寫這篇文章不是給學習近世代數的人用的，而是給不熟悉數學的人看的。哪怕不能完全看懂，我也希望人們能瞭解數學研究所達到的高度，能夠領略數學之美。

撰文 趙昊彤（數學愛好者，畢業於清華大學工程物理系）

主編點評

數學的歷史是天才薈萃的歷史，而伽羅瓦毫無疑問是天才中的天才。他從16到21歲的五年之間，系統地發展了用群論取代計算的奇思妙想，創造了美妙至極的伽羅瓦理論，這可以說是數學史上無中生有、開天闢地的奇蹟。用現代的觀點看，伽羅瓦這位兩百年前的“政治憤青”，他的數學成就絕不是幾個菲爾茲獎就可以衡量的。看看這套理論的簡單推論吧，它不僅輕鬆地解決了五次以上方程式沒有根式解的曠古難題，還同時解決了尺規三等分角，倍方問題等千年難題。這是所有數學家夢寐以求，至高無上的研究境界。

有意思的是，這幾個著名的難題迄今都還吸引著不少業餘數學家們孜孜不倦。我衷心地希望這些數學愛好者們能把他們的熱情和精力用來研讀伽羅瓦理論，這是進入現代數論，乃至現代數學的法門。另外，受伽羅瓦群論的影響，數學家李在一百五十年前創造了連續群，稱為李群，這是數學中另一個偉大的理論，它與伽羅瓦理論都成為了現代數學研究生的必修課程。兩百年後的今天，伽羅瓦理論依然影響著幾乎每一個數學領域的發展。更確切地說，它的影響還在與日俱增，已經遠遠超越了數論乃至數學的世界。毫不誇張地說，群和對稱早已經成為了許許多多科學發現的指南針。

眾所周知，法國人天性浪漫，德國人生活嚴謹，但兩個國家的歷史上，卻都產生了許許多多偉大的數學天才。真心希望我們偉大的祖國有一天能冒出伽羅瓦般的天才。伽羅瓦本人的生命如流星一般，短暫燦爛，悲壯傳奇，也許只有這樣的生命才會開出如此絢麗的智慧之花。這篇文章非常精彩地介紹了伽羅瓦的生平與數學成就，並明確地解釋了群環域的基本概念，闡述了伽羅瓦理論的精髓，引導我們領略了伽羅瓦理論的深刻和美麗。我很高興將這篇文章與賽先生的讀者朋友們共享。

——劉克峰

伽羅瓦（Évariste Galois，1811–1832），一個21歲就去世了的年輕人，開創了現代代數學的先河。他創建的群論和域論優美精妙，已經成為現代代數學的基本工具。我花了兩個月的時間研讀伽羅瓦理論，隨著理解的深入，我內心不斷感受到震撼，心底油然而生對伽羅瓦的欽佩與崇拜。這種感覺就像終於看懂了世界上最美妙的畫作、聽懂了世界上最優雅的旋律一樣，不由自主地希望與別人共享。遺憾的是，數學之美只能是那些真正研讀並理解了它的人們才能感受得到。伽羅瓦理論雖然優美，但是卻足夠深奧，除了數學專業人士和肯於鑽研的數學愛好者之外，尚不能被普通大眾所理解。

可是我不甘心，我期望著儘自己的努力，用最簡明通俗的語言，儘量不涉及複雜的數學公式和邏輯推導，而把伽羅瓦理論的優美展現在大眾面前。伽羅瓦是200年前一個有故事的年輕人，伽羅瓦理論是一座險峻的高峰。讓我們一邊閱讀伽羅瓦的人生故事，一邊嘗試著攀登這座高峰吧。

伽羅瓦的畫像（圖片來源：公有領域）

首先，我們來引用伽羅瓦的一段話：“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their complexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出計算，群化運算，按照它們的複雜度而不是表象來分類——我相信，這是未來數學的任務，這也正是我的工作所揭示出來的道路。）

當21歲的伽羅瓦在臨死前一天晚上把他主要的研究成果以極其精簡、跳躍的思維寫在草稿紙上的時候，沒有人知道當代最偉大的數學工具和數學研究方向已經在伽羅瓦的頭腦中存在了1年多的時間了。甚至是在伽羅瓦第二天參與一個愚蠢的決鬥而死後的14年內，都沒有人徹底弄明白伽羅瓦寫的到底是什麼，他頭腦中那偉大而天才的數學結構是怎樣的？看看這些霸氣的名字吧，高斯、柯西、傅立葉、拉格朗日、雅可比、泊松……這些在那個時代、同時也是人類歷史上的偉大的數學家、物理學家都沒有理解伽羅瓦的理論，從這個意義上講，伽羅瓦恐怕是人類歷史上最具天才的數學家了。

