'數學真的是邏輯性的學問嗎？許多數學家對這個問題的回答都是否定的'

本文刊載於《三聯生活週刊》2019年第20期，原文標題《數學與情緒》

文/蒲實

數學是邏輯性的學問嗎？許多數學家對這個問題的回答都是否定的。在《春夜十話》這本隨筆集裡，日本數學家岡潔表明了他對數學的理解，認為“數學是通過表達自我情緒而形成的一種學問”。這一觀點或可與另一位著名日本數學家小平邦彥呼應對照。小平邦彥認為，理解數學相當於“觀察”數學現象：“觀察”不是用眼睛“看”，而是通過一定感覺形成感知，是一種完全不同於邏輯推理的純粹感覺，這種感覺幾乎接近於視覺。

1930年在日本商學院使用算盤參加考試的女學生（攝於1930年）（法新社 供圖）

對數學本質的理解

岡潔是出生於20世紀初的日本數學家。他的多複變函數研究為現代數學的發展做出了基礎性貢獻，深受20世紀大數學家西格爾（C.L.Siegel）、韋伊（A.Weil）和嘉當（H.Cartan）推崇，而這些工作大都是他在第二次世界大戰期間極為艱苦的條件下完成的。岡潔去世40年後，他1963年所著的隨筆集《春夜十話》終於有了中譯版。這本書當年在日本出版後曾對幾代日本人影響至深。它的另一個標題——《數學與情緒》，似一束思維之光，旨在照亮理解數學的另一處角落。

這本數學家所寫之書到處是隨思緒漂浮和跳躍的隨想，並非一本嚴謹的自傳。關於岡潔生活的一些片段零星散佈在他對數學與文化的風格自由的隨筆感悟中，如一些破碎玻璃的顆粒，偶爾折射出岡潔生活時代的一小塊圖景。我們可以隨處拾起一點碎片：在他上高中時，愛因斯坦曾到訪日本，相對論在日本風靡一時，許多日本學生都報考了理科；20世紀二三十年代，日本的數學水平還遠遠落後於歐美，像他這樣的青年數學家大都去德國或法國留學。回到日本後，他想全身心投入數學研究，遂放棄廣島大學教職，賣掉房屋和田地，帶妻兒回到鄉下，以種植芋頭為生。1937年，靠變賣家產生活不久，中日戰爭爆發使得日本國內開始吃緊。戰爭的陰霾籠罩日本，他在鄉下的房屋被徵用為軍用道路，一家人不得不在山麓下租屋居住。貧窮和飢餓成為遊蕩於他生活中揮之不去的幽靈：他們曾找遍13戶人家才分到一點豆子，有時鍋裡只有芋頭葉子和南瓜花——村裡人不願把糧食高價賣給岡潔一家，但又不願吃低價賣出的虧，只好都跟他說沒有糧食。當時的窘況，是“除墓石外，全典賣光了”，“故鄉里，無屋，只吹秋風”。戰爭時期，他信奉了一段時間光明教。1941年，他短暫被聘請為北海道大學理學部研究員，在札幌的租屋裡睡覺時聽到日本偷襲珍珠港的消息。他覺得茫然失措，想著“這下日本完了”，然後把自己投入到研究裡，兩耳不聞窗外事，只管一心埋頭做學問。日本戰敗後，他的生活也撐不下去了，沒有糧食，不得不去找老同學秋月康夫，希望能幫忙給他找一份工作。在秋月康夫的回憶文章裡，岡潔穿著破衣服，斜揹著包袱出現，“好久不見，我的第一印象是他看起來蒼老多了，真像一個農夫”。“二戰”結束後，岡潔成為京都大學教授。有一次，他在前往學校的路上看到了歡迎蘇聯宇航員加加林的鼎沸人群。加加林在電視上說，地球人口的快速增長導致地球變得越來越擁擠，好在將來人類能移居外星球。

