作者： Math001，哆嗒數學網網主。
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這篇文章把約數、素數、孿生素數猜想、歌德巴赫猜想用一種“可視化”的辦法，把它們“變”成了一個可以看見的填字塗色遊戲。而這種轉化為“變戲法”的過程所涉及的知識，只涉及初等數論的知識，如果有興趣的讀者不嫌麻煩，可以耐心地把其中的轉化過程一一驗證，如果沒時間驗證也沒關係，可以暫且相信我們哆嗒數學網的小編，跳過一些繁瑣的證明過程，帶著娛樂的心情，一起領略另外一種“數形結合”的妙趣。
首先聲明，我們的目的是把一些數論問題變得“好看”、“好玩”。即便把這些問題變成了小遊戲一樣的東西，問題的難度可能依然沒有得到任何程度的降低（有可能變得更難）。如果你覺得真的變好玩了，不妨讓更多的人看到這些玩法並一起玩，這會是件非常有趣的事情。
- 起航：做一張巨大的正整數表格
我們按下面的步驟，來做一張表格：
第1行，依次從左到右寫出所有正整數1、2、3、……
第2行，還是依次從左到右寫出所有正整數1、2、3,、……，不過每兩個數字之間要間隔1個空格。
第3行，還是依次從左到右寫出所有正整數1、2、3,、……，不過每兩個數字之間要間隔2個空格。
……
第i行，依次從左到右寫出所有正整數1、2、3,、……，不過每兩個數字之間要間隔i-1個空格。
……
理論上，這是一個有無窮行和無窮列且大部分地方都是空格的大表格（無窮矩陣），不過我們可以截取它的一部分來說明一些問題。
據說，幾百年前的歐拉已經用過這樣表格研究數學問題了。如果真是這樣，歐拉真是一位十分有耐心的數學家。用“人肉”繪圖的方式，哪怕只有幾百行幾百列，也是一件耗時耗力的工作。因為一會兒我們要在這個表格上做一種類似“跳格子”遊戲的操作，我們把這個表就叫做“跳格子表”吧。不過現在有了計算機，我們可以輕易的做到這樣的事情。下面是我們哆嗒君用Excel軟件做的17行50列的表格（點擊圖片放大觀看）：
我們稍微地歸納一下這個表格的填字規律，第i行第j列，即位置( i , j )的“填字”N( i , j )將是（0在表格中就用空格表示了）
事實： 位置( i , j )的填字不是空格的充要條件是，j-1 是 i 的倍數，即i是j-1的約數。
- 約數與質數“重定義”
我們知道，對於兩個正整數來說，如果a是b的倍數，b就是a的約數。如果一個大於1正整數的約數只有1和它本身，我們就說這個數是素數，也叫質數。
然而，我們這裡既然做了表格，目的就是要重新利用表格上語言來說，到底什麼是約數。
觀察下面表格的紅色路徑，它們都是從第1行的某個數字開始，向左下方一路斜著拉了條斜線拉到最左側的那一列的1。比如我們圖中的6, 11, 18。從6拉的路徑裡，除了空格，經過的數字有6,3,2,1，而從18開始的，經過的有18,9,6,3,2,1。 恩，你發現了嗎，經過的數字，正好是起始數字的約數。於是，我們說，在這樣的表格裡，約數可以這樣表述:
約數的“跳格子”定義： 正整數n的約數就是“跳格子表”中，從第1行的n出發（即（1,n）位置出發），向左下行走到第1列的“1”的路徑中經過的數字。
對於觀察到的這個結果，我們給出一個簡單的證明。我們來看，從(1,n)出發所經過的格子( 1+i , n-i ) , i = 0,1,2,3,…,n-1。根據前面的事實1，N( 1+i , n-i ) 是一個數字，當且僅當 n-i-1 = n-(1+i) 是 1+i的倍數，就是說n是1+i的倍數。而當n是1+i的倍數時，格子中的數字是N( 1+i , n-i ) = 1 + (n-i-1)/(1+i) = n/(1+i) 。這個是一個正整數且是n的約數。而i從0到n-1遍歷的時候，1+i遍歷了n所有可能的約數，而且每個約數恰好出現一次。
有了這個結果，我們還可以“重新定義”素數：
素數的“跳格子”定義： 正整數n的約數就是“跳格子表”中，從第1行的n出發（即（1,n）位置出發），向左下行走到第1列的“1”路徑中，除了路徑的起點與終點，經過的全是空格。