讓我們先來看一些對比：

（1）1824年，挪威數學家阿貝爾發表了《一元五次方程沒有一般代數解》的論文，用了50多頁的篇幅和大量的計算，論證了一般的一元五次方程是不可能根式求解的。當時阿貝爾的證明今天看來，充滿著智慧和複雜的計算，但是仍不夠嚴謹。當我們今天使用伽羅瓦理論來論證這一點的時候，論證過程就會精簡為“一般一元五次方程的伽羅瓦群同構於全置換群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。”

（2）1801年，年輕的24歲“數學王子”高斯通過複雜的計算推導，證明了xp-1=0（p為素數）是可根式求解的，證明過程使用了大量計算技巧，充分展示了高斯的數學計算天賦。今天我們使用伽羅瓦理論來論證這一點的時候，論證過程為“方程xp-1=0（p為素數）在有理數域Q上的伽羅瓦群同構於素數階模p同餘類乘群Zp，而Zp是循環群，必為可解群，因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我們可以類似地論證，p不為素數時的方程xn-1=0在Q上的伽羅瓦群同構於模n同餘類乘群Z'n，為可換群（阿貝爾群），必為可解群，因此方程xn-1=0可根式求解。

伽羅瓦理論還可以輕鬆地解決正n邊形的尺規作圖問題，證明三等分角、倍立方、化圓為方（這個有賴於π是超越數的證明）的尺規作圖不可能問題。今天，伽羅瓦的理論已經發展成叫做“近世代數”（又叫抽象代數）的一個專門數學分支，其應用拓展到了拓撲、微分幾何、混沌等前沿數學研究領域以至於物理、化學等眾多科學領域，成為了現代科學研究的重要基礎工具。1994年英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明著名的“費馬大定理”的時候，就主要應用了伽羅瓦理論。

當看到一大批通過繁雜計算很難得到證明的問題，能夠通過精巧的數學結構來簡潔而精準證明的時候，你也許開始感受到伽羅瓦理論的優美——但這僅僅是一個開始。從這個“開始”，我們會逐漸感受到伽羅瓦所說的“跳出計算，群化運算”的含義。那麼伽羅瓦到底發明了什麼數學結構和工具，使得原來複雜的問題變得清晰起來了呢？

一、更高層次的抽象——群、環、域

伽羅瓦的故事

有人說“數學也許只存在於數學家的頭腦之中”，至少數學是發端於數學家頭腦的。1823年，12歲的埃瓦里斯特·伽羅瓦進入了他的第一所學校——路易·勒格蘭皇家中學，一所聲望很高但相當專制的學校，但是直到16歲，伽羅瓦才被准許讀他的第一門數學課程。雖然12～16歲期間的伽羅瓦沒有機會研究數學，但是這時期法國社會上和學校中發生的一些事件點燃了他的共和主義傾向，奠定了他日後參與政治的悲劇人生的基礎。

伽羅瓦曾就讀的路易·勒格蘭皇家中學（Wikimedia Commons/CC-BY-SA 3.0）

原本成績優秀的伽羅瓦一旦開始學數學，就像變了一個人，變得對其它課程都不重視，而只醉心於數學這一門課程。學校給他的評語是“該生只宜在數學的最高領域中工作，這個孩子完全陷入了對數學的狂熱之中。”沒有人知道16～18歲中學時期的伽羅瓦頭腦中在想些什麼，人們只能從表面上看到他所掌握的數學知識足以通過中學的考試要求，但是他對問題的解答往往讓考官理解不了。更糟糕的是，他經常把大量的演算放在頭腦中進行，使得平庸的考官們更為茫然和沮喪。

現有的材料表明，17歲的伽羅瓦已經開始研究一般的一元五次方程求解的問題了，他曾提交了2篇論文給法國科學院，當時的評審專家是著名數學家柯西。柯西顯然被伽羅瓦的論文所震驚，他建議伽羅瓦重新以專題的形式提交這兩篇論文，並參加數學大獎的評審。這期間正趕上伽羅瓦的父親因政治原因而自殺，伽羅瓦在參加完父親的葬禮後，把改好的專題論文提交給了法國科學院祕書、著名數學家傅立葉。可惜的是，傅立葉在評審前幾個星期就去世了，在這個過程中伽羅瓦的論文也丟失了，從而失去了參加評獎的機會。天知道為什麼這兩篇很可能是那個時代最偉大的論文被丟失了？難道上帝都在嫉妒伽羅瓦麼？

伽羅瓦理論

在我們已經全面瞭解並極大發展了伽羅瓦理論的今天，回想1828年伽羅瓦提交的那兩篇論文，我們有理由猜測，伽羅瓦是站在更高的層次上來看待數和運算的。在伽羅瓦看來，“數和運算”組合在一起可以構成一種數學結構，這是一種更加本質、更加抽象的數學結構，當繼續把這種結構脫離“數字和常規意義上的運算”而抽象出來的時候，就形成了新的數學概念——群。

