泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
除去巴拿赫之外，這一時期泛函分析最重要的數學家還有馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理論作為泛函分析核心的傳統是從里斯開始的，由於早期泛函分析研究的無窮維函數空間上的各種線性算子，泛函分析一度被稱為“無窮維線性代數”。而馮·諾依曼之所以研究泛函分析，是因為算子理論和當時新興的火熱物理學科量子力學產生了千絲萬縷的聯繫。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
除去巴拿赫之外，這一時期泛函分析最重要的數學家還有馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理論作為泛函分析核心的傳統是從里斯開始的，由於早期泛函分析研究的無窮維函數空間上的各種線性算子，泛函分析一度被稱為“無窮維線性代數”。而馮·諾依曼之所以研究泛函分析，是因為算子理論和當時新興的火熱物理學科量子力學產生了千絲萬縷的聯繫。
1927年，馮·諾依曼在巴拿赫和維納(Wiener,1894~1964，控制論之父)工作的基礎上，提出了希爾伯特空間的公理化理論，引入了強拓撲和弱拓撲的概念，並建立了埃爾米特算子和酉算子之間的深刻聯繫，隨後將這些理論還推廣到了無界算子的情形。馮·諾依曼的工作不僅使得泛函分析本身煥然一新，而且為量子力學也提供了強有力的數學工具。在此之前，泛函分析被詬病為為了抽象而抽象，而它在物理中的應用改變了人們的偏見。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
除去巴拿赫之外，這一時期泛函分析最重要的數學家還有馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理論作為泛函分析核心的傳統是從里斯開始的，由於早期泛函分析研究的無窮維函數空間上的各種線性算子，泛函分析一度被稱為“無窮維線性代數”。而馮·諾依曼之所以研究泛函分析，是因為算子理論和當時新興的火熱物理學科量子力學產生了千絲萬縷的聯繫。
1927年，馮·諾依曼在巴拿赫和維納(Wiener,1894~1964，控制論之父)工作的基礎上，提出了希爾伯特空間的公理化理論，引入了強拓撲和弱拓撲的概念，並建立了埃爾米特算子和酉算子之間的深刻聯繫，隨後將這些理論還推廣到了無界算子的情形。馮·諾依曼的工作不僅使得泛函分析本身煥然一新，而且為量子力學也提供了強有力的數學工具。在此之前，泛函分析被詬病為為了抽象而抽象，而它在物理中的應用改變了人們的偏見。
二戰前後泛函分析的研究形成了法國學派和蘇聯學派兩大學派，前者的代表人物有施瓦茨和格羅滕迪克等人，他們的工作主要集中在廣義函數論和拓撲線性空間上，而後者的代表人物則為被稱為“蘇聯數學三巨頭”之一的蓋爾範德，他們的工作則主要集中在算子代數上。關於他們的工作我們就不做過多介紹了，否則顯得過於專業而乏味了。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
除去巴拿赫之外，這一時期泛函分析最重要的數學家還有馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理論作為泛函分析核心的傳統是從里斯開始的，由於早期泛函分析研究的無窮維函數空間上的各種線性算子，泛函分析一度被稱為“無窮維線性代數”。而馮·諾依曼之所以研究泛函分析，是因為算子理論和當時新興的火熱物理學科量子力學產生了千絲萬縷的聯繫。
1927年，馮·諾依曼在巴拿赫和維納(Wiener,1894~1964，控制論之父)工作的基礎上，提出了希爾伯特空間的公理化理論，引入了強拓撲和弱拓撲的概念，並建立了埃爾米特算子和酉算子之間的深刻聯繫，隨後將這些理論還推廣到了無界算子的情形。馮·諾依曼的工作不僅使得泛函分析本身煥然一新，而且為量子力學也提供了強有力的數學工具。在此之前，泛函分析被詬病為為了抽象而抽象，而它在物理中的應用改變了人們的偏見。
二戰前後泛函分析的研究形成了法國學派和蘇聯學派兩大學派，前者的代表人物有施瓦茨和格羅滕迪克等人，他們的工作主要集中在廣義函數論和拓撲線性空間上，而後者的代表人物則為被稱為“蘇聯數學三巨頭”之一的蓋爾範德，他們的工作則主要集中在算子代數上。關於他們的工作我們就不做過多介紹了，否則顯得過於專業而乏味了。
