在《奪寶奇兵》中，印第安納瓊斯必須找到一個密室，裡面有傳說中的約櫃。為了確定它的確切位置，印第人必須揭開一幅特殊的地圖，只有當太陽在一天中的某個特定時間穿過一個特定房間的特殊水晶時，才能看到這幅地圖。
這種想法——當環境合適時，基本信息可以被揭示出來——出現在許多神話中。它也出現在數學中，有時在不太可能的情況下。三位數學家已經證明，當某種隨機性被完美地調整後，錯綜複雜的幾何形狀就會出現在人們的視野中——就像在普通地板上展示的地圖一樣。
這些形狀是棋盤狀的設計，隨機排列在由隨機過程構建的網格上。你可能會認為這種隨機疊加會造成混亂。然而事實證明，就像每一片雪花都是獨一無二的一樣，但所有的雪花都是雪花，只要條件合適，無序就會收斂到一種普遍的形式。每個人都知道數學家研究形狀。大多數形狀都遵循確定性規則：如果我給你構造球體的指令，你每次都會構造完全相同的球體。
但是數學家也研究由隨機過程構成的形狀，比如隨機漫步——如果你每一步都朝著隨機的方向移動，就會追蹤到這條路徑。除了隨機漫步，還有其他種類的隨機幾何對象，比如隨機二維曲面(描繪一個山和谷隨機傾斜的景觀)和隨機地圖(由線連接的隨機點的集合)。
在《奪寶奇兵》中，印第安納瓊斯必須找到一個密室，裡面有傳說中的約櫃。為了確定它的確切位置，印第人必須揭開一幅特殊的地圖，只有當太陽在一天中的某個特定時間穿過一個特定房間的特殊水晶時，才能看到這幅地圖。
這種想法——當環境合適時，基本信息可以被揭示出來——出現在許多神話中。它也出現在數學中，有時在不太可能的情況下。三位數學家已經證明，當某種隨機性被完美地調整後，錯綜複雜的幾何形狀就會出現在人們的視野中——就像在普通地板上展示的地圖一樣。
這些形狀是棋盤狀的設計，隨機排列在由隨機過程構建的網格上。你可能會認為這種隨機疊加會造成混亂。然而事實證明，就像每一片雪花都是獨一無二的一樣，但所有的雪花都是雪花，只要條件合適，無序就會收斂到一種普遍的形式。每個人都知道數學家研究形狀。大多數形狀都遵循確定性規則：如果我給你構造球體的指令，你每次都會構造完全相同的球體。
但是數學家也研究由隨機過程構成的形狀，比如隨機漫步——如果你每一步都朝著隨機的方向移動，就會追蹤到這條路徑。除了隨機漫步，還有其他種類的隨機幾何對象，比如隨機二維曲面(描繪一個山和谷隨機傾斜的景觀)和隨機地圖(由線連接的隨機點的集合)。
- 由三角形粘在一起構成的隨機曲面。
沒有兩個形狀是相同的。然而，數學家們已經發現，這些隨機過程收斂於某些規範形式。例如，如果你讓隨機過程運行足夠長時間，所有隨機遊動都收斂到布朗運動的形式。近年來，數學家們發現了其他隨機過程的規範形式，並因此獲得了該領域的一些最高榮譽。
新的證明是關於理解另一個隨機過程的深層性質。
這個過程從一個隨機曲面的構造開始。首先，把三角形的邊緣粘在一起。接下來，把它們以任何方式組合在一起，只要最後的形狀像包裝紙一樣封閉(這樣就不會有洞或開口)。如果你從特定數量的三角形開始，你會有很多可能性。一些“三角”將產生幾乎光滑的表面，就像一個球。大多數將是遠為狂野的極端表面，類似於隆起的山脈。
“它看起來不像一個普通的球體。布蘭迪斯大學數學家奧利維爾·貝爾納迪說。他與巴黎南方大學的尼古拉斯·庫倫和法國里昂高等師範學院的格雷戈裡·米爾蒙特共同撰寫了這篇論文。