（1）群：給一個集合中的元素定義一種運算“乘法”（這個“乘法”不是數字運算的乘法，而只是借用了這個名字，因此加上了引號），如果這個集合中的元素和這個“乘法”滿足：

<1>封閉性：集合中任兩個元素相“乘”的結果在這個集合之內；

<2>結合律：這個“乘法”滿足(a*b)*c=a*(b*c)；

<3>單位元：集合中存在某個元素e，對於任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被稱為單位元；

<4>逆元：對於集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一個元素a-1，使得a*a-1=a-1*a=e，a與a-1互為逆元。

此時，這個集合與這個運算組合在一起被稱為“群”。

我本不願意羅列概念，但是如果要想感受到伽羅瓦理論之美，就必須弄清楚“群”的概念。就像一個人想要欣賞美妙的音樂，你總要能區分音調高低、節奏快慢一樣，如果高音“do”和低音“do”在你聽來是一樣的，那麼很難想象你可以欣賞美妙的交響樂。

“群”很顯然是把數字及其運算關係抽象之後形成的一種數學結構。容易驗證，整數集合在加法運算下成群（這裡的加法就通常意義的數字加法，對應著群定義中的“乘法”），其單位元是數字0；但是整數集合在乘法運算下不成群，這是因為對於大部分整數，沒有乘法的逆元。

其實群在日常生活中也會存在，常見的是魔方，它的全部操作構成一個集合，再定義任意兩種操作的“乘法”為“先執行第一種操作、再執行第二種操作”，則容易驗證魔方的全部操作在這種“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

（2）環與域：在一個集合上定義兩種運算“加法”和“乘法”，如果這個集合在這個“加法”下成群，而在這個“乘法”下只滿足“封閉性”與“結合律”，則稱這個集合與這兩種運算構成一個“環”；如果這個集合去除“加法”群下的單位元后形成的新集合在“乘法”下成群，則稱這個集合與這兩種運算構成一個“域”。顯然，“域”是一種特殊的“環”。（注：以上不是環和域的嚴格定義，僅為方便讀者理解，嚴格定義還要提到環上的“加法”和“乘法”還要滿足“分配律”。）

對不起了，伽羅瓦理論是夠抽象的，對於完全沒有接觸過群論、域論的人來說，這幾個概念就挺費琢磨。可是沒有辦法，伽羅瓦理論這座高峰就需要踩著這些概念的臺階來攀登，你想欣賞最美好的風光，就需要把這些“概念”踩在腳下，“無限風光在險峰”。

如果看懂了這三個概念，特別是看懂了“群”和“域”這兩個概念，就會理解這些結構其實就是從基礎的數字運算關係中抽象出來的。比如：有理數在加法和乘法運算下構成一個域，0是加法單位元，1是乘法單位元，不包含0的有理數在乘法運算下成群；實數、複數在加法和乘法下都構成域；無理數在加法和乘法下不能構成域，這是因為無理數之和可能是有理數，不滿足封閉性。

下面用群和域的概念做一個思維體操，證明有理數是最小的數域（由數字和加法、乘法構成的域）：

•數域必有加法單位元0和乘法單位元1；

•由加法封閉性得到n個1相加必然還在域內，於是任意自然數n在域內；

•再由加法存在逆元得到-n也在域內，這樣全部整數必然在域內；

•再由乘法存在逆元得到，任意整數n（0除外）的倒數1/n必在域內；

•再由乘法成群（去除0後）得到，任意m/n（m和n是整數）也在域內。

這樣，就證明了有理數必須在數域之內，而且構成了一個域。因此，有理數是最小數域。

做完這個思維體操我們可以知道，不要小看群、環、域這樣一些基本概念，這些概念定義的是一種數學結構，只從基本概念出發，就可以得到很多複雜的結果。譬如直到上世紀80年代，數學家們才真正徹底解決了全部有限單群分類的問題，這是經過了近30年時間、由超過100位數學家在500多種期刊上寫下的超過10000頁的論文而最終解決的，其基礎則是200年前伽羅瓦提出的概念——群。

（3）群和域的同構

群，不是隨隨便便就能構成的；域，或許更復雜一些。

伽羅瓦發現，有些表象不同的群之間，其實質是完全相同的。這樣的群稱為是“同構”的，也就是說，這樣的群在結構和性質上都完全相同，只有表面符號上存在差別。同構的群在去掉表象之後，可以認為是同一個群。

