作者：Math001
校對：donkeycn，浪蕩遊俠
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數學世界裡有很多著名的難題，比如歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想作為一個世界難題之所以著名，是因為問題本身太容易表達了，表達出來後，一個小學生都能看懂。如果，把這個樣的問題放在教材課後的習題部分，不知道能坑掉多少腦細胞。
然而，數學就是這麼神奇，一些數學問題的表述非常簡單，簡單得就像課後的習題一樣。但要解決他們非常困難。就像他們故意偽裝成課後習題似的。下面的10個問題大概就是這樣的問題。他們的表述非常簡單，普通大二的理工科學生都能看懂，但至今無人能解決。
第十名 數一數，素數和合數到底有多少的問題
習題偽裝指數：☆
如果學過初等數論，我們由素數定理可以簡單的認為素數在自然數中的密度為零。那麼我亂扔一個其他形式的一堆自然數，其中素數的密度也是零嗎？
問題：形如2^n+5的自然數幾乎都是合數。( 2^n表示2的n次方，幾乎的意思是指密度為1 )
好吧，看懂這個似乎要至少學過初等數論。但是不是所有理工科的朋友都學過這門課。但這個問題真的很難，至今不知道怎麼解決。
第九名 看上去是線性代數中找幾組基的問題
習題偽裝指數：★
線性代數相信大多數理工科的朋友都會學習。我相信，對線性空間這個名詞並不陌生。對於n維線性空間，任意n個線性無關的向量都能組成該空間的一個基。現在，我們有B1,B2,...,Bi,...,Bn這n個向量組（wiki上要求兩兩不交，其實不要求也可以），每個向量組有n個向量，這些向量組都構成n維線性空間的一個基。於是這裡，有n×n個向量。現在，把這個n×n個向量排成一個n×n矩陣，矩陣的第i行的n個元素，正好是Bi中的n個元素（這一行的順序無所謂）。
問題：對任意給定的n個基，有沒有一種排列辦法，滿足上述條件，而且矩陣中的每一列的n個向量都構成線性空間的一個基。
這個叫做羅塔基猜想，由羅塔在1989年提出。這其實是一個披著線性代數外衣的組合問題。這裡只是提到它的線性代數版本，還有別的版本，比如流形版本。
第八名 一個憂傷故事引發的數學難題
習題偽裝指數：★☆
一個憂傷的故事，有n個人(n>1)在半徑為1千米的圓形跑道上勻速的跑圈，沒有人靜止不動（即速度大於0）。他們出發點相同，行走的方向相同，但沒有任何兩個人速度是相同的（就是說，n個人的速度兩兩不同）。跑道上的人感情很脆弱，當一個人和其他每個人的距離都大於等於1/n千米的時候，這個人會覺得自己很孤獨。
問題：請證明對任意n，跑道上的人每一個人，都有孤獨的時候！
這叫做孤獨的跑者問題。這個問題非常難，目前的情況是，有人證明了n≤7的時候，命題成立。另外，陶哲軒證明了，對任意的n，只需要驗證有限多種情況就可以判定命題是否成立。但就僅n=8的時候，那個分類的帶來的計算量，已經不是地球上的計算機能處理的了。
第七名 集合求並集，找元素的“小問題”
習題偽裝指數：★★
關於集合的知識，我們在高中就學了不少了。一個集合也可以是另外一個集合的元素，比如集合{{2,3,4},{1,4,6,9},{1,2,3,4,6,9}},{2,3,4}就是它的一個元素。一個由集合為元素組成的集合我們稱為集族。如果一個集族裡面任意兩個元素並起來，還是這個集族裡的元素，我們就說這個集族對並集運算封閉(因為集族裡的元素都是集合，於是可以做並集運算)。
問題：一個有限的集族，集族的每個元素也都是有限集合。如果它對並集運算封閉，且不是{∅}，那麼是否一定有個元素，這個元素屬於集族裡至少一半的集合。比如，前面舉的集合例子，它是一個3個集合組成的集族，而元素2是第一個和第三個集合的元素，超過3的一半。
此問題由彼得·弗蘭克爾在1979年提出，叫做並集封閉集族猜想。快40年了，沒人解決。目前的情況是，人們解決了集合數量不超過46個的集族的情況，以及集族中最少元素不超過兩個的情況，這些時候答案都是肯定的。
第六名 一個求極限的問題，判定出來的極限值是什麼
習題偽裝指數：★★☆
我們的很多讀者一定做過這樣的習題，就是證明 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n - ln(n) 在n→∞的時候，極限是存在的。用的辦法是單調有界原理。我們把這個極限用符號γ表示，稱作歐拉常數。
問題：判斷歐拉常數γ是有理數還是無理數。