在艱苦落魄的亂世中，岡潔卻全身心沉浸在數學中，體會到的竟是一連串發現帶來的喜悅，很不可思議。那段戰爭歲月裡，他體會到孔子在《論語》中所說的“知之者不如好知者，好之者不如樂之者”的“樂”的境界。孔子曾說自己尚未能達到“樂”的境界，僅止步於“好”。岡潔則認為，自己能進入到“樂”的境界，與學問自身在不斷進化有很大關係，“孔子時期的古代，學問缺少知性的自主性，所以孔子與學問做伴的願望還只能停留在夢想中”。每當岡潔在數學上有了新發現，他就能體驗到極大的喜悅，“像阿基米德發現浮力時從浴缸一躍而出，赤身裸體跑回家的狂喜”，也像“打算出門捉蝴蝶，推門就發現樹枝上停著漂亮蝴蝶時的心情”。他只顧思考數學問題，至於是否要寫成論文，已全然不在乎。

我們通常認為，做數學靠的是大腦，但岡潔認為，情緒才是關鍵。他感到處於數學研究的狀態中時，“如果交感神經系統活動起主要作用，會思緒不暢，寸步難移；而副交感神經系統活動起主要作用時，反倒文思泉湧，下筆如有神助，只是腸胃蠕動增強，容易出現腹瀉症狀”。他認為，副交感神經系統對於人主動興奮地沉浸在某個狀態中發揮了更為重要的作用。

進入20世紀的數學帶給數學家的是一種與過去全然不同的體驗。比如，三次方程的解法對於文藝復興時代的數學家而言，是一道不知何時才能解開的難題；400多年前，整整幾代數學家用盡一生的時間鑽研它的解法，最後才由一位叫塔爾塔利亞的人解了出來，這個過程歷時200多年。然而，當岡潔想自己探索三次方程的解法時，他只用了三天時間就找到了與前人不同的解法，“雖不及前人巧妙，但也成功另闢蹊徑”。他思考其原因，認為是人對數學的和諧感在400年發展過程中變得更加深厚的緣故——和諧感的增強改變了現代人對“可能性”的選擇方式，因而他才能在短時間內破解三次方程的解法。他猜想，現代人的和諧感與古代人的和諧感不在同一級別，“和諧感每提升一級，解決問題的速度可飛昇幾十倍，而如今數學的和諧感較塔爾塔利亞時代應擢升了三級”，解決同樣問題，塔爾塔利亞時代的人花費的時間是現代人花費時間的30倍的3次方，即2.7萬倍。

19世紀與20世紀的大數學家，比如龐加萊和格羅滕迪克，都認為數學的本質在於和諧精神，這種內在和諧比藝術的和諧更深刻和不易被人感知。然而，1912年龐加萊去世後不久，第一次世界大戰就爆發了，接著是第二次世界大戰。岡潔目睹了和諧精神已然失落、蕩然無存的世界。在他看來，20世紀經歷了兩次世界大戰、局部戰爭頻發，各種武器和原子彈被製造出來，其原因正是我們過度發展了科學，失去了和諧精神。第二次世界大戰後，日本高校數量不斷增多，數學論文數量不斷攀升，但他看到，“那些論文就如廢紙，言之無物，渴望探知數學本質的人越來越少”。

數學的主要功能在之前一直被認為是計算。如今，機器已可取代和超越人類完成極為複雜的計算，甚至能代替人類從事理論性研究。數學存在的意義是什麼？岡潔認為，它的存在是機器根本無法替代的，即“曉以人類和諧的精神”——“人性的夜色愈深，數學愈加重要”。不過，現代數學的圖景也變得更加嚴峻。從第二次世界大戰爆發前的五六年開始，數學主流已趨於“抽象化”，即捨棄內容上的細節，保留事物的基本屬性。這一變化在戰後更為顯著。岡潔寫道：“若以風景作比，戰後數學世界就像嚴冬曠野，天朗氣清，寒風呼嘯，雖風景尚佳，但非宜居之所。”