比如，對某一向量進行旋轉的操作構成一個集合A={逆時針轉0度，逆時針120度，逆時針240度}，定義這個集合中元素的“乘法”為先進行第一個操作、再進行第二個操作，於是A在此“乘法”下構成一個群；再定義另外一個集合

定義其上的“乘法”為普通的複數乘法，則B在乘法下也構成一個群。簡單分析即可發現，A和B這兩個群結構是完全相同的。

群同構的嚴格定義是：存在兩個群A、B之間的一個雙射（即一一對應的映射）ϕ:A→B，滿足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b)，其中a、b∈A，ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B，*和×分別是群A和B的“乘法”。

類似的，域也有同構的情況。簡單說兩個域的同構定義為：兩個域上的“加法”群同構，並且去除“加法”單位元之後的兩個域上的“乘法”群也要同構。

好了，先不再講述數學概念了，一些不熟悉數學的人可能已經糊塗了。哪怕只看完最基本的概念，我們也會震驚於伽羅瓦的天才頭腦。一個16歲才開始接觸數學、21歲就因決鬥而死去的年輕人，是如何在那短短5年的時間裡面，想通如此複雜的數學構造、得到如此美妙的數學結論的呢？

二、巧妙的概念——擴域、根式可解、根式塔

伽羅瓦的故事

由於伽羅瓦的父親死於政治事件，再加上伽羅瓦自身的共和主義政治傾向，導致他偏執的認定他的論文丟失事件是由於政治原因而被法國科學院故意製造的。特別是一年以後，伽羅瓦的另外一篇論文被科學院拒稿後，他更認定了這一點。

但是，今天再來分析這件事，可以比較確定的講，伽羅瓦的這種判斷完全是他的一廂情願。事實上論文丟失很可能就是一個偶然事件（特別是由於傅立葉的去世），而第二次拒稿則是由於伽羅瓦的思維過於跳躍，論文中的論證過於簡單，沒有詳細展開，導致論文評審者無法判定論文是否嚴密正確。事實上，以伽羅瓦的天才，在他眼裡看來很簡單、顯然成立的論證過程，可能在別人眼裡看來是需要複雜證明的。

於是，伽羅瓦開始放鬆了他的研究工作而主要來從事共和主義事業的鬥爭。這時的伽羅瓦就讀於高等師範學校，他作為鬧事者的名氣已經超越了作為數學研究者的名聲，大家已經不再把他當作是數學研究者了，而更多的把他看成是鬧事學生。特別是在1830年的七月革命期間，他公開發表嚴厲攻擊校長的言論，終於被校長基尼約特給開除。從此，伽羅瓦的正式數學生涯到此結束。

被開除後的伽羅瓦參加了國民警衛隊的炮兵部隊，試圖成為一名職業反叛者。可是僅僅1個月後，新國王路易·菲利普取消了炮兵部隊，伽羅瓦徹底失業了。索菲·熱爾曼，一位當時的年長女數學家曾經在信件中記述伽羅瓦“他身無分文，他的母親也幾乎沒有錢財，但他卻不改變得罪人的習性”。

在1831年上半年的一次共和主義者聚會活動上，伽羅瓦表達了殺死國王的意圖，於是被控“威脅國王生命罪”而受審。陪審團最終考慮到他年僅20歲，尚未完全成熟，判決無罪釋放。一個月後，1831年7月14日的巴士底日，伽羅瓦身著已經被解散並查禁的炮兵警衛隊制服在巴黎遊行，從而被判處監禁。之後在監獄的幾個月中，他學會了喝酒，在一次喝醉後還試圖自殺。

1832年3月，由於霍亂的爆發，伽羅瓦被提前釋放。之後的幾個星期裡，伽羅瓦和一位巴黎醫生的女兒斯特凡妮發生了風流韻事。偏偏這個女人已經和一名叫做Pescheux d’Herbinville的紳士訂婚了。這名紳士知道了自己未婚妻和伽羅瓦的事情後，十分憤怒，毫不猶豫向伽羅瓦提出挑戰。這名紳士是當時法國一名最好的槍手，伽羅瓦深知決鬥會給自己帶來什麼，但是他仍然接受了挑戰。

挑戰的前夜，伽羅瓦知道第二天將是自己生命的終結了，他唯一擔心的是他被法國科學院拒絕的數學研究成果會永遠消失，畢竟當時還沒有人能夠理解他的理論。他在這一個晚上力圖寫下他全部的數學思想，書寫的字裡行間不時的出現“斯特凡妮”或者“一個女人”等字樣，還多次出現“我沒有時間了”的感嘆。在第二天凌晨，伽羅瓦寫完了他的數學思想，並給他的朋友寫了一封信。

