相關閱讀：幫你理解微積分
之前向大家介紹瞭如何使用微積分來求圓的面積，如果沒有看過，可以翻看之前的文章補習一下，本文就把知識水平提高到高中，球的面積和體積如何去使用微積分解決；
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
另外因為南半球和北半球是一樣的，所以結果要乘以2：
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
另外因為南半球和北半球是一樣的，所以結果要乘以2：
球體積積分
球可以看成一層一層的球面，越到裡面，球面越小，可以想象一下洋蔥，一層一層的
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
另外因為南半球和北半球是一樣的，所以結果要乘以2：
球體積積分
球可以看成一層一層的球面，越到裡面，球面越小，可以想象一下洋蔥，一層一層的
千層結構
每一層體積就是面積乘以厚度，面積就是前文中得出的球面積，厚度就是需要積分的變量，從圓心到球面R，積分式子如下：
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球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
另外因為南半球和北半球是一樣的，所以結果要乘以2：
球體積積分
球可以看成一層一層的球面，越到裡面，球面越小，可以想象一下洋蔥，一層一層的
千層結構
每一層體積就是面積乘以厚度，面積就是前文中得出的球面積，厚度就是需要積分的變量，從圓心到球面R，積分式子如下：
多重積分
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之前向大家介紹瞭如何使用微積分來求圓的面積，如果沒有看過，可以翻看之前的文章補習一下，本文就把知識水平提高到高中，球的面積和體積如何去使用微積分解決；
球
球面積分
球面肯定比平面的圓要複雜一些，不過還是相同的步驟，先微分，再積分，分解方式我們使用角度分解，如下圖：
微分示意圖
如果把球比作地球的話，我們看上半球，把赤道面到地軸的夾角分解，其中θ為半徑和赤道面的夾角，dθ為夾角的微分，這樣，上半球面就分解成一圈一圈的環（類似削蘋果高手削出來的蘋果皮，只不過圈和圈之間沒有連接），每一圈都可以展品成一個矩形，關係如下：
矩形面積 = 長 x 寬 = 水平小圓周長 x θ角對應弧長
寬為dθ角對應的弧長R*dθ,長度為水平小圓（圖中赤道面為水平大圓，之上的小一點的圓稱為水平小圓）的周長，水平小圓的半徑可以根據三角函數求出來，為R*Cosθ,這樣小圓周長自然就是：
水平小圓周長 = 2 x 圓周率 x 水平小圓半徑
於是有：
矩形面積 = 2 x 圓周率 x （R x Cosθ） x （R x dθ）
積分式（符號參照上圖）：
因為只考慮北半球，所以角度積分範圍為0到90度：
另外因為南半球和北半球是一樣的，所以結果要乘以2：
球體積積分
球可以看成一層一層的球面，越到裡面，球面越小，可以想象一下洋蔥，一層一層的
千層結構
每一層體積就是面積乘以厚度，面積就是前文中得出的球面積，厚度就是需要積分的變量，從圓心到球面R，積分式子如下：
多重積分
注意，球面積分可以從-90度積分到90度，因為餘弦都是正數，不會有問題，內層積分的半徑為外層積分的變量，實際效果就是內層積分計算面積，然後外層積分再計算體積，有了前面的知識，就很容易理解多重積分是怎麼回事；
如果你看懂了上述過程，恭喜你，你已經達到微積分幼兒園的水平了！
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