程序員必知的十大基礎實用算法之-Dijkstra算法

算法程序員咱小二 2019-07-06

迪傑斯特拉算法( Dijkstra算法)

迪傑斯特拉算法(Dijkstra)是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉於1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其餘各頂點的最短路徑算法，解決的是有權圖中最短路徑問題。迪傑斯特拉算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。

大概就是這樣一個有權圖，Dijkstra算法可以計算任意節點到其他節點的最短路徑

算法思路

指定一個節點，例如我們要計算 'A' 到其他節點的最短路徑
引入兩個集合（S、U），S集合包含已求出的最短路徑的點（以及相應的最短長度），U集合包含未求出最短路徑的點（以及A到該點的路徑，注意如上圖所示，A->C由於沒有直接相連初始時為∞）
初始化兩個集合，S集合初始時只有當前要計算的節點，A->A = 0，U集合初始時為 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞
從U集合中找出路徑最短的點，加入S集合，例如 A->D = 2
更新U集合路徑，if ( 'D 到 B,C,E 的距離' + 'AD 距離' < 'A 到 B,C,E 的距離' ) 則更新U
循環執行 4、5 兩步驟，直至遍歷結束，得到A 到其他節點的最短路徑

Dijkstra算法採用的是一種貪心的策略，聲明一個數組dis來保存源點到各個頂點的最短距離和一個保存已經找到了最短路徑的頂點的集合：T，初始時，原點 s 的路徑權重被賦為 0 （dis[s] = 0）。若對於頂點 s 存在能直接到達的邊（s,m），則把dis[m]設為w（s, m）,同時把所有其他（s不能直接到達的）頂點的路徑長度設為無窮大。初始時，集合T只有頂點s

然後，從dis數組選擇最小值，則該值就是源點s到該值對應的頂點的最短路徑，並且把該點加入到T中，此時完成一個頂點，然後，我們需要看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比源點直接到達短，如果是，那麼就替換這些頂點在dis中的值。然後，又從dis中找出最小值，重複上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點。

算法圖解

1.選定A節點並初始化，如上述步驟3所示

2.執行上述 4、5兩步驟，找出U集合中路徑最短的節點D 加入S集合，並根據條件 if ( 'D 到 B,C,E 的距離' + 'AD 距離' < 'A 到 B,C,E 的距離' ) 來更新U集合

3.這時候 A->B, A->C 都為3，沒關係。其實這時候他倆都是最短距離，如果從算法邏輯來講的話，會先取到B點。而這個時候 if 條件變成了 if ( 'B 到 C,E 的距離' + 'AB 距離' < 'A 到 C,E 的距離' ) ，如圖所示這時候A->B距離其實為 A->D->B

4.思路就是這樣，往後就是大同小異了

5.結束

代碼實現

偽代碼

清除所有點的標號;
 
 設d[0]=0，其他d[i]=INF;//INF是一個很大的值，用來替代正無窮
 
 循環n次 { 
 
 在所有未標號結點中，選出d值最小的結點x;
 
 給結點x標記;
 
 對於從x出發的所有邊(x,y)，更新d[y] = min{d[y], d[x]+w(x,y)
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stack>
using namespace std;
#define MAX 100
#define INF 0x3f3f3f3f
int dist[MAX], path[MAX];
struct MGraph
{
 int edges[MAX][MAX];//鄰接矩陣，記錄的是兩點之間的距離，也就是權值 
 int n,e;//頂點數和邊數
}G;
void init() {
 memset(G.edges, INF, sizeof(G.edges));//默認為INF
}
void insert(int u, int v, int w) {
 G.edges[u][v] = w;//
}
void printfPath(int path[], int a){
 stack<int> s;
 //這個循環以由葉子結點到根結點的順序將其入棧
 while(path[a] != -1){
 s.push(a);
 a = path[a];
 } 
 s.push(a);
 while(!s.empty()){
 cout << s.top() << " ";//打印棧頂元素，實現了頂點的逆序打印
 s.pop(); 
 }
 cout << endl;
} 
void Dijkstra(MGraph g, int v, int dist[], int path[]){ //頂點默認從0到n 
 int set[MAX], min, i, j, u;
 //對各個數組進行初始化
 for(i = 0; i < g.n; i++){
 dist[i] = g.edges[v][i];
 set[i] = 0;
 if(g.edges[v][i] < INF){
 path[i] = v;
 }else{
 path[i] = -1;
 }
 } 
 set[v] = 1; 
 path[v] = -1;
 //初始化結束，關鍵操作開始
 for(i = 0; i < g.n - 1; i++)
 {
 min = INF;//找到的點 目前最小 
 //這個循環每次從剩餘頂點中選出一個頂點，通往這個頂點的路徑在通往所有剩餘頂點的路徑中是長度最短的
 for(j = 0; j < g.n; j++){
 if(set[j] == 0 && dist[j] < min){
 u = j;
 min = dist[j];
 }
 } 
 set[u] = 1;//將選出的頂點併入最短路徑中
 //這個循環以剛併入的頂點作為中間點，對所有通往剩餘頂點的路徑進行檢測
 for(j = 0; j < g.n; j++) {
 //這個if判斷頂點u的加入是否會出現通往頂點j的更短的路徑，如果出現，則改變原來路徑及其長度，否則什麼都不做
 if(set[j] == 0 && dist[u] + g.edges[u][j] < dist[j]){
 dist[j] = dist[u] + g.edges[u][j];//更新路徑長度 
 path[j] = u;//更新路徑頂點 
 } 
 } 
 } 
}
int main() {
 init();
 int n, m;//n個點，m條邊
 int a, x, y, w;
 cin >> m >> n;
 G.e = m;
 G.n = n;
 for(int i = 0; i < m; i++){
 cin >> x >> y >> w;
 insert(x, y, w);
 }
 Dijkstra(G, 0, dist, path);
 printfPath(path, 5);
 for(int i = 0; i < n; i++) {
 cout << dist[i] << " ";
 } 
 return 0;
}