信中，伽羅瓦自信地寫道：“在我的一生中，我常常敢於預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我寫在這裡的一切已經清清楚楚地在我腦海裡形成1年多了，我不願意使人懷疑我宣佈了自己未完全證明的定理。請公開請求雅可比或者高斯對這些定理的重要性（而不是定理的正確與否）發表他們的看法。然後，我希望有人會發現將這一堆東西整理清楚會是很有益處的事。”

第二天，1832年5月30日，伽羅瓦隻身一人參與決鬥，最終腹部中彈，無望地倒在地上，勝利者悄然離去。伽羅瓦的兄弟阿爾弗雷德在幾個小時之後到達現場，把他送到醫院，但是為時已晚，腹膜炎已經形成，5月31日，伽羅瓦離開了人世。

伽羅瓦理論

我無法想象1830年到1832年這段時間，伽羅瓦在食不果腹、不斷入獄的條件下，在把主要精力都投入到政治鬥爭的情況下，是如何繼續深入思考他的數學研究課題的。在我看來，即使衣食無憂的情況下想把伽羅瓦的理論全部學懂，都是不容易的，何況是創造出來。

由於伽羅瓦的研究成果是以上面提到的方式展現在世人面前的，因此沒有人能夠準確知道他到底是如何想到這些概念和證明的，先後順序是怎麼樣的，思維總體上是怎樣貫穿的？以下只是我個人的猜測。

（1）伽羅瓦可能首先從“域”的角度出發，思考了域的擴張。

我們知道，有理數域Q是最小的數域，實數R、複數C也都構成一個數域，那麼是否存在數域，範圍大於有理數Q但是小於實數R、或者大於R小於C呢？甚至是否存在數域，其範圍大於Q小於C，同時又不完全包含或者包含於R呢？這要從最小數域的擴張開始，域的擴張稱為擴域。

擴域：把某個域F中添加進一個或幾個不屬於這個域的元素，在不改變原來域的“加法”和“乘法”的條件下，按照域的定義形成的新域E被稱為原來域的擴域，記為E/F。

比如，我們在有理數域Q上添加一個無理數√2，形成一個新的數域Q(√2)，則Q(√2)/Q就是Q上的一個擴域。由域的定義知道，這個形成的新域不只是包含√2，還包含著任何通過有理數與√2進行加法和乘法得到的數。其實，除了加法和乘法，域裡面還有著逆元，加法的逆元運算對應著減法，乘法的逆元運算對應著除法。也就是說，表面上域定義了加法和乘法，實質上確定了加減乘除四則運算。域是更高層次上抽象出來的結構，但是落實到我們日常的數字和運算上，與小學就開始學習的四則運算沒有什麼不同。

可以證明，任何可以表示為a+b√2（a,b∈Q）的數都屬於Q(√2)這個域，而這個域裡面的任何數也都可以表示成為a+b√2（a,b∈Q）的形式。顯然，這個Q(√2)就是一個範圍大於Q但是小於R的數域。有了擴域這個工具，我們可以構造出無窮多個數域。

（2）之後伽羅瓦考慮的應該是如何定義方程的根式可解

因為在伽羅瓦從事數學研究的那5年，人們已經在開始猜測一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什麼是根式求解？字面意思很容易理解，就是一個一元高次方程的解如果可以使用方程的係數經過加減乘除和開方以及它們的組合運算表達出來，就是可以根式求解的；如果不能以這種方式表達，那就是不可以根式求解的。可這樣的定義雖然從語言和表達的角度來說沒有歧義，但是從數學的角度來說，還不夠清晰。

伽羅瓦通過自己的深入思考，給出了根式可解的更優美的定義。在瞭解這個優美定義之前，需要思考以下一些毫無疑問是正確的結論：

•一個數域裡面的任何數，都可以通過這個數域中的其它數的加減乘除運算組合表達出來；

•除了個別特殊情況外，一般來講，數域中某個數的開方運算的結果是不屬於這個數域的（類似於√2∉Q）；

•把數域中某個數開方運算的結果擴張進來成為一個擴域後，擴域中的數都可以使用原來數域中的數和這個開方運算的結果的加減乘除運算組合來表達，或者說這種擴域中的數一定可以使用原來數域之內的數的加減乘除和開方運算進行根式表達；

明白了上面這3條結論，就可以知道，能否根式表達與上面說的這種把數域中某個數的開方運算的結果擴張進來形成的擴域有著密切關係。我們把這種擴域定義為純擴域。

純擴域：B/F為擴域，B=F(d)，d∈B，dm∈F，此時把B稱為F的m型純擴域。

顯然，所謂m型純擴域就是在域F中找一個數開m次方，然後把開方結果擴進來形成的擴域。可別小看這個純擴域，根據前面的分析，純擴域B中的任何數都可以通過域F中的數的加減乘除和開m次方運算得到。如果繼續這樣擴域下去，把F擴為F1，把F1擴為F2，…，無論多少次這種擴域，只要是有限次，最終的擴域Fn中的數都可以由域F中的數經過加減乘除和開方運算得到。由此，引出一個新概念，根式塔。

