幾何界“容”不下的歐幾里得，給世界都留下了哪些財富？

歐幾里得數學自然科學哲學倫理文藝復興大衛·希爾伯特托馬斯·傑斐遜物理巴魯赫·斯賓諾莎體育畢達哥拉斯政治勒內·笛卡兒日本希臘中科院物理所 2019-04-05

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今天我們將送出由圖靈新知提供的優質科普書籍《幾何世界的邀請》。

平面幾何是觀察判斷與邏輯思考的精妙結合，是初等數學教育中培育創造力的好途徑。本書為日本數學家、菲爾茲獎得主小平邦彥先生的幾何入門作品，書中以歐幾里得幾何、希爾伯特幾何、複數與幾何為軸線，由淺入深，層層深入，從作為圖形科學的幾何、作為數學的幾何等不同角度介紹完整的幾何世界，是幾何入門、訓練思維與創造力的佳作。

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作者：Judith Grabiner
翻譯：Nothing
審校：loulou

歐幾里得

很顯然，幾何是數學中一個非常有用的分支。我們需要用它去進行測量，用它來理解物體的形狀，還需要用它進行導航。

但我想說的是幾何學的內涵比這些豐富的多：它與人類的思想和生活的各個方面都有關係。

首先，讓我們介紹一下公認的“幾何學之父”：古希臘數學家歐幾里得。歐幾里得的工作是系統研究幾何學的最早的例子。當你做一個幾何中的一般性陳述時，例如畢達哥拉斯定理，如果你想證明這個定理，那麼你需要從一些不言而喻的陳述中將它推導出來。兩千年來，歐幾里得的系統性方法似乎證明了有關幾何物體的各種真理，從而達到了確定性。

歐幾里得式嚴謹

很多後來重要的思想家相信，只要用和幾何學相同的方法，其他學科也可以獲得和幾何學一樣的確定性。比如勒內.笛卡爾說，如果我們從不言而喻的事實（又稱公理）開始並通過符合邏輯的手段從這些已知事實中推導出更加複雜的多的事實的話，那麼就沒有什麼東西是我們不知道的。哲學家巴魯赫.斯賓諾莎甚至寫出《依幾何次序所證倫理學（簡稱倫理學）》（Ethics Demonstrated in Geometrical Order）一書，這本書中有明確的公理和定義。他宣稱要證明上帝的存在並像數學家一樣用QED三個字母結束自己的證明。

在自然科學中，艾薩克.牛頓的著作《自然哲學的數學原理》充分展示了歐幾里得的影響。牛頓將他的著名的運動定律稱為“公理”並推導出他的萬有引力定律。牛頓有句名言，“幾何學的偉大之處在於，它能用如此少的原理推導出那麼多的內容。”

這裡還有一個歐幾里得影響之深遠的例子。《美國獨立宣言》旨在通過歐幾里得式的形式激發人們對其確定性的信心。托馬斯·傑斐遜比其他任何一位美國總統都更瞭解他那個時代的數學知識，他一開始就說“我們認為這些真理是不言而喻的：人人生而平等。”宣言中還有其他不言而喻的真理，他用了“證明”這個詞，並闡述了建立美國的實際宣言。這些通過邏輯導出的結論以“因此”開頭：“因此，我們……宣佈這些聯合殖民地是，而且應該是自由和獨立的國家。”

所以在哲學，技術，科學和政治學中，理想化的歐幾里得推理模型塑造了關於證明，真理和確定性的概念。

歐幾里得公設

歐幾里得前四條公設：

1、任意兩個點可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4、所有直角都全等

在調查歐幾里得幾何學的影響之前，讓我們先看一眼這些幾何學賴以建立的假設，或者說公設。頭四條公設寫在上面的表格中。這些公設都非常簡單，沒有人會懷疑它們。但是還有第五條公設，叫做平行公設。

如果落在兩條直線上的直線使得同一側的內角加起來小於兩個直角之和，那麼兩條直線（如果無限延長）會在這一側相交。

看不懂？請看下圖：

這條公設是說，如果角A和B加起來小於180度，那麼綠色的兩條直線將在黑線的右側相交。

我有時會讓我的學生投票這條公設是不是不證自明的，大部分同學認為不是——

因為你需要畫張圖才能把它講清楚。但如果它不是顯然的，它就不應被直接拿來用，而是應該從其他的公設中將它證明出來。希臘人嘗試證明它但是他們失敗了。伊斯蘭數學家和猶太數學家包括17,18世紀的歐洲數學家也都失敗了。

