非歐幾何的創立與數學的變革

非歐幾何是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立，不僅帶來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。

經得起歷史風霜考驗的,只有歐幾里得的《幾何原本》

《幾何原本》作為古希臘數學的一種總結性再創造，作為歐幾里得精心雕琢的數學模式，成為古希臘文化中的一塊瑰寶。但是，無論是把歐氏幾何作為一種哲學的表現，還是把它作為一種基督教神的教義理性，歐氏幾何中有關第五公設（即：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側面兩個內角的和小於兩直角，則這兩條直線無限延長後在這一側相交）的論述總讓人感到有某些不盡人意的遺憾，比如語言敘述冗長，與公理、公設應有的明顯、直觀性和不證自明的真理程度似乎有些差別。特別是，在第五公設的敘述中還隱含有直線可以無限延長的涵義，由於古希臘人在數學中對無限基本上採取了一種完全排斥的態度，因此這也引起了人們的關注和不安。

出於對柏拉圖哲學的領悟，或是出於對歐氏幾何體系的愛護，再加上後來對神學宗教的信仰，人們一直都希望能對歐幾里得的第五公設做出新的敘述或能對它進行證明將其從公設中去掉而成為一個定理。從公元前300年到公元1800年的這兩千多年的時間裡，幾乎所有有作為的數學家、神學家都在第五公設上投入了大量的精力：哲學家、神學家希望能由此進一步完善歐氏幾何的理想化地位，數學家則希望能使幾何的邏輯演繹體系更加完美。然而，在長達兩千多年的時間中儘管數學家使用了不同的方法，結果卻都沒能獲得成功。這裡有數學家薩開裡（Saccheri 1667-1733）、蘭伯特(Lambert 1728-1777)和陶裡努斯(Taurinus 1794-1874)等人對非歐幾何邏輯可能性的初步認識，但他們的努力離非歐幾何的確立只有一步之遙。

非歐幾何

兩千多年的失敗歷史無疑促使人們對這種證明的方法和目的等做出一定的反思，特別是由於正面的努力始終未能獲得成功，因此，一些數學家就開始了反面的努力，即是希望能從相反的規定引出矛盾而用反證法證明第五公設。這種反證法的基本思想是，為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否定，然後用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統，並由此展開邏輯推演。假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來，那麼，在新公理系統的推演過程中一定能出現邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證得“第五公設不可證”。

經過了漫長的時間旅途，最終登上最高峰的非歐幾何創立人是三位數學家：高斯、鮑耶和羅巴切夫斯基。在這三位數學家中，

高斯的突出貢獻在於：他清楚地認識到非歐幾何像歐氏幾何一樣也可能被用於描述物質空間。他有明確的非歐幾何觀念，相當完整地完成了非歐幾何的創建工作。但是，由於他害怕別人不理解，卻沒有將這方面的研究成果公佈於世。在他去世以後，他的書信的公佈才大大地推動了人們對非歐幾何的認同和理解；

鮑耶，匈牙利數學家

鮑耶對非歐幾何的創立也做出了傑出的貢獻，他對於非歐幾何在數學上的意義考慮了比較深入，對新幾何的無矛盾性進行了長時間思索，併力圖找到一種有關新幾何無矛盾的證明；

羅巴切夫斯基

非歐幾何，這個從歐幾里得時代開始就糾纏數學家的噩夢，最終得到了完美的解決，而最完整、最先出版非歐幾何的研究成果、並最早得到社會承認的是俄國數學家羅巴切夫斯基，他所做的主要工作是對第五公設的等價命題普列菲爾公理“過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，並用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是經過仔細審查，卻沒有發現它們之間含有任何邏輯矛盾。

於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中並不存在任何矛盾”的新公理系統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由於尚未找到新幾何在現實世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”，後稱為非歐幾何。

黎曼

非歐幾何的重要應用就是愛因斯坦創立的“相對論”。

儘管非歐幾何的建立結束了數學界中的兩千多年的一件“公案”，但是值得思考的是：為什麼薩開裡、蘭伯特和陶裡努斯等人已經站在了非歐幾何的大門口，但卻沒有能夠成功地跨出最後的一步？這裡除了有個人的因素外，主要是整體性的文化環境，特別是思想觀念在這過程中所發揮的重要作用。而高斯、鮑耶和羅切夫斯基能夠創立非歐幾何，一個首要的原因在於他們敢向歐氏幾何的絕對真理性提出明確的挑戰。因為事實上，非歐幾何所表現出來的是對歐氏幾何真理性、客觀性和實在性的挑戰。非歐幾何的建立在西方的數學史上，是引起數學觀念根本性變革的一件大事，因為對非歐幾何的確認，實際上就已經意味著從古希臘以來的、以數學為代表的絕對真理觀的終結；同時更是促進了西方數學在整個文化中的地位、發展方向和價值觀念的重大變化，它標誌著人類的數學脫離了原有文化加在數學上的各種非數學自身所應有的重負。