根式塔：不斷擴域形成的域列，F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1，如果每個擴域Fi+1/Fi（i=1,2, …,r）都是一個純擴域，則稱此域列為一個根式塔。

於是，數域F中的數通過加減乘除和開方運算所能得到的數，一定包括在某個根式塔的Fr+1之中。由此，伽羅瓦給出了根式可解的更清晰優美的定義。

根式可解：設一元多次方程f(x)的全部係數都包含在域F之內，此方程的全部根都包含在域E之內，且E是包含f(x)全部根的最小域（此時稱E為F上多項式f(x)的根域），如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1，且E⊆ Fr+1，稱域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽羅瓦給出的根式可解定義，我有一種感覺，也許伽羅瓦的腦子天生就是結構化的，他可以直接在一個大的範疇上進行思考和邏輯推導。本來通過語言描述的根式可解是一種模模糊糊的東西，但是經過伽羅瓦重新定義的根式可解變得清晰明確，有數學實體可以抓了。

三、“神來之筆”——域的自同構、伽羅瓦群與伽羅瓦對應

伽羅瓦的故事

伽羅瓦的葬禮因政治原因而變得混亂，政府認為伽羅瓦的葬禮將會造成一次政治集會，為了維護穩定，政府在葬禮之前的晚上逮捕了30名伽羅瓦的同志。儘管如此，還是有兩千多個共和主義者參加了葬禮，從而與政府人員之間爆發了一場混戰。這之後，不斷有人懷疑伽羅瓦與斯特凡妮的風流韻事是一個陰謀，用來害死伽羅瓦的陰謀。直到今天，伽羅瓦到底是死於愚蠢的愛情還是政治陰謀仍然沒有定論。但無論是哪種原因，這位研究數學才5年但是卻被認為是最偉大的數學家之一的天才，在21歲的時候就離開了人世。這對數學界來說是一個重大的損失，只不過當時的人們還完全認識不到。

伽羅瓦之墓（圖片來源：Beachboy68/CC-BY-SA 3.0）

伽羅瓦雖然在決鬥的前夜把他的數學思想寫了出來，但是這種潦草的內容、跳躍的思維並不是立刻就被數學界所理解的。雖然伽羅瓦的兄弟和朋友把他寫下的數學思想重新整理了一遍，並分送給了高斯、雅可比等人，但是伽羅瓦的偉大研究成果仍然沒有得到理解和承認。直到14年後，法國數學家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）重新整理並發表了伽羅瓦的著作，才使得伽羅瓦理論逐漸被世人所理解。

劉維爾本人也是一位著名的數學家，一生從事數學、力學和天文學的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對雙週期橢圓函數、微分方程邊值問題和數論中的超越數問題有深入研究。他是第一個證實超越數存在的人。

即使是這樣一位著名數學家，仍然從1843年到1846年用了3年的時間來徹底研究伽羅瓦的理論，終於在1846年比較全面的理解了伽羅瓦的成就並發表出來。劉維爾雖然在數學領域有不小的貢獻，但很可能他整理、理解並發表伽羅瓦理論是他在數學領域最大的貢獻。代數學能夠取得今天的成就，劉維爾功勞不小。

劉維爾在反思為什麼伽羅瓦的理論在很長一段時間內不能得到理解的原因時，寫下了這樣一段話：

過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數這樣抽象和神祕的事物時，應該首先盡力避免這樣做。事實上，當你試圖引導讀者遠離習以為常的思路進入較為困惑的領域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：“在討論超前的問題時務必空前地清晰。”伽羅瓦太不把這條箴言放在心上,……

伽羅瓦再也回不來了！我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西……

我的熱心得到了好報。在填補了一些細小的缺陷後，我看出了伽羅瓦用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗到一種強烈的愉悅。

真心希望大家瞭解了伽羅瓦理論之後，能夠像劉維爾一樣有一種“強烈的愉悅感”。伽羅瓦的故事講完了，伽羅瓦那天才的思想還需要繼續。

伽羅瓦理論

從前面的介紹我們知道，根式可解需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。只知道這些，我們還是解決不了方程是否能夠根式求解的問題，因為我們仍然不知道怎樣判斷是否存在這種根式塔？

伽羅瓦在思考這個問題的時候，發現或者說找到了一種對應關係——伽羅瓦對應。應該講，這種對應關係是人類思維領域的“神來之筆”。我無法想象伽羅瓦到底是通過怎樣的思考發現了這種對應關係，對我自己來說，能夠較快理解伽羅瓦對應就已經謝天謝地了。