public class Dijkstra {
 public static final int M = 10000; // 代表正無窮
 
 public static void main(String[] args) {
 // 二維數組每一行分別是 A、B、C、D、E 各點到其餘點的距離, 
 // A -> A 距離為0, 常量M 為正無窮
 int[][] weight1 = {
 {0,4,M,2,M}, 
 {4,0,4,1,M}, 
 {M,4,0,1,3}, 
 {2,1,1,0,7}, 
 {M,M,3,7,0} 
 };
 int start = 0;
 
 int[] shortPath = dijkstra(weight1, start);
 for (int i = 0; i < shortPath.length; i++)
 System.out.println("從" + start + "出發到" + i + "的最短距離為：" + shortPath[i]);
 }
 public static int[] dijkstra(int[][] weight, int start) {
 // 接受一個有向圖的權重矩陣，和一個起點編號start（從0編號，頂點存在數組中）
 // 返回一個int[] 數組，表示從start到它的最短路徑長度
 int n = weight.length; // 頂點個數
 int[] shortPath = new int[n]; // 保存start到其他各點的最短路徑
 String[] path = new String[n]; // 保存start到其他各點最短路徑的字符串表示
 for (int i = 0; i < n; i++)
 path[i] = new String(start + "-->" + i);
 int[] visited = new int[n]; // 標記當前該頂點的最短路徑是否已經求出,1表示已求出
 // 初始化，第一個頂點已經求出
 shortPath[start] = 0;
 visited[start] = 1;
 for (int count = 1; count < n; count++) { // 要加入n-1個頂點
 int k = -1; // 選出一個距離初始頂點start最近的未標記頂點
 int dmin = Integer.MAX_VALUE;
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 if (visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) {
 dmin = weight[start][i];
 k = i;
 }
 }
 // 將新選出的頂點標記為已求出最短路徑，且到start的最短路徑就是dmin
 shortPath[k] = dmin;
 visited[k] = 1;
 // 以k為中間點，修正從start到未訪問各點的距離
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 //如果 '起始點到當前點距離' + '當前點到某點距離' < '起始點到某點距離', 則更新
 if (visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]) {
 weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
 path[i] = path[k] + "-->" + i;
 }
 }
 }
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 
 System.out.println("從" + start + "出發到" + i + "的最短路徑為：" + path[i]);
 }
 System.out.println("=====================================");
 return shortPath;
 }
 
}

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max1 10000000 //原詞條這裡的值太大，導致溢出，後面比較大小時會出錯
int a[1000][1000];
int d[1000];//d表示源節點到該節點的最小距離
int p[1000];//p標記訪問過的節點
int i, j, k;
int m;//m代表邊數
int n;//n代表點數
int main()
{
 scanf("%d%d",&n,&m);
 int min1;
 int x,y,z;
 for(i=1;i<=m;i++)
 {
 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
 a[x][y]=z;
 a[y][x]=z;
 }
 for( i=1; i<=n; i++)
 d[i]=max1;
 d[1]=0;
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
 min1 = max1;
 //下面這個for循環的功能類似冒泡排序，目的是找到未訪問節點中d[j]值最小的那個節點，
 //作為下一個訪問節點，用k標記
 for(j=1;j<=n;j++)
 if(!p[j]&&d[j]<min1)
 {
 min1=d[j];
 k=j;
 }
 //p[k]=d[k]; // 這是原來的代碼，用下一 條代碼替代。初始時，執行到這裡k=1，而d[1]=0
 //從而p[1]等於0，這樣的話，上面的循環在之後的每次執行之後，k還是等於1。
 p[k] = 1; //置1表示第k個節點已經訪問過了
 for(j=1;j<=n;j++)
 if(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
 d[j]=d[k]+a[k][j];
 }
 //最終輸出從源節點到其他每個節點的最小距離
 for(i=1;i<n;i++)
 printf("%d->",d[i]);
 printf("%d\n",d[n]); 
 return 0;
}

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迪傑斯特拉算法( Dijkstra算法)

算法思路

算法圖解

代碼實現

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