初中數學，正方形內45˚三角形模型分析及應用，腦補全圖很關鍵

最近遇到幾個含一個角為45˚的三角形的幾何題，運用到同一個模型，感覺很有意思，所以拿出來和大家分享一下。雖然是經典的半角模型，但它有其特殊性，暫且把它叫做正方形內45˚三角形模形，現在就來看一下吧。

如圖，正方形ABCD中，∠EDF=45˚，DG⊥EF，圖中可以得到的結論有：

1、AD=GD=CD。

2、∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。

3、AE=EG，CF=GF，EF=AE+CF。

接下來，運用半角模型，證明一下這些結論：

半角模型，通常是通過旋轉去構造全等三角形。

旋轉ΔADE至ΔDCH，可知：ED=DH，∠5=∠9，∠FDH=45˚。

易得ΔEDF≌ΔHDF。可得：∠3=∠4，∠7=∠8，CF=GF。

繼而可得：CH=EG=AE，∠1=∠2，∠5=∠6，AD=GD=CD。

掌握這個模型，我們來看一道例題：

將該圖形放入到模型中，

設AD=X，有AE=EF=FG=AG=X，BD=BE=2，CD=CG=2，這樣，我們就可以在直角三角形BFC中，運用勾股定理列方程求解。

再來看一個最值問題，比較複雜。

ΔABC中，AB=6,AC=4√2，D，E，F分別是BC，AB，AC上的點，求ΔDEF的最小值。

將圖形放入到模型中，AO⊥BC。

D點關於AB的對稱點D'在HG所在的直線上，D點關於AC的對稱點D''在HI所在的直線上。

可知ΔAD'D''是直角三角形，DE+EF+DF=D'E+EF+FD''。

當四點共線時，DE+EF+DF最短=D'D''。

D'D''要最短，就要求AD‘最短，而AD'最短=AG。

AG=AO。

所以最關鍵的問題是去求AO。

過B作BM垂直於AC，用45˚三角函數求出BM，AM，然後求出CM，再用勾股定理求出BC。

由BC×AO=AC×BM，算出AO。

最後再算出D'D''=GI。

關於該類型題收集的不是很多，可能還有其它應用，歡迎大家提供。如果瞭解這個模型，我們就可以知道求什麼，可以快速解題。總結的不是很好，敬請諒解。喜歡的朋友請關注我哦。謝謝。