數學史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數學發展起著不可估量的作用．有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用．函數就是這樣的重要概念．
中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞．是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”的．
中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思．李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數．”
李善蘭，原名李心蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔。出生於1811年 1月22日，逝世於1882年12月9
中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量．這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數．”所以“函數”是指公式裡含有變量的意思．我們可以預計到，關於函數的爭論、研究、發展、拓展將不會完結，也正是這些影響著數學及其相鄰學科的發展．
在笛卡爾引入變量以後，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域．縱覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁祕密，這些都和函數概念息息相關．正是在這些實踐過程中，人們對函數的概念不斷深化．
最早提出函數（function）概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨．最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪，如x,x2,x3都叫函數．以後，他又用函數表示在直角座標系中曲線上一點的橫座標、縱座標．
萊布尼茨
1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義為：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量．”意思是凡變量和常量構成的式子都叫做的函數．貝努利所強調的是函數要用公式來表示．後來數學家覺得不應該把函數概念侷限在只能用公式來表達上，只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以．至於這兩個變量的關係是否要用公式來表示，就不作為判別函數的標準．
1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數．”
在歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了，由於函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在座標系的曲線也叫函數，他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線．”
當時有些數學家對於不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度．他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”．
1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數．”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞．
前蘇聯數學家，非歐幾何的早期發現人之一。
1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基進一步提出函數的定義：“函數是這樣的一個數，它對於每一個都有確定的值，並且隨著一起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的．”這個定義指出了對應關係（條件）的必要性，利用這個關係，可以求出每一個的對應值．
1837年，德國數學家狄裡克雷認為怎樣去建立與之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，總有一個完全確定的y值與之對應，則y是x的函數”．這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值範圍中的每一個值，有一個確定的值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式．這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便．因此，這個定義曾被比較長期的使用著．
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受後，用集合對應關係來定義函數概念就是現在高中課本里用的了。高中學習的函數定義您還記得嗎？