數據結構

鏈表

• 鏈表是一種由節點（Node）組成的線性數據集合，每個節點通過指針指向下一個節點。它是一種由節點組成，並能用於表示序列的數據結構。
• 單鏈表：每個節點僅指向下一個節點，最後一個節點指向空（null）。
• 雙鏈表：每個節點有兩個指針p，n。p指向前一個節點，n指向下一個節點；最後一個節點指向空。
• 循環鏈表：每個節點指向下一個節點，最後一個節點指向第一個節點。
• 時間複雜度：
• 索引：O(n)
• 查找：O(n)
• 插入：O(1)
• 刪除：O(1)

棧

• 棧是一個元素集合，支持兩個基本操作：push用於將元素壓入棧，pop用於刪除棧頂元素。
• 後進先出的數據結構（Last In First Out, LIFO）
• 時間複雜度
• 索引：O(n)
• 查找：O(n)
• 插入：O(1)
• 刪除：O(1)

隊列

• 隊列是一個元素集合，支持兩種基本操作：enqueue 用於添加一個元素到隊列，dequeue 用於刪除隊列中的一個元素。
• 先進先出的數據結構（First In First Out, FIFO）。
• 時間複雜度
• 索引：O(n)
• 查找：O(n)
• 插入：O(1)
• 刪除：O(1)

樹

• 樹是無向、聯通的無環圖。

二叉樹

• 二叉樹是一個樹形數據結構，每個節點最多可以有兩個子節點，稱為左子節點和右子節點。
• 滿二叉樹（Full Tree）：二叉樹中的每個節點有 0 或者 2 個子節點。
• 完美二叉樹（Perfect Binary）：二叉樹中的每個節點有兩個子節點，並且所有的葉子節點的深度是一樣的。
• 完全二叉樹：二叉樹中除最後一層外其他各層的節點數均達到最大值，最後一層的節點都連續集中在最左邊。

二叉查找樹

• 二叉查找樹（BST）是一種二叉樹。其任何節點的值都大於等於左子樹中的值，小於等於右子樹中的值。
• 時間複雜度
• 索引：O(log(n))
• 查找：O(log(n))
• 插入：O(log(n))
• 刪除：O(log(n))

字典樹

• 字典樹，又稱為基數樹或前綴樹，是一種用於存儲鍵值為字符串的動態集合或關聯數組的查找樹。樹中的節點並不直接存儲關聯鍵值，而是該節點在樹中的位置決定了其關聯鍵值。一個節點的所有子節點都有相同的前綴，根節點則是空字符串。

樹狀數組

• 樹狀數組，又稱為二進制索引樹（Binary Indexed Tree，BIT），其概念上是樹，但以數組實現。數組中的下標代表樹中的節點，每個節點的父節點或子節點的下標可以通過位運算獲得。數組中的每個元素都包含了預計算的區間值之和，在整個樹更新的過程中，這些計算的值也同樣會被更新。
• 時間複雜度
• 區間求和：O(log(n))
• 更新：O(log(n))

線段樹

• 線段樹是用於存儲區間和線段的樹形數據結構。它允許查找一個節點在若干條線段中出現的次數。
• 時間複雜度
• 區間查找：O(log(n))
• 更新：O(log(n))

堆

• 堆是一種基於樹的滿足某些特性的數據結構：整個堆中的所有父子節點的鍵值都滿足相同的排序條件。堆分為最大堆和最小堆。在最大堆中，父節點的鍵值永遠大於等於所有子節點的鍵值，根節點的鍵值是最大的。最小堆中，父節點的鍵值永遠小於等於所有子節點的鍵值，根節點的鍵值是最小的。
• 時間複雜度
• 索引：O(log(n))
• 查找：O(log(n))
• 插入：O(log(n))
• 刪除：O(log(n))
• 刪除最大值/最小值：O(1)

哈希

• 哈希用於將任意長度的數據映射到固定長度的數據。哈希函數的返回值被稱為哈希值、哈希碼或者哈希。如果不同的主鍵得到相同的哈希值，則發生了衝突。
• Hash Map：hash map 是一個存儲鍵值間關係的數據結構。HashMap 通過哈希函數將鍵轉化為桶或者槽中的下標，從而便於指定值的查找。
• 衝突解決
• 鏈地址法（Separate Chaining）：在鏈地址法中，每個桶（bucket）是相互獨立的，每一個索引對應一個元素列表。處理HashMap 的時間就是查找桶的時間（常量）與遍歷列表元素的時間之和。
• 開放地址法（Open Addressing）：在開放地址方法中，當插入新值時，會判斷該值對應的哈希桶是否存在，如果存在則根據某種算法依次選擇下一個可能的位置，直到找到一個未被佔用的地址。開放地址即某個元素的位置並不永遠由其哈希值決定。

圖

• 圖是G =（V，E）的有序對，其包括頂點或節點的集合 V 以及邊或弧的集合E，其中E包括了兩個來自V的元素（即邊與兩個頂點相關聯 ，並且該關聯為這兩個頂點的無序對）。
• 無向圖：圖的鄰接矩陣是對稱的，因此如果存在節點 u 到節點 v 的邊，那節點 v 到節點 u 的邊也一定存在。
• 有向圖：圖的鄰接矩陣不是對稱的。因此如果存在節點 u 到節點 v 的邊並不意味著一定存在節點 v 到節點 u 的邊。