伽羅瓦對應的發現應該是從域的自同構映射開始的。

域的自同構映射：前面我們介紹了域的同構，知道了兩個域同構意味著兩個域之間存在著滿足同構關係的映射。顯然一個域一定是和自己同構的，我們把某個域E到自身的同構映射叫做自同構映射。事實上，這種自同構映射未必只有一個，我們把全部自同構映射組成的集合記為Aut（E）。

現在開始，我們的思維要在理解群、域的基礎上再上一個臺階，開始思考域的自同構映射組成的集合了。記住，Aut(E)中的元素是E→E集合間的映射。

下面再做一個稍複雜點的思維體操，定義Aut(E)上兩個元素σ1和σ2（注意，這裡的“1”和“2”都是下標，下文中的“3”同樣是下標）之間的“乘法”為σ1*σ2(a)=σ1(σ2(a))，證明Aut(E)在這個“乘法”下構成群。

<1> 構成群首先要滿足封閉性，也就是對於σ1∈Aut(E)和σ2∈Aut(E)，要證明σ1*σ2∈Aut(E)。證明如下：

請記住，Aut(E)中的σ都是自同構映射，必然滿足σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此，我們可以得到

也即σ1*σ2也滿足自同構映射的條件，於是σ1*σ2∈Aut(E)。封閉性得到了滿足。

<2> 結合律：

也就是(σ1*σ2)*σ3=σ1*(σ2*σ3)，滿足結合律。

<3> 單位元：顯然對於E→E上的恆等映射σe，滿足σe(a)=a，∀a∈E，容易驗證σe即為Aut(E)的單位元。

<4> 逆元：∀σ∈Aut(E)，a∈E且a≠0，有

於是得到，a≠b時，σ(a-b)=σ(a)-σ(b)≠0⇒σ(a)≠σ(b)。這說明σ是單射，單射必有逆映射，令其逆映射為σ-1，則必有σ*σ-1(a)=σ(σ-1(a))=a⇒σ*σ-1=σe，確定逆元必然存在。

綜上，Aut(E)在上述“乘法”定義下構成群。

對群、域不熟悉的人來說，也許這個思維體操稍微有些“繞”，但是對於熟悉的人來說，這個關係是一眼就可以看出來的。我想，如果一個不熟悉的人把上述並不複雜的推導看明白後，也會感覺到愉悅的。

當然，我相信對於伽羅瓦來說，上述結論是瞬間就想到了的。不僅如此，伽羅瓦還進一步找到了群Aut(E)的一類子群——我們今天稱之為伽羅瓦群。

伽羅瓦群：E/F是擴域，且E是係數在F內的某個多項式方程的根域（根域參見前面的說明，以後會將這種根域叫做F的正規擴域），E上全部自同構映射的集合Aut(E)中使F中元素不變的那些映射形成的子集構成Aut(E)的一個子群，稱為E在F上的伽羅瓦群，記為G(E/F)。

概念越來越複雜了，解釋一下，就是Aut(E)中的自同構映射，有一部分是在F上的恆等映射，也就是說F中的元素在這些映射的作用下是不變的，這類映射的全體組成的集合也構成一個群，是Aut(E)的子群，叫做E在F上的伽羅瓦群。

有人會問，為什麼要搞出個伽羅瓦群的概念呢？下面就是見證奇蹟的時刻了：

設f(x)∈F[x]（意思是f(x)的係數都在F內），則對於任意σ∈G(E/F)，必然有σ(f(x))=f(x)，這是因為σ作用在F上是恆等映射；同時，設方程f(x)=0有n個根，分別是a1、a2、…、an，那麼f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)，於是σ(f(x))=(x-σ(a1))(x-σ(a2))…(x-σ(an))=f(x)= (x-a1)(x-a2)…(x-an)。這說明σ(a1)、σ(a2)、…、σ(an)只是a1、a2、…、an的一組置換（意思是，還是這n個數，只是位置發生了變化，如σ(a1)= a2、σ(a2)=a1之類的變換）！

看到了麼，伽羅瓦群中的每個映射都對應著方程根的一組置換！要知道，從500年前的費爾洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔爾塔利亞、卡丹、費拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日創造出了方程的預解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的計算推導中，模模糊糊的察覺到方程的解與根的置換似乎有關係。直到伽羅瓦橫空出世，清晰地告訴世人，一元高次方程是否可以根式求解的奧祕，就藏在這些根的置換當中。

