歐幾里得在《幾何原本》挖的坑，2000年後導致了非歐幾何的誕生

我們知道，第一次數學危機的產生是源於無理數，無理數的誕生讓古希臘人處於思想的彷徨狀態，因為當時古希臘人試圖把有理數視為連續銜接的算術連續統（指連續不斷的數集）。最終，柏拉圖宣告了以數為基礎的數學模型的破產，提出以幾何為基礎建設宇宙模型的構想。

而之後，歐幾里得總結了以前全部幾何學知識，建立起第一個幾何公理系統（歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統）。還編寫出《幾何原本》一書。這無疑是數學思想上的一次巨大革命，古典邏輯與歐氏幾何就是第一次危機的產物。

歐幾里得的《幾何原本》對數學的發展起到了巨大的推動作用，被譯成了世界各種文字，在它的發行量僅次於《聖經》而位居第二。

幾何原本

雖然在17世紀，笛卡爾創立了解析幾何，但直到18世紀末《幾何原本》依然是數學家心中的《聖經》，幾何領域仍然是歐幾里得一統天下．解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實質上改變歐氏幾何本身的內容，許多數學家都相信歐氏幾何是絕對真理，例如數學家巴羅就曾列舉8點理由來肯定歐氏幾何。17、18世紀的哲學家從霍布斯、洛克到康德也都從不同的出發點認為歐氏幾何是明白的和必然的。而笛卡兒在發明瞭解析幾何以後仍堅持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓撰寫的物理領域聖經《自然哲學的數學原理》也是建立在幾何論證的基礎上。從歐拉的《無窮小分析》開始數學才逐漸擺脫對幾何的依賴。

笛卡爾幾何公式

在《幾何原本》裡，歐幾里得給出了 23 條定義、5條公理、5條公設。公理是在任何數學學科裡都適用的不需要證明的基本原理，公設則是幾何學裡的不需要證明的基本原理。近代數學則對此不再區分，都稱“公理”。

這裡我們要先把前面四條公設先列一下：

1.過兩點能作且只能作一直線；

2.線段(有限直線)可以無限地延長；

3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；

4.凡是直角都相等；

在這本書中歐幾里得不小心給自己挖了個坑，最終導致了 2000 年後非歐幾何的誕生。這個坑來源於《幾何原本》裡的第五條公設，這條公設是說：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。

從公元前三世紀一直到公元十八世紀，人們始終相信歐氏幾何是物理空間的正確理想化，但是大家一直對於《幾何原本》中的第五公設耿耿於懷，因為相比於前四條公設，第五公設敘述複雜、冗長。《幾何原本》中直到第29個命題“一條直線與兩條平行直線相交,則所成的內錯角相等,同位角相等,且同旁內角之和等於兩直角”才使用到第五公設，而後再未出現。

所以數學家們都產生了疑議，這就引發了幾何發展史上最著名的爭論了長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論。

他們一開始想的就是有沒有更簡單、明暢的語言來敘述這條公設，古希臘數學家普羅克魯斯在公元5世紀就曾經試圖重現陳述它，然而這些替代性陳述效果並不比原來的文字更好。直到 18 世紀普萊菲爾才總算總結出一個比較簡單的替代性公設：

過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”．

我們中學教材就常用這個敘述形式來替代第五公設。

除此之外，數學家提出第五公設能不能不作為公設,而把它看作一個定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設。

歷史上證明第五公設的重大嘗試是古希臘天文學家托勒玫，後來希臘數學家普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線平行於該直線，也就是上面提到的普萊菲爾公設。所以這個證明以失敗告終。後來，中世紀的阿拉伯數學家奧瑪·海雅姆和納西爾丁等也嘗試過第五公設的“證明”。

一直到了 18 世紀，近 2000 年的時光過去，整個數學體系已經初具雛形。繼解析幾何和微積分誕生之後，新的數學分支紛紛脫穎而出。無數困難問題得以解決。許多數學家創立了複雜艱深的數學理論。但是人們在看上去極其簡單的第五公設問題面前卻仍然一籌莫展。法國數學家達朗貝爾在1759年說。第五公設問題是“幾何原理中的家醜”。

於是，無數數學家開始向第五公設發起了衝鋒，試圖將它攻陷，18世紀，意大利的薩凱里提出用歸謬法試圖證明第五公設，薩凱里從四邊形開始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易證明角C等於角D，這樣第五公設便等價於角C和角D是直角這個論斷。薩凱里還提出了鈍角和銳角的假設，但是因為與經驗認識違背，薩凱里最終選擇放棄了最後結論。

薩凱里求解過程

其實他對於銳角的假設是成立的，他後來成為了羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）的基礎之一，哎，可惜了，如果再大膽一些，雙曲幾何就叫薩凱里幾何了。