在《奪寶奇兵》中，印第安納瓊斯必須找到一個密室，裡面有傳說中的約櫃。為了確定它的確切位置，印第人必須揭開一幅特殊的地圖，只有當太陽在一天中的某個特定時間穿過一個特定房間的特殊水晶時，才能看到這幅地圖。
這種想法——當環境合適時，基本信息可以被揭示出來——出現在許多神話中。它也出現在數學中，有時在不太可能的情況下。三位數學家已經證明，當某種隨機性被完美地調整後，錯綜複雜的幾何形狀就會出現在人們的視野中——就像在普通地板上展示的地圖一樣。
這些形狀是棋盤狀的設計，隨機排列在由隨機過程構建的網格上。你可能會認為這種隨機疊加會造成混亂。然而事實證明，就像每一片雪花都是獨一無二的一樣，但所有的雪花都是雪花，只要條件合適，無序就會收斂到一種普遍的形式。每個人都知道數學家研究形狀。大多數形狀都遵循確定性規則：如果我給你構造球體的指令，你每次都會構造完全相同的球體。
但是數學家也研究由隨機過程構成的形狀，比如隨機漫步——如果你每一步都朝著隨機的方向移動，就會追蹤到這條路徑。除了隨機漫步，還有其他種類的隨機幾何對象，比如隨機二維曲面(描繪一個山和谷隨機傾斜的景觀)和隨機地圖(由線連接的隨機點的集合)。
- 由三角形粘在一起構成的隨機曲面。
沒有兩個形狀是相同的。然而，數學家們已經發現，這些隨機過程收斂於某些規範形式。例如，如果你讓隨機過程運行足夠長時間，所有隨機遊動都收斂到布朗運動的形式。近年來，數學家們發現了其他隨機過程的規範形式，並因此獲得了該領域的一些最高榮譽。
新的證明是關於理解另一個隨機過程的深層性質。
這個過程從一個隨機曲面的構造開始。首先，把三角形的邊緣粘在一起。接下來，把它們以任何方式組合在一起，只要最後的形狀像包裝紙一樣封閉(這樣就不會有洞或開口)。如果你從特定數量的三角形開始，你會有很多可能性。一些“三角”將產生幾乎光滑的表面，就像一個球。大多數將是遠為狂野的極端表面，類似於隆起的山脈。
“它看起來不像一個普通的球體。布蘭迪斯大學數學家奧利維爾·貝爾納迪說。他與巴黎南方大學的尼古拉斯·庫倫和法國里昂高等師範學院的格雷戈裡·米爾蒙特共同撰寫了這篇論文。
米爾蒙特和另一位數學家讓-弗朗索瓦勒加爾在早期的工作中建立了這些隨機三角形的許多性質。這個新的證明更進一步，在隨機三角剖分的基礎上增加了第二層隨機性。
為了增加這種額外的隨機性，在三角形的每個角與一個點相交的地方做標記——數學家們稱之為頂點。將每個頂點隨機塗成白色或黑色。你可以通過拋硬幣來做到這一點，儘管它不一定是一枚均勻的硬幣——它可以被加權以產生一種顏色多於另一種顏色。
一旦你給你的頂點上色，你就可以對你創建的圖案提出各種各樣的問題。其中一個最基本的問題是：你能否僅靠在黑色頂點上移動而在表面上移動得更遠？這種沿著相同顏色的連接頂點移動的過程稱為滲流。它提供了一種數學方法來研究相同名稱的物理現象，其中流體流經多孔介質。
根據硬幣的權重，滲透會很容易(或不容易)：如果硬幣的權重偏重於黑色頂點，滲透將幾乎得到保證；如果它傾向於白色頂點，那麼滲透幾乎肯定是不可能的。
在《奪寶奇兵》中，印第安納瓊斯必須找到一個密室，裡面有傳說中的約櫃。為了確定它的確切位置，印第人必須揭開一幅特殊的地圖，只有當太陽在一天中的某個特定時間穿過一個特定房間的特殊水晶時，才能看到這幅地圖。
