出品：科普中國
製作：黃守明
監製：中國科學院計算機網絡信息中心
無窮有多大
假如有人認真地問你，無窮有多大？你可能會驚異地打量著對方。當你面對一個小孩，你可以親切地撫摸他的額頭，並和顏悅色地告訴他：無窮啊，就是永遠也數不過來、想要多大就有多大的大。而如果對方是個成年人，你可能會暗自心驚，擔心對方精神出了異常，故作輕鬆地回答："我也不知道啊"。
假如有人義正言辭地告訴你，他不僅知道無窮有多大，而且還可以比較不同無窮之間的大小。即使在21世紀的今天，你可能很快也會嘆息：哎，又瘋了一個。
我們的主人公，德國數學家，格奧力格.康託（Georg Cantor），就是那個能讓後世知道無窮有多大，還能確立它們彼此大小的"瘋子"。他天才般的想法超越了人類歷史上所有人對無窮的想象，更是破除了人們幾千年來對無窮的恐懼。在漫長的歲月裡，康託以身涉險，獨自步入了曾經只屬於神的領地，最終留下一部關於人類探索無窮世界的傳奇。
康託（1845-1918）（圖片來源：百度圖片）
那是一片從未被開墾過的世外桃源，也是一個被神從史前就封印了的潘多拉的魔盒。打開盒子的那一刻，就註定了前方是一條悲情的道路。作為開拓人類思維疆土的勇士，康託孤獨地走在佈滿荊棘的旅途上。沒有同行者，只有堅定的信念在支撐著他疲憊的身軀。前方的道路還籠罩在茫茫的迷霧之中，觀望的人群卻在身後詛咒他離經叛祖的觀念，甚至不惜以世俗的力量去壓迫和攻擊他。
康託的精神世界是落寞的，旁人的眼光是冷漠的。他在19世紀末創立的集合論和超窮數論不僅沒有給他帶來巨大的顯赫名聲，反而讓他陷入了同時代數學大家們的譏諷和圍攻之中。堅強的康託終於倒下了，他一度懷疑自己的研究是否還有意義。1918年，曾經在心靈上飽受重創的康託在德國一家精神病院終止了人生的征途。
時光荏苒，距離康託逝世已經過去整整一百年，人們也已經沿著康託開闢的小徑走得非常深遠。康拖留下的樂土，將眾多數學家置身於一片生機勃勃的伊甸園之中。經過兩千多年的發展，數學已經被建構成一座金碧輝煌的大廈，而康託的工作是為這座大廈奠定了堅固的基石。他開創的集合論幾乎成了當代數學所有領域的砥柱。
更讓人意想不到的是，康託在研究無窮集合時創立的"一一對應"的方法，經過奧地利數學家哥德爾在證明不完備定理時的進一步發展，終於使得英國數學家圖靈受到啟發，在20世紀早期發明了圖靈機。而圖靈機的誕生則為整個20世紀的人類文明指定了方向，並最終帶領人們邁入21世紀的信息時代。
就這樣，一顆把一生奉獻給真理的頭腦，一個被時代所禁錮的天才，以遠遠超越當世人所能理解的最大膽的想法，深刻地影響了人類的歷史進程。他的名字，註定在人類的功勳史冊上熠熠生輝。
康託：無窮世界的奠基人
年輕時的康託（圖片來源：https://www.cc362.com/）
19世紀是自然科學的淘金時代，距離牛頓寫出《自然哲學的數學原理》已經過去了一個多世紀。牛頓給蒙塵已久的自然界帶來第一縷陽光，從此大自然在科學工具的光芒下逐漸退卻神祕的面紗。對科學的追求很快讓人們嚐到了甜頭，科學研究成果在短時間內即被轉化為生產力和財富，並搭乘工業革命的列車播撒出去，從而大大提升了人們的生活和教育水平。整個社會大量積累的財富又反哺科學的研究，日益完善的大學制度也逐漸將研究科學的任務和使命規範化。有了硬件和軟件環境的支持，人類歷史上許多傑出的科學大家，都陸續在19世紀的天空下嶄露頭角。康託，也搭上了歷史的幸運列車。
1845年3月3日，格奧力格.康託（Georg Cantor）出生於俄羅斯聖彼得堡。他的父親是丹麥的富商，母親則是一位藝術家。康託是父母的第一個孩子，他還有六位弟弟妹妹，良好的家庭環境讓他們都受到了很好的教育薰陶。康託先是從一位私人教師那裡接受了啟蒙教育，隨後在聖彼得堡的小學就讀。
1856年，康託的父親因為患病舉家遷往德國的法蘭克福，從此康託的一生就和德國這片土地緊密地聯繫在了一起。來到德國後，康託進入了當地的私立中學接受教育。康託熱愛學習，且在數學方面尤為突出。從中學時，康託就流露出想成為數學家的心願，然而父親卻希望他能學習工程。在父親的眼中，和數學相比，工程是一份更加有前途的職業。康託15歲時，父親在一封寫給他的熱情洋溢的信中表達了自己的願望："你的父親，或者說，你的父母以及在俄國、德國、丹麥的其他家人都在注視著你，希望你將來能成為工程學天空下的一顆閃閃發亮的明星"。
康託的母親具有極高的藝術天性，他和弟妹六人不同程度地繼承了母親的特質，但也正是這種藝術才華塑就了康託不穩定的性格因素。他敏感的頭腦因為父親對他的期盼而開始偏離自己的初衷，並逐漸在取悅父親的過程中播下了自我懷疑的種子。他的順從使得他沒能成為一個獨立的人，更讓他不敢輕易地去反對權威。這一切極有可能埋下了康託悲劇的伏筆，他即將在未來的某個時刻，在面臨競爭對手的詰難時選擇逃避，甚至質疑自己工作的價值。
頑固的父親最終選擇了尊重康託的意願。在康託17歲從中學畢業的時候，父親同意康託在大學裡繼續深造數學。1862年，康託如願進入了蘇黎世大學，次年隨著父親去世，他又轉入柏林大學。在柏林大學，他得到了德國當時最傑出的幾位數學大家威爾斯特拉斯（Weirstrass）、庫默爾（Kummer）、克羅內克（Kronecker）等等的教導。受到他們的影響，康託選擇了純粹數學中的數論作為研究方向。
康託接受高等教育的柏林大學（圖片來源：光明圖片）
不久後，22歲的康託拿到了柏林大學的博士學位。兩年後，他在哈雷大學擔任助教，開始研究數論、不定方程和三角級數。從此，康託即將在他注入心血的領域大展拳腳。也許他自己也無法意識到，他即將在數學界掀起多麼驚人的滔天巨浪，並因此改變整個數學的面貌。
（本文中標明來源的圖片均已獲得授權）