算法

排序

快速排序

• 穩定：否
• 時間複雜度
• 最優：O(nlog(n))
• 最差：O(n^2)
• 平均：O(nlog(n))

合併排序

• 合併排序是一種分治算法。這個算法不斷地將一個數組分為兩部分，分別對左子數組和右子數組排序，然後將兩個數組合併為新的有序數組。
• 穩定：是
• 時間複雜度：
• 最優：O(nlog(n))
• 最差：O(nlog(n))
• 平均：O(nlog(n))

桶排序

• 桶排序是一種將元素分到一定數量的桶中的排序算法。每個桶內部採用其他算法排序，或遞歸調用桶排序。
• 時間複雜度
• 最優：Ω(n + k)
• 最差: O(n^2)
• 平均：Θ(n + k)

基數排序

• 基數排序類似於桶排序，將元素分發到一定數目的桶中。不同的是，基數排序在分割元素之後沒有讓每個桶單獨進行排序，而是直接做了合併操作。
• 時間複雜度
• 最優：Ω(nk)
• 最差: O(nk)
• 平均：Θ(nk)

圖算法

深度優先搜索

• 深度優先搜索是一種先遍歷子節點而不回溯的圖遍歷算法。
• 時間複雜度：O(|V| + |E|)

廣度優先搜索

• 廣度優先搜索是一種先遍歷鄰居節點而不是子節點的圖遍歷算法。
• 時間複雜度：O(|V| + |E|)

拓撲排序

• 拓撲排序是有向圖節點的線性排序。對於任何一條節點 u 到節點 v 的邊，u 的下標先於 v。
• 時間複雜度：O(|V| + |E|)

Dijkstra算法

• Dijkstra 算法是一種在有向圖中查找單源最短路徑的算法。
• 時間複雜度：O(|V|^2)

Bellman-Ford算法

• Bellman-Ford 是一種在帶權圖中查找單一源點到其他節點最短路徑的算法。
• 雖然時間複雜度大於 Dijkstra 算法，但它可以處理包含了負值邊的圖。
• 時間複雜度：
• 最優：O(|E|)
• 最差：O(|V||E|)

Floyd-Warshall 算法

• Floyd-Warshall 算法是一種在無環帶權圖中尋找任意節點間最短路徑的算法。
• 該算法執行一次即可找到所有節點間的最短路徑（路徑權重和）。
• 時間複雜度：
• 最優：O(|V|^3)
• 最差：O(|V|^3)
• 平均：O(|V|^3)

最小生成樹算法

• 最小生成樹算法是一種在無向帶權圖中查找最小生成樹的貪心算法。換言之，最小生成樹算法能在一個圖中找到連接所有節點的邊的最小子集。
• 時間複雜度：O(|V|^2)

Kruskal 算法

• Kruskal 算法也是一個計算最小生成樹的貪心算法，但在 Kruskal 算法中，圖不一定是連通的。
• 時間複雜度：O(|E|log|V|)

貪心算法

• 貪心算法總是做出在當前看來最優的選擇，並希望最後整體也是最優的。
• 使用貪心算法可以解決的問題必須具有如下兩種特性：
• 最優子結構
• 問題的最優解包含其子問題的最優解。
• 貪心選擇
• 每一步的貪心選擇可以得到問題的整體最優解。
• 實例-硬幣選擇問題
• 給定期望的硬幣總和為 V 分，以及 n 種硬幣，即類型是 i 的硬幣共有 coinValue[i] 分，i的範圍是 [0…n – 1]。假設每種類型的硬幣都有無限個，求解為使和為 V 分最少需要多少硬幣？
• 硬幣：便士（1美分），鎳（5美分），一角（10美分），四分之一（25美分）。
• 假設總和 V 為41,。我們可以使用貪心算法查找小於或者等於 V 的面值最大的硬幣，然後從 V 中減掉該硬幣的值，如此重複進行。
• V = 41 | 使用了0個硬幣
• V = 16 | 使用了1個硬幣(41 – 25 = 16)
• V = 6 | 使用了2個硬幣(16 – 10 = 6)
• V = 1 | 使用了3個硬幣(6 – 5 = 1)
• V = 0 | 使用了4個硬幣(1 – 1 = 0)

位運算

• 位運算即在比特級別進行操作的技術。使用位運算技術可以帶來更快的運行速度與更小的內存使用。
• 測試第 k 位：s & (1 << k);
• 設置第k位：s |= (1 << k);
• 關閉第k位：s &= ~(1 << k);
• 切換第k位：s ^= (1 << k);
• 乘以2n：s << n;
• 除以2n：s >> n;
• 交集：s & t;
• 並集：s | t;
• 減法：s & ~t;
• 提取最小非0位：s & (-s);
• 提取最小0位：~s & (s + 1);
• 交換值：x ^= y; y ^= x; x ^= y;

運行時分析

大 O 表示

• 大 O 表示用於表示某個算法的上界，用於描述最壞的情況。

小 O 表示

• 小 O 表示用於描述某個算法的漸進上界，二者逐漸趨近。

大 Ω 表示

• 大 Ω 表示用於描述某個算法的漸進下界。

小 ω 表示

• 小 ω 表示用於描述某個算法的漸進下界，二者逐漸趨近。

Theta Θ 表示

• Theta Θ 表示用於描述某個算法的確界，包括最小上界和最大下界。

代碼實現。

最後小編為大家準備了一些學習教程，希望可以幫助到大家。

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