當然，只知道寶藏的位置還不夠，還需要有打開寶藏的鑰匙。天才的伽羅瓦找到了這把鑰匙，我把它稱為“神來之筆”——伽羅瓦對應。

記得討論根式可解的時候，我們說需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。假設存在一個域列F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1=E（注意，這個域列不要求一定是根式塔），且E/F是正規擴域（參見上面描述），則可以證明任意E/Fi，i=1, …,r，也是正規擴域。於是存在一組伽羅瓦群G(E/Fi)，這組伽羅瓦群都是G(E/F)的子群，而且可以證明每個G(E/F)的子群一定對應著一個E的子域，這種對應是一一對應，這個神奇的對應被稱做伽羅瓦對應。

通過伽羅瓦對應，我們把對複雜的域列問題的研究轉換到了對伽羅瓦群的子群列的研究上，這就是打開方程根式可解的金鑰匙。

伽羅瓦那不到20歲的頭腦中，可能就已經想通了這些問題。當我想到這一點的時候，心中對伽羅瓦的欽佩感無以復加。就像有人評論，歐拉作為數學史上最偉大的數學家之一，他對數學貢獻的豐富程度可能遠超伽羅瓦，但是如果考慮到歐拉專心研究數學60年，而伽羅瓦僅僅是殘缺不全的5年，那麼從天賦上講，大數學家歐拉完敗於伽羅瓦。

四、美妙結論——正規子群、可解群、正規擴域

繼續深入寫下去所涉及到的數學知識、邏輯複雜度都大大地提升了。考慮到這篇文章的目的是寄希望於數學愛好者之外的人也能儘量理解，就不再深入描述後面的理論了。我承諾大家，從現在開始，不再使用任何數學符號了。

前面說了，E是每個Fi的正規擴域，但是相鄰Fi之間卻不一定是正規擴域。要知道，純擴域必然是正規擴域，域列想成為根式塔，或者說相鄰域都是純擴域，就必然要求相鄰Fi之間都是正規擴域。伽羅瓦證明了，相鄰Fi之間都是正規擴域等價於對應的相鄰伽羅瓦群是正規子群。

正規子群意味著商集合成群，或者說相鄰伽羅瓦群的商群存在，如果這個商群是可換群（群內的“乘法”滿足交換律），那麼這樣的伽羅瓦群被稱為可解群。

通過進一步複雜的證明可以得到，域F上的方程f(x)的根域為E，如果伽羅瓦群G(E/F)是可解群，那麼f(x)可根式求解；如果f(x)可根式求解，則伽羅瓦群G(E/F)必為可解群。即方程的根式可解等價於方程的伽羅瓦群為可解群！

從此，困擾了人們數百年之久的多項式方程根式可解問題被伽羅瓦漂亮而徹底地解決了，以他名字命名的伽羅瓦理論從此誕生。在解決這個問題的過程中，群論、域論交相輝映，迂迴曲折，難怪當時的那些審評大師們如墮五里霧中。“就伽羅瓦的概念和思想的獨創性和深刻性而言，任何人都是不能與之相比的。”法國數學家畢卡（C..Picard, 1856-1941）在1879年評述19世紀數學成就時如是說。

再回想本文開篇引用的伽羅瓦自己所寫的話“跳出計算，群化運算，按照它們的複雜度而不是表象來分類——我相信，這是未來數學的任務，這也正是我的工作所揭示出來的道路。”，相信每個瞭解了伽羅瓦理論的人都會有更深刻的認識。

總結一下伽羅瓦的思想：一是在更高的層次上看待數和計算，形成了群、域的概念；二是通過域和擴域的方法給出了方程根式可解的更準確的數學定義；三是發現了域的某類自同構映射對應著方程根的置換，找到了方程根式可解的奧祕；四是找到了“伽羅瓦對應”這把打開奧祕大門的鑰匙，把域列和群列優美地對應了起來；五是基於深刻的邏輯推導形成了可解群的概念，並證明了根式可解與伽羅瓦群是可解群的等價關係。

伽羅瓦給朋友寫的信的最後一頁（圖片來源：公有領域）

伽羅瓦理論是一個非常“好”的數學成果，它不是僅僅解決了多項式方程根式求解的問題，它還是一個非常有價值的數學工具，伽羅瓦理論的思想開創了代數學從研究“計算”到研究“結構”的先河，打開了現代代數學研究的大門。遺憾的是，200年後的今天，在網上查找抽象代數的相關知識時，中文的內容還是非常少。很多國人對數學的觀念還停留在速算、數獨、找規律甚至是腦筋急轉彎的層面。這種狀況可能還比不上200年前的法國。

真心希望國人能夠對數學之美有著更準確的認識和欣賞能力，起碼能理解200年前數學研究前沿達到的高度吧。

本文經作者授權轉載。

原文於2017年4月14日發表於作者的科學網博客，題目為《伽羅瓦理論之美》

原文鏈接：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=409681&do=blog&id=1048911

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