這種想法——當環境合適時，基本信息可以被揭示出來——出現在許多神話中。它也出現在數學中，有時在不太可能的情況下。三位數學家已經證明，當某種隨機性被完美地調整後，錯綜複雜的幾何形狀就會出現在人們的視野中——就像在普通地板上展示的地圖一樣。
這些形狀是棋盤狀的設計，隨機排列在由隨機過程構建的網格上。你可能會認為這種隨機疊加會造成混亂。然而事實證明，就像每一片雪花都是獨一無二的一樣，但所有的雪花都是雪花，只要條件合適，無序就會收斂到一種普遍的形式。每個人都知道數學家研究形狀。大多數形狀都遵循確定性規則：如果我給你構造球體的指令，你每次都會構造完全相同的球體。
但是數學家也研究由隨機過程構成的形狀，比如隨機漫步——如果你每一步都朝著隨機的方向移動，就會追蹤到這條路徑。除了隨機漫步，還有其他種類的隨機幾何對象，比如隨機二維曲面(描繪一個山和谷隨機傾斜的景觀)和隨機地圖(由線連接的隨機點的集合)。
- 由三角形粘在一起構成的隨機曲面。
沒有兩個形狀是相同的。然而，數學家們已經發現，這些隨機過程收斂於某些規範形式。例如，如果你讓隨機過程運行足夠長時間，所有隨機遊動都收斂到布朗運動的形式。近年來，數學家們發現了其他隨機過程的規範形式，並因此獲得了該領域的一些最高榮譽。
新的證明是關於理解另一個隨機過程的深層性質。
這個過程從一個隨機曲面的構造開始。首先，把三角形的邊緣粘在一起。接下來，把它們以任何方式組合在一起，只要最後的形狀像包裝紙一樣封閉(這樣就不會有洞或開口)。如果你從特定數量的三角形開始，你會有很多可能性。一些“三角”將產生幾乎光滑的表面，就像一個球。大多數將是遠為狂野的極端表面，類似於隆起的山脈。
“它看起來不像一個普通的球體。布蘭迪斯大學數學家奧利維爾·貝爾納迪說。他與巴黎南方大學的尼古拉斯·庫倫和法國里昂高等師範學院的格雷戈裡·米爾蒙特共同撰寫了這篇論文。
米爾蒙特和另一位數學家讓-弗朗索瓦勒加爾在早期的工作中建立了這些隨機三角形的許多性質。這個新的證明更進一步，在隨機三角剖分的基礎上增加了第二層隨機性。
為了增加這種額外的隨機性，在三角形的每個角與一個點相交的地方做標記——數學家們稱之為頂點。將每個頂點隨機塗成白色或黑色。你可以通過拋硬幣來做到這一點，儘管它不一定是一枚均勻的硬幣——它可以被加權以產生一種顏色多於另一種顏色。
一旦你給你的頂點上色，你就可以對你創建的圖案提出各種各樣的問題。其中一個最基本的問題是：你能否僅靠在黑色頂點上移動而在表面上移動得更遠？這種沿著相同顏色的連接頂點移動的過程稱為滲流。它提供了一種數學方法來研究相同名稱的物理現象，其中流體流經多孔介質。
根據硬幣的權重，滲透會很容易(或不容易)：如果硬幣的權重偏重於黑色頂點，滲透將幾乎得到保證；如果它傾向於白色頂點，那麼滲透幾乎肯定是不可能的。
貝爾納迪、庫裡恩和米爾蒙特研究了介於這兩個極端之間的情況——硬幣權重的臨界點，在這個臨界點上，滲透從幾乎不可能轉變為‘幾乎肯定會發生’。他們把這一點稱為“臨界閾值”。“這是相變的一個例子，就像熱水突然變成蒸汽的神奇時刻。
庫裡恩說：“臨界閾值意味著，如果我把參數稍微移動一下，我的系統的行為就會從一個戲劇性的方向變成另一個戲劇性的方向。”物理學家對相變很感興趣，因為自然界許多最重要的現象都發生在相變的尖端。數學家們對相變也很感興趣，因為重要的數學特徵往往恰好出現在哪些點上。
