尺規作圖之所以能夠在世界範圍內流傳兩千年之久，除了可以深深鍛鍊一個人的邏輯條理性之外，其實很大的功勞還是因為那最著名的三大作圖難題，正因為這三大難題恆久地擺在人們面前久久不能被解決，所以吸引著不同時代的一批又一批數學愛好者的極大熱情。
尺規作圖
三等分任意角，倍立方，化圓為方。這就是著名的三大尺規作圖難題。
什麼樣子的圖形才可以被尺規做出來呢?在作圖規則裡：
使用沒有刻度的尺，僅能傳遞長度的圓規，以及在有限的步驟內完成。
人們進一步根據直尺和圓規的作圖法則，總結出了5條作圖公理，類似於歐式幾何裡的五大幾何學公理一樣。
- 通過兩個已知點，作一直線。
- 已知圓心和半徑，作一個圓。
- 若兩已知直線相交，確定其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
- 若兩已知圓相交，確定其交點。
這說明任意一個可能尺規作圖的問題的每一步都是從這五條作圖公理引發出來的，如果你在作圖過程中有一步完全跟這五大法則沒有關係，那麼對不起，你的作法根本就不符合尺規作圖。
尺規作圖設計
從上面的三大作圖法則以及五大作圖公理，在經歷過漫長的歷史之後，人們最終認識到了究竟哪些圖形才可以被尺規作出來，那就是某個數是否能夠只用二次根式表示出來，這樣的數在數學上有個專有名詞，就叫尺規數。如果從代數上來分析某個圖形能否可以被尺規作出，這條依據就可以很清晰明瞭地幫助我們解決尺規作圖可能性的問題。我們來具體分析一下每個問題的來龍去脈。
對於三等分任意角，注意，這裡必須是任意角，而不是某些特定的角，因為有些特定的角三等分的確可以通過尺規來完成的，那樣畢竟是少數，並不具有一般性。三等分角問題也是三大作圖難題里名氣最大的，它看起來也最簡單。
相比三等分角，二等分角卻出奇地簡單
在這個問題沒有被徹底解決之前，每一位研究者在剛剛接觸到這個題目的時候都會躍躍欲試，看起來並沒有什麼難度嘛，於是反反覆覆地去嘗試，結果到最後當然也就是沒有結果。或者他們的方法都是不滿足尺規作圖法則的錯誤作法。在那麼久的時間裡沒有人得出過正確的作法，也很容易會讓人認識到會不會這個問題根本就是無解的。就像幾百年里人們都沒有找到五次方程根式解一樣。到了中世紀之後，很多人都懷疑這種作法的可能性，但是沒有一個人給出完整的解答。直到1837年，法國數學家汪策爾(Pierre Wantzel)利用伽羅瓦的理論，首次證明了三等分任意角和倍立方的作法不存在，嚴謹有效並且正確。
第一個系統解決 三等分角 倍立方的 汪策爾
事實上，汪策爾的證明思路和人們曾經判定多項式方程是否存在根式解的依據很類似。總而言之就是一句至理名言：
解法的存在性要對應著這個問題所在的域。
如果不對應那就說明我們希望的這種解法是不存在的。舉三等分角的例子來說，
由三角函數公式，我們容易推導出下面的一個方程：
三等分任意角等價方程
假設三等分任意角的作法存在，就相當於上面的方程裡，cos(θ/3)可以用關於cos(θ)的二次根式來表示，方程最高次數是3次，可以看出來，這個方程是不可以在二次根式的範圍內進行因式分解的，於是，也就不存在我們希望的那種解法了。用比較專業的數學術語來表示，上述方程的域與其擴張的階數不匹配。也就是說僅僅在二次根式的範圍內是找不到解的，必須要到更高級的三次根式下才能找到解，而尺規作圖是不能得到三次根式的，於是，三等分任意角就成為不可能的事件了。
