斯公式。
正弦函數sin x有無窮多個零點0，±π，±2π，±3π，···。一個多項式如果有若干個零點x1，x2，x3，x4 ···，xn，那麼該多項式一定可以表示為
可以將sin x大膽展開得
將x=π/2代入上式可以得出
最後得到
上式就是沃利斯公式。這種證明方法不是特別嚴格，沃利斯通過求圓弧下的面積同樣證明了沃利斯公式，見參考鏈接《神奇的伽瑪函數上》。
證明了沃利斯公式，接下來估算n！，得到n階乘的一般形式，再求1/2的階乘，歐拉採用無窮乘積給出了n！的一個插值公式。
改成極限形式為
整理式子得
則n的階乘的該插值公式得到證明，可以看出該公式也適用於n是分數的情況，將n=1/2代入得
可以驚奇的發現根號內的式子與沃利斯公式形式幾乎一樣，只少乘了最前面的因子2。將沃利斯公式代入上式得
這樣我們就求出了1/2的階乘的值。
階乘與gamma函數
gamma函數的一般形式為
利用分部積分法，可以得出
所以可以得到
那麼gamma函數的一般形式是如何得出的呢？歐拉通過n的階乘推導出了gamma函數的一般形式。由於得出了1/2的階乘的結果中有π的存在，因此歐拉自然聯想到階乘的計算會與積分有關，提出了以下一般的積分形式：
此處n為正整數，e為正實數，利用分部積分法得
通過重複迭代上面的公式得
則可以得到求n的階乘的式子
現在已經成功的將n的階乘表示成積分的形式，但是由於n為整數，式子中的非積分部分無法推廣分數的情況，因此要繼續簡化式子。
要讓一個量從一個數學等式中消失，數學家慣用的做法就是讓這個量取一個極端的值。這裡讓e趨於無窮。取e = f/g得
然後令f趨於1，g趨於0。左邊顯然趨於n的階乘，右邊還需要簡化計算，令x等於t的h次方，其中h=g/(f+g)，得
當f趨於1，g趨於0時，h顯然趨於0，利用洛必達法則，可以得到常用極限
對兩邊同時取極限，見證奇蹟的時刻
通過n的階乘推導出了gamma函數的一般形式。
下面我們利用gamma函數來求1/2的階乘。
由於gamma函數的階乘形式只滿足n為正整數的情況，因為我們要通過gamma函數的一般形式來算1/2的階乘。我們將n=-1/2代入gamma函數一般表達式得
仔細觀察函數部分與某一種分佈的概率密度函數神似，就是正態分佈。正態分佈的概率密度函數為
一般形式的正態分佈概率密度函數參數較多，不便於我們觀察，我們取正態分佈的標準形式，即μ取0，σ取1，則正態分佈的概率密度函數變成
關於y軸對稱，則大於0的部分積分為1/2，可以得到
令x = √(2t)，代入上式得
驚奇的發現積分部分包含我們求的(1/2)，於是得
現在我們已經求到(1/2)，求1/2的階乘，也就是(3/2)就很簡單了，由於
我們可以得出
本文只是簡單介紹了gamma函數，接下來的文章會介紹與gamma函數相關的gamma分佈與beta分佈。
參考鏈接：
http://www.flickering.cn/數學之美/2014/06/神奇的伽瑪函數上/