上面圖中的11便是其中的一個例子。
- 孿生素數猜想的玩法
如果兩個(奇)素數之差是2，我們就說這兩個素數是一對孿生素數。比如3和5、11和13,、17和19等等。直到2016年9月，發現的已知的最大的一對孿生素數是下面兩個數，展開後，這兩個數都有388342位，這裡一定是寫不下了的。
孿生素數猜想是說，有無窮多對孿生素數。那麼在我們的表格中會怎麼表述這個猜想呢？
我們從第一排的某個數字出發（即（1,n）位置出發），如果往右下一路斜走，踩過一路空格後，踩到3，而從左下一路斜走，一路空格走到1，那麼這個n以及n-2都是素數。下圖中的13就是這個情況。
證明這個的思路，也和前面一樣，是一些簡單的倍數、約數驗證。從(1,n)位置向右下斜走n-3格，踩中的位置為N(1+n-3,n+n-3) = N(n-2,2n-3) = 1 + (2n -3 -1)/(n-2) = 3 。就是說從任何(1,n)出發，n-3格的時候踩中3是必然的 。 另外，因為是一路空格踩過來，所以 i = 1,2,...,n-4的時候，N(1+i,n+i)都是空格，也就是說n+i-1= (n-2) + (1+i)不是1+i的倍數，即n-2不是1+i的倍數。就是說2,3,...,n-3，都不是n-2的約數，從而n-2是素數。而n本身是素數是從(1,n)出發的左下斜線路徑決定的。
於是我們有了，孿生素數猜想的“跳格子”表述：
孿生素數猜想的“跳格子”表述： 存在無窮多個n，使得從“跳格子表”中第一排的n位置出發，往右下一路斜走，踩過一路空格後，踩到3，而從左下一路斜走，踩過一路空格走到1。
- 還沒玩夠，馬跳模式下的孿生素數猜想猜想
你下過中國象棋、國際象棋嗎？如果下過，就會知道象棋中馬的走法。俗話說“馬走日”，意思馬會形狀如“日”字的一個角跳到對角線上的另外一個角。當然如果你不知道象棋而知道圍棋，那麼圍棋中“小飛”的走下法和“馬走日”的走法差不多都是我要表達的意思。
馬跳可以橫著跳，也可以豎著跳。橫著跳的相當於跳了一個平躺的“日”的對角線，而豎著跳就是一個站立“日”。
下面我直接給出兩個結論，然後簡單的驗證了其中一個。另外一個讀者可以自己驗證，都是簡單的約數驗證。
2n-1是素數，當且僅當，從第一排的n位置出發，往左下豎馬跳，踩過一路空格，踩到1
2n-3是素數，當且僅當，從第一排的n位置出發，往右下豎馬跳，踩過一路空格，踩到2。
當從(1,n)位置出發的時候，往左下豎馬跳n-1步後踩到1是非常容易判定的。 由於一路踩過的都是空格，所以(1+2i, n-i )位置在1< i <n-1上都是空格，就是說n-i-1 不都不會是1+2i的倍數。因為1+2i是奇數，所以相當於是說 2(n - i - 1) = (2n-1)-(1+2i) 也不是1+2i的倍數，即2n-1不是不會是1+2i的倍數。這時1< 1+2i <2n-1 ，就是說奇數2n-1沒有奇素因子。2n-1為素數。
2n-3的素數條件驗證是相似的。
下圖從10出發的兩個方向的馬跳，說明了19、17是一對孿生素數。
於是，我們有了第二種表述：
孿生素數猜想的“跳格子”第二表述： 存在無窮多個n，使得從“跳格子表”中第一排的n位置出發，往左下一路馬跳，踩過一路空格後，踩到1，而從往右下一路馬跳，踩過一路空格後，踩到2。
- 說好的歌德巴赫猜想呢？
這一部分，我們就會來實現這個猜想。玩之前我們會介紹一種“跳格子表”上的新走法——k級馬跳，以及我們會換一個更大的棋盤來玩。
前面介紹的馬跳的位置，其實是向橫（豎）著移動一格，然後朝另外一個方向豎（橫）著移動2格所得到的位置。如果我們把第二次的2格換成其他數字k，然後將這個新的走法稱為k級馬跳。
那麼，前面的走法就成了k級馬跳的特例。最早棋盤上的斜著走，就是1級馬跳，而上一部分的默認馬跳其實是2級馬跳。
另外還有一種特殊情況，0級馬跳，橫著的0級馬跳豎著直走，豎著的0級馬跳是橫著直走。
