從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數相結合。

在這裡以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學們參考，都掌握了之後一定會在壓軸題上有一個大的提升。

ps.因格式問題，部分上標未能正常顯示，望知悉。

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題目

如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於A(1，0)，B(－3，0)兩點。

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(1)中的拋物線交y軸於C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的座標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的座標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由。

解答：

(1)拋物線解析式為y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法．

解法1

補形、割形法

幾何圖形中常見的處理方式有分割、補形等，此類方法的要點在於把所求圖形的面積進行適當的補或割，變成有利於表示面積的圖形。

方法一

如圖3，設P點（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．

方法二 如圖4，設P點(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．

（下略．）

解法2

“鉛垂高，水平寬”面積法

如圖5，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計算三角形面積的另一種方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面積等於水平寬與鉛垂高乘積的一半。

根據上述方法，本題解答如下：

解 如圖6，作PE⊥x軸於點E，交BC於點F．

設P點（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．

∴點P座標為（－3/2，15/4）

解法3

切線法

若要使△PBC的面積最大，只需使BC上的高最大．過點P作BC的平行線l，當直線l與拋物線有唯一交點(即點P)時，BC上的高最大，此時△PBC的面積最大，於是，得到下面的切線法。

解 如圖7，直線BC的解析式是y＝x＋3，過點P作BC的平行線l，從而可設直線l的解析式為：y＝x＋b．

=27/8

解法4

三角函數法

本題也可直接利用三角函數法求得．

解 如圖8，作PE⊥x軸交於點E，交BC於點F，作PM⊥BC於點M．

設P點（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），

則F(x，x＋3)．

從以上四種解法可以看到，本題解題思路都是過點P作輔助線，然後利用相關性質找出各元素之間的關係進行求解。

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