數學運算特殊模型之“牛吃草”問題

“牛吃草”問題在我們公考中出現過多次，此題解法比較固定，把握好變量和不變量，我們可以快速解決這類問題，那我們首先看一下什麼是“牛吃草”問題。

“牛吃草”問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。這就是我們所說的“牛吃草”問題。

解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量，牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但因為是勻速生長，所以每天長出的草的量是不變的。正確的計算草地上原有的草以及每天長出的新草，就可以解答這類問題。

那麼，我們先來看道例題：

問題：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

解析：因為，牧場上草的數量每天都在發生變化，所以，我們要找到不變量，進而求解。通過上面的分析，可知，總草量=草場上原有草量+新長出來的草量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的草是不變的。所以，我們就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。

那我們假設1頭牛一天吃的草為1份，設每天草長的份數為x，則原有草量=（牛的數量—每天草長的份數）×吃草時間，由題意可知，（10-x）×20=（15-x）×10，解得x=5，即每天草長5份，草場上原有草量=（10-5）×20=100（份），25頭牛每天吃25份的草，所以，每天草的消耗量為25-5=20（份），可供25頭牛吃的天數為100÷20=5（天）。

這是典型的“牛吃草”問題，我們再來看一下“牛吃草”的變形題。

問題：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開6個檢票口，那麼需多少分鐘（ ）。

A.8 B.10 C.12 D.15

解析：等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當於“草”，“檢票口”相當於“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票後新來的旅客。

設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份，設每分鐘來的旅客為x人，原有旅客=（檢票口數—每分鐘來的旅客人數）×所用時間，由題意可知，（4-x）×30=（5-x）×20，解得x=2，即每分鐘來的旅客為2人，原有旅客=（4-2）×30=60（人），6個檢票口每分鐘檢6個人，抵消掉新來的2人，6個檢票口每分鐘可以檢4個人，共60人，需要的時間為60÷4=15（分鐘），故本題選D。

那麼，這就是特殊模型之“牛吃草”問題，該類問題你掌握了嗎，歡迎給小編留言交流！

考試通研究院潘凱老師