無理數的發現，與不可公度線段有關，與面積計算有關，也與方程求解有關。雖然人們很早就發現了無理數，但是，在很長的一段時期內，人們無法對無理數作出一個合理的解釋，也很難給出清晰的符號表達。事實上，實數理論的確立比微積分的出現還要晚。
人們總是習慣於從已有的概念出發，藉助已有的概念來刻畫新的事物，但是卻遇到了“無理數”這樣的難題。雖然人們很早就發現了無理數的存在，但是不能給出一個合理的解釋，也很難給出清晰的符號表達，於是稱這樣的數為無理數，是一種沒有道理的數。在這裡，我們先來討論人們是怎樣發現無理數的，從中感悟無理數的本質特徵。
一．邊長與對角線的不可公度
畢達哥拉斯學派發現邊長為1的正方形的對角線與邊長是不可公度的，即不能表示為整數之間的比例關係，這個發現基於一個表述直角三角形三個邊長之間關係的定理。在中國，這個定理被稱為勾股定理，在西方，這個定理被稱為畢達哥拉斯定理。這個定理的一般表述為：令一個直角三角形的兩個直角邊和一個斜邊的邊長分別為a,b和c，則有
a2+b2=c2
由定理可知，如果兩個直角邊長分別為a=1和b =1，則斜邊長c=√2，但是√2不能表示為兩個整數之比的形式。
假設√2能夠表示為兩個整數比的形式，即√2=a/b，其中a和b為整數且沒有公因數。則a2=2b2，於是a2為偶數，因為只有偶數的平方才能為偶數（任何一個奇數可以表示為2n+1，由（2n+1）2=4n2+4n+1知，奇數的平方必為奇數），所有a為偶數。因為a和b沒有公因數，a為偶數則b必為奇數。因為a為偶數，可設a=2c，其中 c為整數。則a2=4c2，於是有4c2=2b2即2c2=b2,則b2為偶數且b為偶數。b不可能又是奇數又是偶數，因此，假設不成立，也就是√2不能表示為兩個整數比的形式。
因為古希臘人認為可以用整數或者整數的比來度量一切事物，√2是有有悖於這個理念的，因此是不可理解的，於是，古希臘的大部分學者放棄了對算術的研究而熱衷於研究幾何。
二．圓周率
人們很早就知道圓的周長為2πr，面積為πr2，其中r是圓的半徑，π為圓周率。但是，計算π是非常困難的，人們希望用一個可公度數來近似得到π。因為尼羅河的泛濫，為了調整氾濫後的土地，古埃及人掌握了土地面積測量與計算的技術，他們對於圓面積給出了很好的近似，《萊茵德紙草書》
第50題說，直徑為9的圓形土地的面積等於邊長為8的正方形土地的面積。如果用面積公式：82≈π*（9/2）2，可以得到π約等於16/9的平方，即256/81=3.1605，這是在公元前1700年左右得到的結果。當然，僅就這一點，我們還很難確定，當時的古埃及人是否已經建立了關於圓周率的概念。對於π的近似計算，古希臘物理學家，數學家阿基米德得到在22/7與223/71之間，祖沖之得到在22/7與355/113之間，其中22/7是計算圓內接正96邊形的周長得到的，355/113被稱為密律，也稱祖律。
三．面積與無理數
我們常用的求三角形面積的公式需要知道三角形的一個高，但是古希臘數學家海倫在他的《度量》一書中給出了一個只依賴於邊長的公式：對於任意三角形，令三個邊長分別為a,b和c,令s為三角形周長的一半，即s=(a+b+c)/2，則三角形的面積為√s(s-a)(s-b)(s-c)。顯然，這個數經常為無理數。
四．方程與無理數
古希臘代數的頂峰是在丟番圖時代，他的重要貢獻之一就是在代數中引入了符號，甚至給出了相當現在的1/x和x的3次以上冪的形式，在當時這是極度抽象的符號，因為古代人認為2次冪是平方，3次冪是立方，都是有具體的幾何背景的，3次以上冪無具體的幾何背景因而是無意義的。丟番圖知道一元二次方程式有兩個根，但不知道如何處理這兩個根，於是，兩個根均為有理數時，他取較大的哪一個；根為無理數或者虛數時，他則認為這個方程是不可解的。這樣，畢達哥拉斯學派的發現在這裡就是一個特例了，因為√2是方程x2-2=0的一個根。
丟番圖最感興趣的問題是：方程的根是否是正整數。他把許多重要的結果寫在他的著作《算術》中，現在，人們稱求方程整數解的問題為丟番圖問題。但是，丟番圖絕對不會想到的是，他的《算術》一書引發了一個著名的猜想，這就是費馬大定理。費馬大定理與勾股定理關係密切，在勾股定理a2+b2=c2中，a,b和c這三個數有可能同時是整數，比如a=3,b=4和c=5。但是，費馬猜想，平方的情況是特殊的，對於一般的等式an+bn=cn，當n≧3時將不存在使a,b和c同時為整數的解。費馬把這個問題寫在《算術》這本書問題8的頁邊：
“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個4次冪寫出兩個4次冪之和；或者，總地來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪之和”
問題是簡潔的，證明卻是困難的。經歷了3個世紀，經過幾代數學家的努力，這個問題於1993年被在普林斯頓任教的英國數學家懷爾斯解決，長達130頁的論文發表於1995年。