而瑞士數學家蘭伯特也採用了薩凱里的求證思路，他也考察了一類四邊形，其中3個角為直角，而第四個角有三種可能性：銳角，直角，鈍角。之後蘭貝特否定了鈍角假設，也沒有輕率地做出銳角假設導致矛盾的結論。

蘭伯特

他在此基礎上進行了大膽的猜想：如果過直線外一點如果沒有直線與之平行或者不止一條直線與之平行的情況下，也許存在可能的幾何學而不產生矛盾。蘭伯特和薩凱里都走到了非歐幾何的門檻，但是因為時代的原因，最終沒有邁過去。

而到了高斯手裡，才算開始得到解決，高斯15歲的時候就饒有興致地思索起了這個困擾了數學界近兩千年的難題。他親自做了實地測量，來討論我們生存的空間存在非歐幾何性質的可能性。

到1813年，高斯已經形成了一套關於新幾何的思想，他稱之為“反歐幾里得幾何”後來又改稱“非歐幾里得幾何”。並且堅信這種新幾何在邏輯上也是相容的，且有廣闊的應用前景。但高斯又是個較為保守和謹慎的數學家，也憂心與那些頑固分子對這一發現的攻擊，所以生前並未公開發表這一成果。

他的行為也打擊到了一位青年數學家波爾約，波爾約和他父親一樣（他父親老波爾約和高斯是同學），醉心於第五公設研究，在研究之中他得出了非歐幾何的基本原理。1823年，這位驕傲自豪的父親將兒子長達26頁的論文《關於一個與歐幾里得第五公設無關的空間的絕對真實性的學說》滿懷自信地交由自己的老同學高斯審閱。但高斯的迴應對父子二人來說猶如晴天霹靂。

高斯表示，自己並不能稱讚，因為稱讚他就等同於稱讚自己，因為這些成果與自己30年前思考的結果相同……然而年輕氣盛的波爾約卻堅信是高斯剽竊了他的成果，這沉重打擊了約翰對數學的熱情，選擇放棄了數學研究。

玻爾約及其遺留手稿

因為高斯對於研究成果的祕不發表，而玻爾約轉而研究神學。到了羅巴切夫斯基手裡，第五公設才最終得到了解決。他用了與第五公設相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行於已知直線，“作為假設，把它與歐氏幾何的其他公設結合其他，然後約定這個斷言為公理，若這個假設與其他公設不相容，則得到了第五公設的證明，並由此出發進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》。

當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋也叫做非歐幾何學的歐氏模型。

而到了 1854 年，高斯的學生黎曼以高斯“過直線外一點，沒有直線與已知直線共面而不相交”為公理去代替歐幾里得平行公理，創立了另一種非歐幾何，人們稱之為黎曼幾何。簡稱為黎氏幾何，亦稱橢圓幾何。在這種幾何中,歐幾里得第五公設和直線可以任意延長就被否定了,在這種幾何中,對於每一條直線,都存在一個這條直線能夠延長的最大長度。過給定的兩點,總可以作一條以上直線;三角形內角和大於180度,且超出的量與三角形面積成正比。

黎曼的證明思路來自於高斯，證明高斯的確對非歐幾何有過深入研究

非歐幾何與歐幾里得幾何雖然結果不同，但它們都是無矛盾的幾何學。非歐幾何甚至還可以在歐幾里得幾何的某些曲面上表現出來。非歐幾何的產生打破了幾何空間的唯一性，反映了空間形式的多樣性。

自此，非歐幾何裡的兩大支柱羅氏幾何和黎曼幾何就此誕生，而歐幾里得留下的第五公設難題也被完全解決。

左羅右黎

但在當時歐氏幾何的權威性讓非歐幾何被數學家接受遇到了很多的阻力，比如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，為了能夠讓非歐幾何被數學界接受，眾多數學家開始尋找非歐幾何的現實模型（建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋樑）。

黎曼幾何的數學模型非常好找，黎曼幾何的現實模型叫球面幾何，但是羅氏幾何的數學模型尋找就非常困難了，最終，克萊因和龐加萊先後給出了羅氏幾何的數學模式。此後大部分數學家接受了非歐幾何學。眾多數學家指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。

可以說，歐幾里得無形中挖的坑，在 2000 年後開出了最璀璨的花朵，非歐幾何學的創立促進了一些新的數學分支的產生，如數的概念、分析基礎、數學基礎、數理邏輯等，公理化方法也獲得了進一步的完善。

非歐幾何除了促進歐洲哲學的發展，也為愛因斯坦發展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具，而相對論給物理學帶來了一場深刻的革命，動搖了牛頓力學在物理學中的統治地位，使人們對客觀世界的認識產生了質的飛躍。