倍立方問題
倍立方問題的解決思路也是類似，我們歸根到底是沒辦法作出一條線段，使得這條線段的長度立方是2，因此倍立方問題也是沒有解的。
伽羅瓦
這是伽羅瓦群論被世人認可之後，第一次爆發出巨大的能量，把兩個虛無漂亮的疑難問題如此簡潔乾淨地解決了。從此群論的重大意義凸顯出來，越來越多的數學家們開始研究群論，群論這一門新興的學科也很快地發展起來了。
還有個問題，化圓為方：
求作一個圓，使得其面積等於已知的一個正方形。
轉化到代數上，也就是
化圓為方本質
這個問題還有個很有趣的來歷。大約公元前5世紀時，有位叫安那薩哥拉斯的古希臘哲學家認為，太陽是一個燃燒的大火球，而並不是傳說中的阿波羅神。這在當時可謂是驚天地的言論，於是，他被毫不留情地被抓進監獄。可是這位哲學家還是死腦筋，固執己見，最後罪行越來越嚴重，居然被判了死刑。宣判之後，這位同志終於急了，輾轉反側睡不著，有天晚上，他對著又大又圓的月亮遙望，可惜此時並沒有酒。他看著看著，就琢磨出一個問題來：能否做個正方形與已知圓形的面積相同？他認為這是個尺規可以完成的問題。可惜，在宣判到執行的這段時間裡，他都沒有研究出成果來。好在這位同志人緣不錯，在他的朋友積極營救之下，他免於執行，無罪釋放。出獄之後，他對這個問題更加念念不忘了，於是這個有名的問題也就流傳開來了。
尺規作圖作開方運算
借用一下之前關於尺規獲取開方的作法。我們發現要想做出π的平方根，首先就要做出一個π。於是化圓為方這個幾何問題就轉換成代數上的，能否只用二次根式做出π。大家對圓周率π再瞭解不過了，這個數應該是大家印象裡最早接觸到的無理數了吧。這個數字太特別了，它跟1,2,3。。。不同，它不是有理數，與根號2，根號3也不同，它不是一元二次方程的解。事實上π也不是任何有理數係數多項式方程的根。基於這個非常獨特的個性，人們給形如π這樣的不是任何有理係數多項式方程根的數起了一個很有逼格的名字——超越數。就是說明這樣的數超越了之前所有的數的認知。
無窮無盡的π
不過大家可不要以為，人們是刻意給π強加上超越數的名頭，實際上π是根據超越數的定義而被嚴格證明的。1882年，林德曼(Lindemann)證明了π是一個超越數，也就是說π不可能是任何有理多項式方程的根，也更加不是一個只用有限次二次根式就可以表示的數了。至此，化圓為方問題也宣佈解決了。
數學家 林德曼
回顧一下這三大難題，三等分任意角，倍立方，都是因為一個立方根是無法只用二次根式來表示。化圓為方問題的範圍更大些，π不僅僅是不能用二次根式表示，事實上也不能用有限的任意次方根來表示。雖然表現形式各異，但是究其本質卻完全一樣。作法不存在是因為，當前方程解的域與其階數增長對應不上。
群論破解魔方問題
大約到了林德曼時期，困擾人類兩千多年的三大幾何作圖難題終於解決。這是一個漫長的過程，大家層層推進的結果，但是現代數學界卻把三大難題的解決歸功於伽羅瓦。直到林德曼取得突破的1882年，伽羅瓦已經去世50年之久了!而且沒有任何證據表明，在伽羅瓦5年數學研究生涯裡研究過這些問題。但是隻要有人對群論有著初步的瞭解，很容易就能意識到三大問題本質上同源，也都是無解的。
有很多人認為，自從三大作圖問題被完美解決之後，初等幾何的知識基本上就已經被挖掘殆盡了。但是我相信初等幾何學僅僅是在純數學領域沒有新內容了，它肯定還會在別的領域生根發芽並壯大，比如經濟學，甚至人口學中，都有各種各樣的數學模型存在。