求40道雞兔同籠應用題，和解答？

典型應用題之雞兔同籠

一,基本問題

"雞兔同籠"是一類有名的中國古算題.最早出現在《孫子算經》中.許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題,或者用解它的典型解法--"假設法"來求解.因此很有必要學會它的解法和思路.

例1 有若干只雞和兔子,它們共有88個頭,244只腳,雞和兔各有多少隻

解:我們設想,每隻雞都是"金雞獨立",一隻腳站著;而每隻兔子都用兩條後腿,像人一樣用兩隻腳站著.現在,地面上出現腳的總數的一半,·也就是

244÷2=122(只).

在122這個數裡,雞的頭數算了一次,兔子的頭數相當於算了兩次.因此從122減去總頭數88,剩下的就是兔子頭數

122-88=34,

有34只兔子.當然雞就有54只.

答:有兔子34只,雞54只.

上面的計算,可以歸結為下面算式:

總腳數÷2-總頭數=兔子數.

上面的解法是《孫子算經》中記載的.做一次除法和一次減法,馬上能求出兔子數,多簡單!能夠這樣算,主要利用了兔和雞的腳數分別是4和2,4又是2的2倍.可是,當其他問題轉化成這類問題時,"腳數"就不一定是4和2,上面的計算方法就行不通.因此,我們對這類問題給出一種一般解法.

還說例1.

如果設想88只都是兔子,那麼就有4×88只腳,比244只腳多了

88×4-244=108(只).

每隻雞比兔子少(4-2)只腳,所以共有雞

(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).

說明我們設想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式

雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數).

當然,我們也可以設想88只都是"雞",那麼共有腳2×88=176(只),比244只腳少了

244-176=68(只).

每隻雞比每隻兔子少(4-2)只腳,

68÷2=34(只).

說明設想中的"雞",有34只是兔子,也可以列出公式

兔數=(總腳數-雞腳數×總頭數)÷(兔腳數-雞腳數).

上面兩個公式不必都用,用其中一個算出兔數或雞數,再用總頭數去減,就知道另一個數.

假設全是雞,或者全是兔,通常用這樣的思路求解,有人稱為"假設法".

現在,拿一個具體問題來試試上面的公式.

例2 紅鉛筆每支0.19元,藍鉛筆每支0.11元,兩種鉛筆共買了16支,花了2.80元.問紅,藍鉛筆各買幾支

解:以"分"作為錢的單位.我們設想,一種"雞"有11只腳,一種"兔子"有19只腳,它們共有16個頭,280只腳.

現在已經把買鉛筆問題,轉化成"雞兔同籠"問題了.利用上面算兔數公式,就有

藍筆數=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3(支).

紅筆數=16-3=13(支).

答:買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆.

對於這類問題的計算,常常可以利用已知腳數的特殊性.例2中的"腳數"19與11之和是30.我們也可以設想16只中,8只是"兔子",8只是"雞",根據這一設想,腳數是

8×(11+19)=240.

比280少40.

40÷(19-11)=5.

就知道設想中的8只"雞"應少5只,也就是"雞"(藍鉛筆)數是3.

30×8比19×16或11×16要容易計算些.利用已知數的特殊性,靠心算來完成計算.

實際上,可以任意設想一個方便的兔數或雞數.例如,設想16只中,"兔數"為10,"雞數"為6,就有腳數

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道設想6只"雞",要少3只.

要使設想的數,能給計算帶來方便,常常取決於你的心算本領.

下面再舉四個稍有難度的例子.

例3 一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現在甲單獨打若干小時後,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時

解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份).

現在把甲打字的時間看成"兔"頭數,乙打字的時間看成"雞"頭數,總頭數是7."兔"的腳數是5,"雞"的腳數是3,總腳數是30,就把問題轉化成"雞兔同籠"問題了.

根據前面的公式

"兔"數=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"雞"數=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小時,乙打字用了2.5小時.

答:甲打字用了4小時30分.

例4 今年是1998年,父母年齡(整數)和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年後(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那麼當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪一年

解:4年後,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數,弟的年齡看作"兔"頭數.25是"總頭數".86是"總腳數".根據公式,兄的年齡是

(25×4-86)÷(4-3)=14(歲).