不過，希臘人證明了第五公設等價於平行線的唯一性：給定一條直線L和線外一點P,那麼在L所屬的平面內通過P點且與L平行的直線只有一條。

歐幾里得和物理

歐幾里得從來沒有談論過他的幾何圖形所處的空間，但他好像假定了這個空間無窮大、各個方向是等價的，並且還假定空間中每一點都是等價的。

後來的思想家，尤其是文藝復興時期的思想家，討論了很多關於空間的話題。他們同意之前的假設。

空間應該是什麼樣子要遵循充足理由原則，這乍一看非常合理：

對於一切事物，都有一個原因，使它必須是這樣而不是其他樣子。

這條原則至少和阿基裡德本人一樣老，它使我們可以解釋我們周圍的世界。例如：我們為什麼可以說距離支點同樣遠的兩個同樣重的物體可以保持平衡？好吧，為什麼不呢？因為沒有任何理由使得其中一邊下沉，對另一邊來說也是，因此它們一定會保持平衡。

在距離支點相等距離處重量相等的重物使槓桿必須保持平衡。

充分理由原則最偉大的支持者是17世紀大數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨，他堅信上帝也會使用這個原則，並根據邏輯定律，來構造整個宇宙。既然上帝依據邏輯創造了世界，我們人類就可以理解它。

其中一個著名例子是牛頓第一運動定律的發現，它是在牛頓50年前由笛卡爾和皮埃爾·加森迪獨立發現的。這條定律是說，一個沒有受力的物體以恆定的速度沿直線運動。為什麼？他們是這樣想的：物體沿著直線持續運動，因為它沒有理由向其他方向轉，畢竟所有的方向都是一樣的。它以恆定的速度運行，因為它沒有理由加速或減速：空間中的所有點都是相同的，物體沒有理由喜歡某一點而不是另一個點。類似的論述可以證明一個靜止的物體在不受力時一動不動。

充分理由原則威力強大，它好像暗示我們居住的空間和歐幾里得幾何學的空間一樣。這並不奇怪，17、18世紀的思想都是歐幾里得式的。例如，牛頓物理學暗中依賴於歐幾里得第五假設。你在學校應該都遇到過力的平行四邊形定則。想要證明平行四邊形的性質需要用到歐幾里得幾何學，也就是第五假設。

這也是為什麼18世紀的數學家這麼想證明第五假設。因為它非常重要。不光幾何學，科學的各個方面都需要它。一個有趣的例子來自於約瑟夫.拉格朗日：充分理由原則給他留下了深刻的影響，所以他想用這個原則證明第五假設。雖然他的論點是有缺陷的，但是我們可以看到一個重要的事實：如此重要的數學家願意走到臺前，把歐幾里得空間與充分理由原則聯繫起來。

歐幾里得和哲學

哲學同樣被歐幾里得的思想滲透。一個很有影響力的哲學家伊曼努爾.康德說，空間是存在於我們思想中的事物，在我們的思想中的空間都是完全一樣的。對於康德來說，這些空間一定是歐幾里得式的。

為了證明我們可以理解抽象事物的事實，康德利用了歐幾里得的證明：三角形的內角和等於兩個直角之和。這個證明中使用了幾何結構。我們從哪裡得到的這些結構？不是從紙上——幾何學並不涉及真實存在的三角形或者直線。“你在你頭腦的空間中創造了他們。”康德說。

歐幾里得的證明需要第五條假設。因此，關於三角形內角和的定理在歐幾里得空間中才成立。康德並沒有明確這麼說，但是他說只有一種空間。對於康德來說，除了歐氏空間沒有其他選擇了。

伏爾泰是把歐幾里得空間視作真理的另一位哲學家。他認同18世紀普遍存在的觀點，即普遍達到共識是真理的標誌。他說：“幾何學上沒有宗派。沒有人會說“我是歐幾里得人，我是阿基米德人。”只要你能證明真理，整個世界都會支持你的觀點。“對伏爾泰來說，數學是一個例子，道德也應該如此！他寫道：“只有一種道德，就像只有一種幾何學一樣。”

建築與藝術作品中的歐幾里得

近代的藝術作品和建築同樣反映了歐幾里得關於空間的觀點。這是文藝復興時期第一幅重要的透視畫：