19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。可是卻粉碎了希爾伯特的夢想。並且直接為數學界想要就“數學是什麼”這一基礎型問題得出答案的宏偉目標劃上了一把叉！
哥德爾定理的重要意義在於向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質區別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個不可判定命題作為公理加入，又將出現新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數學真理之間將始終隔著無窮遠的距離！
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。可是卻粉碎了希爾伯特的夢想。並且直接為數學界想要就“數學是什麼”這一基礎型問題得出答案的宏偉目標劃上了一把叉！
哥德爾定理的重要意義在於向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質區別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個不可判定命題作為公理加入，又將出現新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數學真理之間將始終隔著無窮遠的距離！
哥德爾愛因斯坦
他說：“數學不僅是不完全的，還是不可完全的”。大概意思就是說你越想要知道“數學是什麼”，就越難得到這個答案，追求絕對可靠的數學基礎就是一場幻想。（不少人則因為哥德爾不完全性定理轉投了直覺主義）
這和哥本哈根學派的測不準定理到有些相似，本哈根學派認為微觀世界物質具有概率波等存在不確定性，不過其依然具有穩定的客觀規律，不以人的意志為轉移，所以人類並不能獲得實在世界的確定的結果。
雖然他們的主張被宣告破產，卻直接影響了未來數學的發展方向，邏輯主義發展出來的邏輯被稱為“數理邏輯”，開創了邏輯學史上繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之後的第三個高峰，對現代數學、哲學、語言學和計算機科學的發展均產生了極為深遠的影響。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。可是卻粉碎了希爾伯特的夢想。並且直接為數學界想要就“數學是什麼”這一基礎型問題得出答案的宏偉目標劃上了一把叉！
哥德爾定理的重要意義在於向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質區別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個不可判定命題作為公理加入，又將出現新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數學真理之間將始終隔著無窮遠的距離！
哥德爾愛因斯坦
他說：“數學不僅是不完全的，還是不可完全的”。大概意思就是說你越想要知道“數學是什麼”，就越難得到這個答案，追求絕對可靠的數學基礎就是一場幻想。（不少人則因為哥德爾不完全性定理轉投了直覺主義）
這和哥本哈根學派的測不準定理到有些相似，本哈根學派認為微觀世界物質具有概率波等存在不確定性，不過其依然具有穩定的客觀規律，不以人的意志為轉移，所以人類並不能獲得實在世界的確定的結果。
雖然他們的主張被宣告破產，卻直接影響了未來數學的發展方向，邏輯主義發展出來的邏輯被稱為“數理邏輯”，開創了邏輯學史上繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之後的第三個高峰，對現代數學、哲學、語言學和計算機科學的發展均產生了極為深遠的影響。
而直覺主義讓構造性數學成為與現代計算機科學密切相關的重要學科，希爾伯特從公理系統的邏輯結構研究出發,建立了近代公理化思想體系,創立的證明論卻開闢了一個數理邏輯的新領域。
數學就是一場場論爭中不斷完善發展，從而推動整個社會的進步發展，促進人類文明走向更高的層次。
19世紀末20世紀初，隨著實數理論體系的完善，代數從幾何中完全脫離，眾多數學家都認為數學的大廈已經建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。
可惜，這個時候羅素髮現了集合論中的漏洞，他派出的理髮師差點掀翻了整個數學大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數學史赫赫有名的“一個理髮師衝進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理髮師請出去”事件。
羅素的理髮師悖論使得數學的理論基礎發生動搖，集合論中為什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,由此觸發了“數學是什麼”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發了羅素和數學界領袖希爾伯特的battle，希爾伯特領導的哥廷根學派是世界數學的中心，那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數學家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當時著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學方面，是分析哲學的主要創始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰整整貫穿了20世紀上半個世紀，20世紀初真的是科學大繁榮、大爆炸的時期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學派之爭，而數學界則有羅素與哥廷根學派之爭。
羅素在德國數學家弗雷格“分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質”的基礎上主張“數學即邏輯”，在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
羅素在與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。
