'如何不用微積分算個球？'

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

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就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

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Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

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所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r²-h²），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr²（圓柱截面）-πh²（圓錐截面），它們正好相等。

於是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。

算個球的體積！

瞭解了祖𣈶原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！

由祖𣈶原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。

眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V_圓柱= πr²*r = πr³。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V_圓錐= πr³/3，正好是圓柱的三分之一。

好奇寶寶也許會問，三分之一是怎麼來的？既然你誠心誠意的問了，祖𣈶會大發慈悲的為你解答。

我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh²），然後把煩人的 π 除去，截面積就成了 h²。那麼誰的截面積是用 h² 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四稜錐。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r²-h²），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr²（圓柱截面）-πh²（圓錐截面），它們正好相等。

於是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。

算個球的體積！

瞭解了祖𣈶原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！

由祖𣈶原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。

眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V_圓柱= πr²*r = πr³。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V_圓錐= πr³/3，正好是圓柱的三分之一。

好奇寶寶也許會問，三分之一是怎麼來的？既然你誠心誠意的問了，祖𣈶會大發慈悲的為你解答。

我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh²），然後把煩人的 π 除去，截面積就成了 h²。那麼誰的截面積是用 h² 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四稜錐。

a. 除去 π 後，圓錐變成了四稜錐（平視圖）

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r²-h²），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr²（圓柱截面）-πh²（圓錐截面），它們正好相等。

於是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。

算個球的體積！

瞭解了祖𣈶原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！

由祖𣈶原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。

眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V_圓柱= πr²*r = πr³。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V_圓錐= πr³/3，正好是圓柱的三分之一。

好奇寶寶也許會問，三分之一是怎麼來的？既然你誠心誠意的問了，祖𣈶會大發慈悲的為你解答。

我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh²），然後把煩人的 π 除去，截面積就成了 h²。那麼誰的截面積是用 h² 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四稜錐。

a. 除去 π 後，圓錐變成了四稜錐（平視圖）

b. 四稜錐每一個橫截面都是邊長為 h 的正方形（斜視圖）

這下好了，僅僅是做了個除法，問題似乎已經簡單多了！

但你可能還是會問，四稜錐的體積又要怎麼計算呢？彆著急，我們先好好觀察一下這個四稜錐。它的頂點在中心上方，感覺還是不夠友好，怎麼能再變換一下形狀呢，沒錯，是時候祭出祖𣈶原理了。

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r²-h²），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr²（圓柱截面）-πh²（圓錐截面），它們正好相等。

於是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。

算個球的體積！

瞭解了祖𣈶原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！

由祖𣈶原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。

眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V_圓柱= πr²*r = πr³。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V_圓錐= πr³/3，正好是圓柱的三分之一。

好奇寶寶也許會問，三分之一是怎麼來的？既然你誠心誠意的問了，祖𣈶會大發慈悲的為你解答。

我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh²），然後把煩人的 π 除去，截面積就成了 h²。那麼誰的截面積是用 h² 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四稜錐。

a. 除去 π 後，圓錐變成了四稜錐（平視圖）

b. 四稜錐每一個橫截面都是邊長為 h 的正方形（斜視圖）

這下好了，僅僅是做了個除法，問題似乎已經簡單多了！

但你可能還是會問，四稜錐的體積又要怎麼計算呢？彆著急，我們先好好觀察一下這個四稜錐。它的頂點在中心上方，感覺還是不夠友好，怎麼能再變換一下形狀呢，沒錯，是時候祭出祖𣈶原理了。

把頂點移到一個角上，新的四稜錐有三條互相垂直的邊，並且體積不變

到了這裡，問題基本上已經解決了。什麼，你還沒看出來？調動你的空間想象力，調整一下角度，把這樣的四稜錐放在正方體裡似乎正合適，你能看出可以同時放進幾個嗎？

前段時間有人問，球的體積計算公式是什麼？

由於長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦後。之後再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。

於是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關係。那麼怎樣不用微積分就能算個球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖𣈶原理。

算個球的表面積！

眾所周知，球的表面積公式是 4πr²，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什麼正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什麼不可告人的祕密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。

這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個祕密：4πr²正好是這個球外接圓柱的外圍面積。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和裡面這顆球的表面積不謀而合！

就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。

Credit: 3blue1brown

小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什麼不為人知的變化。

先看俯視圖：

Credit: 3blue1brown

從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。

所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之後，寬度增加得越多；位於赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。

EF 被拉長成了 CD

如果你知道相似三角形的比例關係，由於 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

對於球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。

類似地，可以看看平視方向的情況：

Credit: 3blue1brown

顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。

因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之後高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。

JH 投影后萎縮成了 EF

顯然 ∠α=∠β=∠γ，於是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關係，我們知道：

EF/JH = d/r

也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。

於是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之後形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等於 1。

如此一來，小塊投影前後的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。

投影變化前後，小塊的面積不變

那麼，算個球的表面積 S_球= S_筒 = 2πr*2r = 4πr²。

祖𣈶原理

祖𣈶原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列裡原理），因為卡瓦列裡在17世紀提出了類似的等積原理，用於複雜幾何領域，但實際上祖𣈶的發現比他早了1100年。

“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自於祖𣈶。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這裡的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。

祖𣈶原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:

圖中球的體積等於圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小夥伴可以用半球為例，試著計算。

利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r²-h²），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr²（圓柱截面）-πh²（圓錐截面），它們正好相等。

於是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。

算個球的體積！

瞭解了祖𣈶原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！

由祖𣈶原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。

眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V_圓柱= πr²*r = πr³。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V_圓錐= πr³/3，正好是圓柱的三分之一。

好奇寶寶也許會問，三分之一是怎麼來的？既然你誠心誠意的問了，祖𣈶會大發慈悲的為你解答。

我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh²），然後把煩人的 π 除去，截面積就成了 h²。那麼誰的截面積是用 h² 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四稜錐。

a. 除去 π 後，圓錐變成了四稜錐（平視圖）

b. 四稜錐每一個橫截面都是邊長為 h 的正方形（斜視圖）

這下好了，僅僅是做了個除法，問題似乎已經簡單多了！

但你可能還是會問，四稜錐的體積又要怎麼計算呢？彆著急，我們先好好觀察一下這個四稜錐。它的頂點在中心上方，感覺還是不夠友好，怎麼能再變換一下形狀呢，沒錯，是時候祭出祖𣈶原理了。

把頂點移到一個角上，新的四稜錐有三條互相垂直的邊，並且體積不變

到了這裡，問題基本上已經解決了。什麼，你還沒看出來？調動你的空間想象力，調整一下角度，把這樣的四稜錐放在正方體裡似乎正合適，你能看出可以同時放進幾個嗎？

為了讓你們相信是 3 個而精心製作的 gif 動圖

是 3 個！萬事大吉~

正方體的體積顯然是 r³，這樣一來，四稜錐體積就是 r³/3。接著，對應圓錐的體積只需要乘上 π，V_圓錐= r³/3*π。最後半球的體積 V_半球= V_圓柱 - V_圓錐= πr³-πr³/3 = 2/3 (πr³)，所以 V_球= 4/3 (πr³)，是不是和書上寫的公式一模一樣呢！

成功算球！完結撒花~

作為一期數學類的硬核推送，小編想說的是，很多時候只要切換一下思路，嘗試別的工具，就可能開闢出新的道路。

所謂的數學之光，我想也就是在這裡。

參考資料

Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg

Ⅱ. https://b23.tv/av33120854

來源：牛油果進化論

編輯：Quanta Yuan
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