（2018•天津）在平面直角座標系中，點O（0，0），點A（1，0）．已知拋物線y=x²+mx﹣2m（m是常數），頂點為P．
（Ⅰ）當拋物線經過點A時，求頂點P的座標；
（Ⅱ）若點P在x軸下方，當∠AOP=45°時，求拋物線的解析式；
（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經過定點H．當∠AHP=45°時，求拋物線的解析式．
【答案】
解：（Ⅰ）∵拋物線y=x²+mx﹣2m經過點A（1，0），
∴0=1+m﹣2m，
解得：m=1，
∴拋物線解析式為y=x²+x﹣2，
∵y=x2+x﹣2=（x+1/2）²﹣9/4，
∴頂點P的座標為（﹣1/2，﹣9/4）；
備註：待定係數法。
（Ⅱ）拋物線y=x²+mx﹣2m的頂點P的座標為（﹣m/2，﹣(m²+8m)/4），
由點A（1，0）在x軸的正半軸上，點P在x軸的下方，∠AOP=45°知點P在第四象限，
如圖1，過點P作PQ⊥x軸於點Q，
則∠POQ=∠OPQ=45°，
可知PQ=OQ，即(m²+8m)/4=﹣m/2，
解得：m1=0，m2=﹣10，
當m=0時，點P不在第四象限，捨去；
∴m=﹣10，
∴拋物線的解析式為y=x²﹣10x+20；
備註：點P位於第四象限的角平分線上，因此橫縱座標的關係即可確定。
（Ⅲ）由y=x²+mx﹣2m=x²+m（x﹣2）可知當x=2時，無論m取何值時y都等於﹣4，
∴點H的座標為（2，4），
過點A作AD⊥AH，交射線HP於點D，分別過點D、H作x軸的垂線，垂足分別為E、G，
則∠DEA=∠AGH=90°，
∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，
∴∠ADH=45°，
∴AH=AD，
∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，
∴∠DAE=∠AHG，
∴△ADE≌△HAG，
∴DE=AG=1、AE=HG=4，
則點D的座標為（﹣3，1）或（5，﹣1）；
①當點D的座標為（﹣3，1）時，可得直線DH的解析式為y=3/5x+14/5，
∵點P（﹣m/2，﹣(m²+8m)/4）在直線y=3/5x+14/5上，
∴﹣(m²+8m)/4=3/5×（﹣m/2）+14/5，
解得：m1=﹣4、m2=﹣14/5，
當m=﹣4時，點P與點H重合，不符合題意，
∴m=﹣14/5；
②當點D的座標為（5，﹣1）時，可得直線DH的解析式為y=﹣5/3x+22/3，
∵點P（﹣m/2，﹣(m²+8m)/4）在直線y=﹣5/3x+22/3上，
∴﹣(m²+8m)/4=﹣5/3×（﹣m/2）+22/3，
解得：m1=﹣4（舍），m2=﹣22/3，
綜上，m=﹣14/5或m=﹣22/3，
則拋物線的解析式為y=x²﹣14/5x+28/5或y=x²﹣22/3x+44/3．
備註：根據45°構造等腰直角三角形，利用三垂直模型，確定HP所在直線的解析式即可。點P可以分別在AH的兩側，因此需要分類討論。