麻省理工學院的數學家斯科特·謝菲爾德說：“我們知道，就在212華氏度，水在沸騰，形成了瘋狂的模式，蒸汽噴湧而出。”“這種瘋狂的行為在某種程度上非常有趣。就在這個相變的時候，我感覺它在召喚我們去理解它。”在這篇新論文中，三位數學家證明了類似的瘋狂行為恰好發生在滲流相變階段。他們表明，在這個臨界閾值出現了一個獨特的幾何形狀——獨特，但也普遍。
隨機中隱藏的順序
本文的第一部分確定了硬幣的權重，使頂點的著色位於滲濾和不滲濾之間的閾值。他們證實了直覺，證明了臨界值是一枚完全公平的硬幣——黑的概率是50%，白的概率是50%。
這是論文的第一部分。我們證明，有趣的事情發生在一半，”貝爾納迪說。
在《奪寶奇兵》中，印第安納瓊斯必須找到一個密室，裡面有傳說中的約櫃。為了確定它的確切位置，印第人必須揭開一幅特殊的地圖，只有當太陽在一天中的某個特定時間穿過一個特定房間的特殊水晶時，才能看到這幅地圖。
這種想法——當環境合適時，基本信息可以被揭示出來——出現在許多神話中。它也出現在數學中，有時在不太可能的情況下。三位數學家已經證明，當某種隨機性被完美地調整後，錯綜複雜的幾何形狀就會出現在人們的視野中——就像在普通地板上展示的地圖一樣。
這些形狀是棋盤狀的設計，隨機排列在由隨機過程構建的網格上。你可能會認為這種隨機疊加會造成混亂。然而事實證明，就像每一片雪花都是獨一無二的一樣，但所有的雪花都是雪花，只要條件合適，無序就會收斂到一種普遍的形式。每個人都知道數學家研究形狀。大多數形狀都遵循確定性規則：如果我給你構造球體的指令，你每次都會構造完全相同的球體。
但是數學家也研究由隨機過程構成的形狀，比如隨機漫步——如果你每一步都朝著隨機的方向移動，就會追蹤到這條路徑。除了隨機漫步，還有其他種類的隨機幾何對象，比如隨機二維曲面(描繪一個山和谷隨機傾斜的景觀)和隨機地圖(由線連接的隨機點的集合)。
- 由三角形粘在一起構成的隨機曲面。
沒有兩個形狀是相同的。然而，數學家們已經發現，這些隨機過程收斂於某些規範形式。例如，如果你讓隨機過程運行足夠長時間，所有隨機遊動都收斂到布朗運動的形式。近年來，數學家們發現了其他隨機過程的規範形式，並因此獲得了該領域的一些最高榮譽。
新的證明是關於理解另一個隨機過程的深層性質。
這個過程從一個隨機曲面的構造開始。首先，把三角形的邊緣粘在一起。接下來，把它們以任何方式組合在一起，只要最後的形狀像包裝紙一樣封閉(這樣就不會有洞或開口)。如果你從特定數量的三角形開始，你會有很多可能性。一些“三角”將產生幾乎光滑的表面，就像一個球。大多數將是遠為狂野的極端表面，類似於隆起的山脈。
“它看起來不像一個普通的球體。布蘭迪斯大學數學家奧利維爾·貝爾納迪說。他與巴黎南方大學的尼古拉斯·庫倫和法國里昂高等師範學院的格雷戈裡·米爾蒙特共同撰寫了這篇論文。
米爾蒙特和另一位數學家讓-弗朗索瓦勒加爾在早期的工作中建立了這些隨機三角形的許多性質。這個新的證明更進一步，在隨機三角剖分的基礎上增加了第二層隨機性。
為了增加這種額外的隨機性，在三角形的每個角與一個點相交的地方做標記——數學家們稱之為頂點。將每個頂點隨機塗成白色或黑色。你可以通過拋硬幣來做到這一點，儘管它不一定是一枚均勻的硬幣——它可以被加權以產生一種顏色多於另一種顏色。