日本數學家岡潔（視覺中國供圖）

東方式的領悟

從法國留學回日本後，岡潔已決定專攻多複變函數論。1934年，德國數學家H.貝恩克和P.圖侖合著的《多復變分析函數論》在德國出版。岡潔研讀之後，已能夠清晰展望研究領域的全貌，也對未能解決的三個中心問題了然於心。1935年，在開始研究中心問題兩個月後，他看到三個中心問題“逐漸顯露的真身”，“彷彿形成了一座連綿的山脈呈現在我眼前”。過了三個月，他的研究毫無進展，到了每次想十來分鐘就昏昏欲睡的強迫地步。直到前往北海道的朋友家度假，吃完飯發呆時，他的思緒突然趨向一個方向，研究內容才變得清晰可見。兩個半小時後，處理問題的方法也已瞭然，解法的浮現不過是在須臾之間。他感到了一種欣喜若狂，對自己的發現非常確信。這是他第一次感受到酣暢淋漓的快樂。此後，他每兩年發表一篇論文，五篇論文都是受此啟發而完成的。回過頭看，他認為中間那段完全摸不清方向的探索狀態，以及之後昏昏欲睡的停滯狀態，在發現歷程中都很重要，“好像撒入泥土的種子靜待發芽”。

岡潔的第一篇至第五篇論文，都屬於函數論。從第六篇開始，則屬於解析學。他查遍了以往解析學上各種處理問題的方式，都無法解決他的問題。在《給昭和年間的遺書》裡，他寫道，1947年5月，他參加光明教法會五天，每天念一個小時經，回家後做數學研究。這時候，他的“心之眼”變得非常清晰。他留意到一次方程形式解的局部存在性問題，在這之前他從來沒有想到它。他很快就用兩頁紙證出存在性來，要解的問題藉此完全得到解決。在此基礎上，他完成了第七篇論文——《關於若干算術概念》。其中，他從不定域ideal導出幾個新的基本概念，觸及了數學的本質。

這篇論文要見到天日，還經歷了一段過程。1948年，這篇論文以手稿的形式交付給即將赴美的日本物理學家湯川秀樹（他後來獲得諾貝爾物理學獎），再經由角谷靜夫、外爾交到嘉當手裡，最終在巴黎出版。接著，他在1951年發表了艱深的第八篇論文《基本化的輔題》。1953年，第九篇論文《無內分歧點的有限區域》發表，一般化解決了“Hartogs的逆問題”。1962年，他發表第十篇論文《生成凸型區域的一個新方法》。這篇論文以法語寫成，他描述，這個過程是他“安靜地用法語將內在的日本式情緒寫成論文”。如果說前五篇論文是受西方嚴格數學思維訓練的靈感式產物，岡潔認為，自己的後五篇論文則是日本式情操的產物。

使得岡潔與日本之外的數學世界產生交集的H.嘉當是法國大數學家，是對現代數學有深遠影響的布爾巴基學派的關鍵人物。第二次世界大戰結束後，他開辦的嘉當討論班歷經16年，到1964年結束，對法國數學乃至世界數學產生重大影響。這期間，他在代數拓撲學及多複變函數論方面開創了一個新時代。在多複變函數從古典時期向現代時期轉折的過程中，他組織的三次討論班起到了關鍵作用。