泛函分析是大學基礎數學系高年級會接觸到的數學學科，不過就其本身的歷史而言，確實不算長，屬於二十世紀的新興學科，但它的思想和方法卻很快滲透到了其他數學學科中，極大地促進了數學甚至物理的發展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函數分析”，也即研究函數的函數，就是把一類函數組成一個空間，而把其中一個具體的函數看作一個點，這就使得分析學可以研究的範圍大大擴展。實際上，在十九世紀末期，從變分分析和積分方程等領域產生了大量需要分析一類函數的“泛函”的問題，這就是泛函分析的起源和發展的來源。
歷史上第一個真正考慮泛函問題的是意大利著名數學家伏爾泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究變分法的過程中提出了一種全新的函數，它的自變量是定義在區間上的全體函數，每個函數構成函數空間的一個點，並且可以在函數空間中定義極限等概念。泛函分析的數學思想大概就伏爾泰拉這裡開始的。
但真正具有數學意義的第一項工作來自於法國數學家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士論文中以數學的方式抽象地描述了函數空間，並且嚴格定義了函數空間中的相關拓撲概念，如極限等。
與此同時，希爾伯特在研究積分方程時也產生了函數空間的想法，他把一個函數在正交函數基下進行了傅里葉展開。而酷愛“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)進一步抽象出希爾伯特的數學思想，提出了內積空間，也就是“希爾伯特空間”的概念。不久後，里斯(Riesz，1880~1956)則進一步導出了p次可積函數空間，並且提出了重要的“範數”概念。當然，真正使里斯出名的則是非常著名的“里斯表示定理”。
二戰前的數學可謂百花齊放，這一時期在泛函分析領域內貢獻最大的是波蘭學派，它的領袖則是被稱為“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三組公理建立起了完備的賦範線性空間，而完備的賦範線性空間也就是我們俗稱的“巴拿赫空間”，它包含了希爾伯特空間等常見的函數空間，而且擁有非常良好的數學性質。泛函分析中最基礎而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在這個時候被證明，後來它衍生出了許多版本，對推動泛函分析的發展起到了關鍵性的作用。
1929年，巴拿赫又考慮了巴拿赫空間的對偶空間，並且與施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同證明了著名的一致有界定理，也就是俗稱的“共鳴定理”。1932年，巴拿赫總結學派的研究成果，出版了《線性算子理論》一書，它標誌著泛函分析作為一門新興數學學科的正式形成和成熟。
除去巴拿赫之外，這一時期泛函分析最重要的數學家還有馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理論作為泛函分析核心的傳統是從里斯開始的，由於早期泛函分析研究的無窮維函數空間上的各種線性算子，泛函分析一度被稱為“無窮維線性代數”。而馮·諾依曼之所以研究泛函分析，是因為算子理論和當時新興的火熱物理學科量子力學產生了千絲萬縷的聯繫。
1927年，馮·諾依曼在巴拿赫和維納(Wiener,1894~1964，控制論之父)工作的基礎上，提出了希爾伯特空間的公理化理論，引入了強拓撲和弱拓撲的概念，並建立了埃爾米特算子和酉算子之間的深刻聯繫，隨後將這些理論還推廣到了無界算子的情形。馮·諾依曼的工作不僅使得泛函分析本身煥然一新，而且為量子力學也提供了強有力的數學工具。在此之前，泛函分析被詬病為為了抽象而抽象，而它在物理中的應用改變了人們的偏見。
二戰前後泛函分析的研究形成了法國學派和蘇聯學派兩大學派，前者的代表人物有施瓦茨和格羅滕迪克等人，他們的工作主要集中在廣義函數論和拓撲線性空間上，而後者的代表人物則為被稱為“蘇聯數學三巨頭”之一的蓋爾範德，他們的工作則主要集中在算子代數上。關於他們的工作我們就不做過多介紹了，否則顯得過於專業而乏味了。
泛函分析發展到如今，內容和方法已經十分豐富，應用範圍也很廣泛，包括偏微分方程，概率論，計算數學，量子力學等等數學內外的許多方向，成為了重要的數學分析工具。泛函分析這門基礎數學中最“年輕”的學科雖然並不屬於像代數幾何那樣最主流的數學，但它的重要性已經不言而喻，我們有理由相信它將發揮更為出色的作用。
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