一旦你給你的頂點上色，你就可以對你創建的圖案提出各種各樣的問題。其中一個最基本的問題是：你能否僅靠在黑色頂點上移動而在表面上移動得更遠？這種沿著相同顏色的連接頂點移動的過程稱為滲流。它提供了一種數學方法來研究相同名稱的物理現象，其中流體流經多孔介質。
根據硬幣的權重，滲透會很容易(或不容易)：如果硬幣的權重偏重於黑色頂點，滲透將幾乎得到保證；如果它傾向於白色頂點，那麼滲透幾乎肯定是不可能的。
貝爾納迪、庫裡恩和米爾蒙特研究了介於這兩個極端之間的情況——硬幣權重的臨界點，在這個臨界點上，滲透從幾乎不可能轉變為‘幾乎肯定會發生’。他們把這一點稱為“臨界閾值”。“這是相變的一個例子，就像熱水突然變成蒸汽的神奇時刻。
庫裡恩說：“臨界閾值意味著，如果我把參數稍微移動一下，我的系統的行為就會從一個戲劇性的方向變成另一個戲劇性的方向。”物理學家對相變很感興趣，因為自然界許多最重要的現象都發生在相變的尖端。數學家們對相變也很感興趣，因為重要的數學特徵往往恰好出現在哪些點上。
麻省理工學院的數學家斯科特·謝菲爾德說：“我們知道，就在212華氏度，水在沸騰，形成了瘋狂的模式，蒸汽噴湧而出。”“這種瘋狂的行為在某種程度上非常有趣。就在這個相變的時候，我感覺它在召喚我們去理解它。”在這篇新論文中，三位數學家證明了類似的瘋狂行為恰好發生在滲流相變階段。他們表明，在這個臨界閾值出現了一個獨特的幾何形狀——獨特，但也普遍。
隨機中隱藏的順序
本文的第一部分確定了硬幣的權重，使頂點的著色位於滲濾和不滲濾之間的閾值。他們證實了直覺，證明了臨界值是一枚完全公平的硬幣——黑的概率是50%，白的概率是50%。
這是論文的第一部分。我們證明，有趣的事情發生在一半，”貝爾納迪說。
- 用橙色突出顯示最大星系團的隨機表面上的頂點的映射。
第二部分研究了這個有趣的東西。當你用一枚均勻的硬幣將頂點塗成白色或黑色時，你將會在黑色頂點和白色頂點之間得到一個很好的平衡。這些星系團將圍繞彼此生長，就像雜草叢生的花園中爭奪空間的一簇簇雜草，創造出複雜的幾何形狀，當頂點主要是一種顏色時，這些形狀就不會出現。
由於下表面的選擇是隨機的，頂點的著色過程也是隨機的，所以一個表面上最大的聚類與另一個表面上最大的聚類總是不同的。但是數學家們證明了，在所有的表面上以及所有可能的給這些表面上的頂點著色的方法上，最大的星系團都有共同的特徵。他們證明的第一件事是所有表面上最大的黑色星團大小的精確概率分佈。他們建立了一個特定的中等大小的星團，它最常發生，當你遠離這個中等大小的星團時，更大或更小的星團出現的頻率呈指數遞減。
他們還證明，最大的星系團都能伸縮成一個稱為穩定映射的單一規範形式。穩定映射與這些簇的關係就像布朗運動與隨機遊走的關係一樣。這意味著，當您縮小單個集群時——因此集群中的每個隨機步驟在整體形狀的幾何形狀中變得不那麼突出——集群越來越呈現出一種常見的形式。它們就像雪花：近距離看是獨一無二的，但當你退後一步看，它們顯然都是同一種。
論文擴展了對近年來數學中建立的隨機形狀和過程的理解。它還揭示了，在一個隨機系統看似最混亂的精確時刻，精細的幾何順序卻能穿透它。
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