我們知道他的近似值，0.57721566490153... ，2003年有人用從對它的連分數研究中得到結果是：如果歐拉常數是有理數，那麼它的分母將超過10的242080次方。但是依然離判斷出結果很遠。
第五名 貌似小學生都“知道”的有理數無理數問題
習題偽裝指數：★★★
自然對數底e，圓周率π都是我們在中學裡最常見的無理數。上了大學學習了高等數學或者數學分析後，我們有能力證明他們是無理數這件事情當然可能需要一些課外閱讀)。但是我們對這兩個數做四則運算後的結果，是有理數還是無理數卻並不知道。
問題：判斷e＋π和eπ是有理數還是無理數。
這個問題似乎沒看到希望。不過，你可以用韋達定理和e、π是超越數的事實，輕易的判斷e＋π和eπ不可能都是有理數。
第四名 好“簡單”的級數斂散性判斷“作業題”
習題偽裝指數：★★★☆
我們在高等數學裡學了很多種級數斂散性的方法。給一個看上去形式簡單的級數，判斷它收斂怎麼看都是課後習題級別難度的問題。那麼我們看看下面一個級數。
問題：上面的級數是否收斂？
這個問題其實是一個和π有關的數論問題。實際上很多看上去帶sin的極限問題都是偽裝成高等數學的超越數論問題，都和π有關係。
第三名 關於正整數乘乘除除的遊戲
習題偽裝指數：★★★★
我們來做一個遊戲。給你一個正整數，如果它是偶數，我們把它除以2得到一個新的自然數，如果新的自然數還是偶數，繼續除以2。這樣一直除到他是奇數為止。對於這個奇數，我們把它乘以3再加上1，這樣又得到一個偶數。我們再繼續前面的操作——只要是偶數就除以2，奇數就乘以3加上1。這樣一直操作下去，我們會得到一個無窮長度的正整數序列。
問題： 對任意給定的初始正整數，按上面操作的得到序列最終會歸於4,2,1,4,2,1,4,2,1,... 的循環？
這叫做考拉茲猜想，也叫3n+1猜想。有人把這個問題作出了推廣，有了這個猜想的推廣版本。已經證明推廣版本的猜想是一個算法不可判定問題——簡單的說，不可能用計算機程序來證明推廣版本的猜想。
第二名 把分數拆成分數單位的“小學奧數”題目
習題偽裝指數：★★★★☆
我們小學就學習分數了。記得小學的奧數題目裡，經常幹一件事情，就是把一個分數拆成幾個分數單位的和。下面的問題也和這個有關係。
問題：問題：對任意大於1的正整數n， 關於x,y,z的方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z , 是否都有正整數解？即4/n都能正好拆成三個分數單位的和。
這個問題叫做埃爾德什-施特勞斯猜想，1948年提出，已經快70年了。注意到 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20 = 1/2 + 1/5 + 1/10，有兩種寫法。於是有人轉而研究滿足方程解的個數的規律（注意，如果有個n對應的解的個數是0，就否定了這個猜想）。2013年的結果是，解的個數相對於n的增長速度是不超過關於ln(n)的多項式級別的。
第一名 “非常簡單”的不等式，但結果令人意外
習題偽裝指數：★★★★★
訴說這個問題前，我們來看看這樣兩個函數。對於一個正整數n，我們把它所有的約數加起來，得到的正整數記為σ(n)。比如24的約數為1,2,3,4,6,8,12,24，那麼σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60。 同樣是正整數n，我們把不大於它的所有正整數的倒數加起來，記為H(n), 就是說H(n)=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n . 比如H(3)= 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 。 通過σ(n)和H(n)我們構建如下的不等式：
問題：對所有正整數n，是否都有上面的不等式成立。
如果我告訴你這個不等式問題是很多數學家心目中在整個數學界最重要的猜想，你信嗎？2002年，一位數學家證明了此不等式與大名鼎鼎的黎曼猜想等價。也就是說，證明了這個不等式，也就證明了黎曼猜想。而黎曼猜想在數學界的地位，大家自行百度吧，至今還有人懸賞100萬美元徵解。黎曼猜想的原始版本，需要有複變函數的學習背景才能看懂，但這個版本，估計中學生都能看懂了。
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