為了玩得開心，我們引入0和負數，把之前的表格向左邊無限擴展，得到下面樣子的表格。我們省略負號，把0和負數塗上綠色。這個表格是之前的升級版，我們叫做“跳格子表2”。
“跳格子表2”保留所有之前未升級版本表格的性質，比如N(i,j)的值，我們可以計算N(2,-1)=1+ (-1-1)/2 = 0, N(8,-63) = 1+ (-63-1)/8 = -7 , 以及 N(3, -6) = 空格。 因為-6-1 = -7 不是3的倍數。
現在我們的準備工作完畢，開始要說歌德巴赫猜想的玩法了。
歌德巴赫猜想是說，每個不小於6的偶數可以寫成兩個奇素數之和。
我們說一個不小於6的偶數2n，如果存在一個非負整數k，使得從第一行的n+1位置出發，嚮往右邊一路橫著進行k級馬跳，踩過一路空格，最後踩到k+2，往左邊一路進行k級馬跳踩過一路空格，最後踩到2-k。 那麼2n能寫成兩個素數的和。
我們來看看為什麼。
從(1,n+1)往右橫著k級馬跳，跳n-k-1步踩到的點的值N(1+(n-k-1),n+1+k(n-k-1)) = N(n-k，1+(1+k)(n-k)) = 1 + (1+(1+k)(n-k)-1)/(n-k) = k+2 ，就是說n-k-1步後必然踩到k+2, 由於是一路空格踩過來，說明當1≤i≤n-k-2 的時候， 1+i都不是n-k的約數。即2,3,4,...,n-k-1 都不是n-k的約數。於是n-k是素數。
利用相同的辦法可以驗證，n+k也是素數。只需要驗證向左邊移動n+k-1步的情況。
相反，如果一個不小於6的偶數2n = p + q，其中p≤q是奇素數。那麼我們令k = n-p = q-n。那麼這個k對應的k級馬跳就是符合遊戲設定k級馬跳。
那麼這個時候，我們可以表述歌德巴赫猜想了。
歌德巴赫猜想的“跳格子2”表述： 對每個不小於4的正整數n，存在一個非負整數k，使得從“跳格子表2”中第一排的n位置出發，往右橫著進行k級馬跳，踩過一路空格後，踩到k+2，而往左橫著進行k級馬跳，踩過一路空格後，踩到2-k。
下面的例子是對從16可寫成兩素數之和的驗證。這個時候n=8，n+1 = 9, 所以從第一行的9開始跳，k的取值是3，所有最終右邊跳到k+2=5，左邊跳到2-k = -1 ，於是n+k = 8+3 = 11, n-k = 8-3 = 5, 16 = 11 + 5 ，16寫成了5和11兩個素數和。
注意，k=0 的特殊情況是這樣的： 從n+1一直直線往下走，踩過一路空格踩到2。比如上面圖從4出發向下走的黃色部分，說明了6滿足哥德巴赫猜想。
- 誰發現（發明）的這個遊戲？
好的，我們把孿生素數猜想和歌德巴赫猜想都在一個有趣的表格上重新實現了。那麼這個遊戲是誰發明的呢。
發明這個遊戲的人叫Cloitre,是一位法國的數學的業餘愛好者。他把他的這個發現寫成的論文，可以在http://www.les-mathematiques.net/articles/Chemins.pdf 看到。我們哆嗒君把他的玩法優化，並處理完幾個小錯誤之後呈現給了大家。這個遊戲不是他在數學上唯一的發現。Cloitre的很多發現並不遜色於在大學任教的數學專業人士，。比如2004年，他發現了ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + ... =π²/6 的一個極其簡單，但之前無人發現的公式，這個公式被收錄在WolframMathWorld的詞條中。
一些專業的數學教授也樂意和Cloitre合作，Cloitre也樂於在網上分享他的數學上點點滴滴。著名數列百科網站OEIS有Cloitre的4000多條貢獻，一些數列中隱含的問題也激發了一些專業人士的研究興趣。
所以，業餘人士做的數學，也會被人叫好，也是會被人們承認的。這個時候，專業人士也不會叫你“民科”，當然——前提是你的研究是對的。
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