在岡潔的另一本著作《紫之火花》中，他寫道，他對數學家嘉當感到“特別親切”。嘉當與他開拓當時尚未有人涉足的多復變解析函數領域，就像與他已經認識和相伴了30年一樣。嘉當初次看到岡潔的論文，則大概與英國數學家亨利·哈代初次看到印度數學家拉馬努金的論文時的感受有點相似。嘉當說：“岡潔的論文中所說的都正確，但是那種形式還不能算是數學。”嘉當在1951年至1952年的數學研討會中以“多復變解析函數論”為討論題目，把岡潔的研究成果整理成一個體系。這個工作由法國的布爾巴基學派完成，最終寫成了報告書，成為現在多復變解析函數論的範本。然而，很少有人讀過岡潔難懂的論文集。這些教科書的形式和岡潔原來的論文形式已完全不同，是嘉當的數學化整理。岡潔的一些傳記撰寫者認為，他寫出“有關多復變解析函數”十篇論文的過程，是繼承了黎曼等人的單變數解析函數論，將其移植到自己受日本文化薰陶的心靈裡，成長出仍屬於第三階段的古典數學，再經由嘉當等人整理和發展，成為20世紀的數學的。他是“數學上的一個奇異點”。

嘉當與岡潔的這一段合作，讓人想起拉馬努金與英國數學家在思維方式上的碰撞。岡潔和拉馬努金有一些相似之處，都具有直覺性的風格，和西方的數學風格並不完全相同。拉馬努金沒有接受過正規數學教育，他的數學一開始也不是有嚴密證明的數學。由於不熟悉西方風格的證明，為了在數學世界自由徜徉，他被迫創造了自己的數學語言。他用奇怪語言表述的、來自印度女神啟示的數學發現，最終是由英國數學家哈代和利特伍德破解，並轉化為嚴格的西方風格數學證明的。

日本數學家小平邦彥曾引述夏目漱石在《夢十夜》中對運慶雕刻金剛手菩薩像的描述，來表達他對數學本質的感受。“運慶在金剛手菩薩的粗眉上端一寸處橫向鑿刻，手中的鑿刀忽而豎立，轉而自上而下鑿去。鑿刀被敲入堅硬的木頭中，厚厚的木屑應聲飛落，再仔細一看，金剛手菩薩怒意盈盈的鼻翼輪廓已清晰呈現。運慶的運刀方式無拘無束，雕琢過程絲毫沒有任何遲疑。那不是鑿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本來就埋藏在木頭中，他只是用錘子、鑿子將其呈現出來，就像從泥土中挖出石頭一樣，不會出現偏差。”岡潔的數學也有這種日本式的韻味。

晚年的岡潔寫文章著書，發表對社會的感言，希望把日本從浮誇的現實境況拉回到過去的淳樸狀態。他與胡蘭成有了深交，向胡蘭成學習中國哲學。日本數學家橫山賢二在一次演講中提到，岡潔從西方的數學、科學和哲學思想，逐漸走向東洋的“解脫”，朝著使事物精簡的方向窮追不捨地思考，與胡蘭成相識後，他轉向了佛教，進而轉向神道。不過，據胡蘭成的記述，他“幾乎不參謁佛事，幾乎不見佛僧和神官。不慎說到古傳祕傳，就會發怒”。隨著年事漸長，岡潔逐漸遠離大眾，回絕所有演講，活進了越來越濃厚的孤獨色彩中。1978年3月，岡潔因心臟衰弱去世。去世前他常對親近的人說，他的數學活著時來不及做完，他要好好做準備，以便走進另一個世界後可以繼續做下去。

岡潔和他那一代經歷過20世紀數次戰爭、目睹過歷史破碎與極端的數學家一樣，命運都曾多舛起伏；諸行無常，卻反而在亂世中抱定生命的信念，希冀將其融入數學的永恆中。數學在他看來，就如芥川龍之介所言的“永恆之影”，是真善美的理想，只與我們的世界存在聯繫，並能讓我們獲得實在感，卻不屬於理性世界。至於研究數學有何用處，歷盡滄桑的岡潔輕盈地寫道：“紫花地丁只需如紫花地丁般開花即可，這對春日的田野有無影響、有何影響，紫花地丁自己也不知。”

（本文一些事實參考了顏一清所寫的岡潔小傳：《多復變解析函數開拓者岡潔：一位民族主義數學家》）