見多識廣、知易行難
【題目】
（2018•揚州）如圖1，四邊形OABC是矩形，點A的座標為（3，0），點C的座標為（0，6），點P從點O出發，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A出發，同時點Q從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設運動時間為t秒．
（1）當t=2時，線段PQ的中點座標為 ；
（2）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；
（3）當t=1時，拋物線y=x²+bx+c經過P，Q兩點，與y軸交於點M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D，使∠MQD=1/2∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的座標；若不存在，說明理由．
【答案】
解：（1）如圖1，∵點A的座標為（3，0），
∴OA=3，
當t=2時，OP=t=2，AQ=2t=4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴線段PQ的中點座標為：（(2+3)/2，(0+4)/2），即（5/2，2）；
【備註】代入時間求出路程。中點座標利用公式，或者構造中位線皆可。
（2）如圖1，∵當點P與點A重合時運動停止，且△PAQ可以構成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四邊形OABC是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：
①當△PAQ∽△QBC時，PA/AQ=QB/BC，
∴(3-t)/2t=(6-2t)/3，
4t²﹣15t+9=0，
（t﹣3）（t﹣3/4）=0，
t1=3（舍），t2=3/4，
②當△PAQ∽△CBQ時，PA/AQ=BC/BQ，
∴(3-t)/2t=3/(6-2t)，
t²﹣9t+9=0，
t=(9±3√5)/2，
∵(9+3√5)/2＞7，
∴x=(9+3√5)/2不符合題意，捨去，
綜上所述，當△CBQ與△PAQ相似時，t的值是3/4或(9-3√5)/2；
【備註】已知一對直角對應相等，那麼可以分為兩種情況討論，列比例式即可。
（3）當t=1時，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x²+bx+c中得：
1+b+c=0，9+3b+c=2，解得：b=-3，c=2，
∴拋物線：y=x²﹣3x+2=（x﹣3/2）²﹣1/4，
∴頂點k（3/2，﹣1/4），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x軸，
作拋物線對稱軸，交MQ於E，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE=∠QKE=1/2∠MKQ，
如圖2，∠MQD=1/2∠MKQ=∠QKE，
設DQ交y軸於H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH，
∴KE/EQ=MQ/MH，
∴(2+1/4)/(3/2)=3/MH，
∴MH=2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式為：y=﹣2/3x+4，
則y=-2/3 x+4，y=x²-3x+2，
x²﹣3x+2=﹣2/3x+4，
解得：x1=3（舍），x2=﹣2/3，
∴D（﹣2/3，40/9）；
同理，在M的下方，y軸上存在點H，
如圖3，使∠HQM=1/2∠MKQ=∠QKE，
由對稱性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y=2/3x，
則y=2/3 x，y=x²-3x+2，
x²﹣3x+2=2/3x，
解得：x1=3（舍），x2=2/3，
∴D（2/3，4/9）；
綜上所述，點D的座標為：D（﹣2/3，40/9）或（2/3，4/9）．
【備註】t確定則點座標確定，點座標確定則拋物線確定，拋物線確定則∠MKQ確定，根據拋物線的對稱性，1/2∠MKQ為對稱軸分∠MKQ的左右兩半部分皆可。
分類討論，點D在MQ的上方或者下方皆可，構造垂直利用相似求解，或者利用一次函數的解析式與二次函數的交點皆可求出該結論。