但是希爾伯特不認同這樣的觀點，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
希爾伯特認為“數學即形式”，皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,而希爾伯特則進一步發展了這樣的觀念，他認為所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數學都可以看成基於它的公理的一個演繹系統，它們是根本不會產生邏輯矛盾的，亦即是協調的。數學的可靠性就在於它的協調性。從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統
希爾伯特受到“非構造性證明”和“排中律”的啟發，根據1900年自己關於證明算術公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內容的公理系統變成沒有內容的形式系統，然後應用有窮方法直接研究形式系統的相容性，從而保證它的模型—原先的數學理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計劃。
“非構造性證明”：一個教室裡有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計劃就是指建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特計劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數學理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達，因而不能成為確定的研究對象；無後者則難以保證所用工具不超過系統TF內所有的工具，無法避免循環論證。
簡單來說，“希爾伯特計劃”有點類似於程序員編碼時使用的編程語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
那麼到時候無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，“真相大白”只是時間問題而已。
之所以會這樣做是因為希爾伯特是純數學的捍衛者，他是要在有窮主義中保存實無限觀點下的古典數學，而把全部數學劃分為具有真實意義的“真實數學”和不具有真實意義的“理想數學”，並希望通過有窮主義的構造性方法去證明理想數學的相容性，以使實無限性的理想成分在應用上的有效性與上述有窮主義立場獲致統一。
希爾伯特和羅素鬥地正歡，有些吃瓜數學家覺得兩者都講的不對，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾後來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的......它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
1917年至1920年，他提出並進一步發展了直覺主義，認為直覺主義,或者新直覺主義 (對應於前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
這一下整個數學界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰的狀態，誰都不服誰，比如面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了後期，羅素反而有點像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特鬥地那是一個轟轟烈烈，雙方論戰數次，然而因為布勞威爾的性格問題，直接得罪了《數學年鑑》主編之首克萊因，導致後來希爾伯特接手《數學年鑑》，兩個人之間的論爭從數學也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一隻無知的羔羊甩入了數學的“狼群”......因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭論並沒有和愛因斯坦和哥本哈根學派之間的論戰一樣，至今沒有結論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場持續30年的論戰。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之後，他對希爾伯特計劃表示了質疑，哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。可是卻粉碎了希爾伯特的夢想。並且直接為數學界想要就“數學是什麼”這一基礎型問題得出答案的宏偉目標劃上了一把叉！
哥德爾定理的重要意義在於向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質區別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個不可判定命題作為公理加入，又將出現新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數學真理之間將始終隔著無窮遠的距離！
哥德爾愛因斯坦
他說：“數學不僅是不完全的，還是不可完全的”。大概意思就是說你越想要知道“數學是什麼”，就越難得到這個答案，追求絕對可靠的數學基礎就是一場幻想。（不少人則因為哥德爾不完全性定理轉投了直覺主義）
這和哥本哈根學派的測不準定理到有些相似，本哈根學派認為微觀世界物質具有概率波等存在不確定性，不過其依然具有穩定的客觀規律，不以人的意志為轉移，所以人類並不能獲得實在世界的確定的結果。
雖然他們的主張被宣告破產，卻直接影響了未來數學的發展方向，邏輯主義發展出來的邏輯被稱為“數理邏輯”，開創了邏輯學史上繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之後的第三個高峰，對現代數學、哲學、語言學和計算機科學的發展均產生了極為深遠的影響。
而直覺主義讓構造性數學成為與現代計算機科學密切相關的重要學科，希爾伯特從公理系統的邏輯結構研究出發,建立了近代公理化思想體系,創立的證明論卻開闢了一個數理邏輯的新領域。
數學就是一場場論爭中不斷完善發展，從而推動整個社會的進步發展，促進人類文明走向更高的層次。
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