第20 章 反常積分：基本概念(Improper Integrals: Basic Concepts)

反常積分是普通定積分的推廣，指含有無窮上限/下限，或者被積函數含有瑕點的積分, 本章的內容:

• 反常積分、收斂和發散的定義;

• 關於沒有邊界區域的反常積分;

• 關於比較判別法、極限比較判別法、p 判別法和絕對收斂判別法的理論基礎.

20.1 收斂和發散(Convergence and Divergence)

如果積分函數 f 不是有界的: 當 x 在區間 [a,b] 內, 函數 f 在區間有一條垂直漸近線的時候, 函數會在漸近線附近變得很大, 且沒有界限, 這就使該積分成了反常積分(improper).

積分區間如果是無界的, 如 [0,∞) 或 (-∞,∞), 也使這個積分為反常積分.

先來看第一種情況的圖形:

為了研究什麼情況下一塊無限區域的面積會是有限的, 我們需要使用極限. 觀察下面動圖:

數 ε 越小, 我們對這塊無限區域的估算就越接近於真實值, 也就是當在 x=a 處有破裂點有:

如果能找到這樣的極限, 我們就說這個積分收斂; 否則認為該積分發散.

在實際中, 如果你知道積分是收斂的, 可以通過算法求得收斂值. 如果積分是發散的, 就要小心處理了.

20.1.1 反常積分的一些例子

考慮下面兩個反常積分, 被積函數非常相似, 在 x=0 點都有垂直漸近線, 但一個是發散而另一個是收斂的, 現在觀察圖形.

1/√x 的圖像足夠接近於 y 軸, 所以它所對應的積分是收斂的; 而 1/x 沒有那麼接近於 y 軸, 所以它對應的積分是發散的. 但是對於所有 x=0 點有漸近線的函數, 很難區分, 需要分別對待每個積分.

一個反常積分在有界區間的收斂和發散是由接近破裂點的走勢決定的, 所以下面幾個積分都是發散的.

20.1.2 其他破裂點

如果函數 f 在區間 [a,b] 內有破裂點 c, 需要把這個積分分成兩部分 [a,c] 和 [c,d], 並且只有當這兩部分積分都收斂時候, 對 f 的積分才是收斂的. 如果任何一個發散, 那麼整個積分都是發散的.

為計算反常積分, 如果必要就把它分解. 每一部分最多隻能有一個瑕點(problem spot), 而且該點要在積分的上下限上.

下面反常積分在積分區間的瑕點是 x=0,1,2 , 就需要在這些瑕點之間選擇一些數如 1/2和 3/2, 把原始的積分分成下面 5 個積分:

現在 5 個積分的瑕點都不超過一個, 可以分別進行分析. 但這5 個積分沒有一個是收斂的!

20.2 關於無窮區間上的積分(Integrals over Unbounded Regions)

現在看當積分上下限有一個或同是無窮時的情況; 也就是說, 積分區間是無界的(unbounded). 用符號表示:

20.3 比較判別法(理論)The Comparison Test

20.4 極限比較判別法(理論)The Limit Comparison Test

極限比較判別法需要兩個近似的函數, 如兩個函數在 x=a 是非常接近, 那麼它們收斂或發散的行為是相同的.

20.4.1 函數互為漸近線

實際上, 可以對漸近等價函數做相乘, 相除, 冪運算或變量替換都是適用的. 但加減關係並不適用!

20.4.2 關於判別法的陳述

如果積分函數 f(x), 它的瑕點僅僅在 a 點, 那麼反常積分收斂還是發散, 如果能找到一個漸進函數 g(x) 進行判別, 即 g 的結論也適用於 f 函數. 比如下面例子:

20.5 p 判別法(理論)

上面兩種判別法基本策略都是選擇一個能與函數 f 相比較的函數 g, 並且 g 相比 f 會更容易判別收斂性. 最常用的 g 函數是 x−px−p , 其中 p>0.

事實上只要記住 1x21x2 和 1√x1x 就能理解掌握上面的情況:

20.6 絕對收斂判別法

(完)

「予人玫瑰, 手留餘香」

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