1998年,兄年齡是

14-4=10(歲).

父年齡是

(25-14)×4-4=40(歲).

因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是

(40-10)÷(3-1)=15(歲).

這是2003年.

答:公元2003年時,父年齡是兄年齡的3倍.

例5 蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對翅膀,蟬有6條腿和1對翅膀.現在這三種小蟲共18只,有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾隻

解:因為蜻蜓和蟬都有6條腿,所以從腿的數目來考慮,可以把小蟲分成"8條腿"與"6條腿"兩種.利用公式就可以算出8條腿的

蜘蛛數=(118-6×18)÷(8-6)

=5(只).

因此就知道6條腿的小蟲共

18-5=13(只).

也就是蜻蜓和蟬共有13只,它們共有20對翅膀.再利用一次公式

蟬數=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).

因此蜻蜓數是13-6=7(只).

答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬.

例6 某次數學考試考五道題,全班52人蔘加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數一樣多,那麼做對4道的人數有多少人

解:對2道,3道,4道題的人共有

52-7-6=39(人).

他們共做對

181-1×7-5×6=144(道).

由於對2道和3道題的人數一樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣

兔腳數=4,雞腳數=2.5,

總腳數=144,總頭數=39.

對4道題的有

(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

答:做對4道題的有31人.

習題一

1.龜鶴共有100個頭,350只腳.龜,鶴各多少隻

2.學校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120個學生同時進行活動.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副

3.一些2分和5分的硬幣,共值2.99元,其中2分硬幣個數是5分硬幣個數的4倍,問5分硬幣有多少個

4.某人領得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣,共50張,其中2元與5元的張數一樣多.那麼2元,5元,10元各有多少張

5.一件工程,甲單獨做12天完成,乙單獨做18天完成,現在甲做了若干天后,再由乙接著單獨做完餘下的部分,這樣前後共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托車賽全程長281千米,全程被劃分成若干個階段,每一階段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的.已知摩托車跑完全程後,共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段

7.用1元錢買4分,8分,1角的郵票共15張,問最多可以買1角的郵票多少張

二,"兩數之差"的問題

雞兔同籠中的總頭數是"兩數之和",如果把條件換成"兩數之差",又應該怎樣去解呢

例7 買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那麼兩種郵票各買了多少張

解一:如果拿出40張8分的郵票,餘下的郵票中8分與4分的張數就一樣多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(張),

這就知道,餘下的郵票中,8分和4分的各有30張.

因此8分郵票有

40+30=70(張).

答:買了8分的郵票70張,4分的郵票30張.

也可以用任意假設一個數的辦法.

解二:譬如,假設有20張4分,根據條件"8分比4分多40張",那麼應有60張8分.以"分"作為計算單位,此時郵票總值是

4×20+8×60=560.

比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數是

(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).

因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).

例8 一項工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

工程要多少天才能完成

解:類似於例3,我們設工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法,晴天有

(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).

雨天是7+3=10天,總共

7+10=17(天).

答:這項工程17天完成.

請注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而換成已知工程是17天完成,由此又回到上一節的問題.差是3,與和是17,知道其一,就能推算出另一個.這說明了例7,例8與上一節基本問題之間的關係.

總腳數是"兩數之和",如果把條件換成"兩數之差",又應該怎樣去解呢

例9 雞與兔共100只,雞的腳數比兔的腳數少28.問雞與兔各幾隻

解一:假如再補上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),於是雞的只數是兔的只數的2倍.兔的只數是

(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).

雞是

100-38=62(只).

答:雞62只,兔38只.

當然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數是

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).

也可以用任意假設一個數的辦法.

解二:假設有50只雞,就有兔100-50=50(只).此時腳數之差是

4×50-2×50=100,

比28多了72.就說明假設的兔數多了(雞數少了).為了保持總數是100,一隻兔換成一隻雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬注意,不是2).因此要減少的兔數是

(100-28)÷(4+2)=12(只).

兔只數是

50-12=38(只).

另外,還存在下面這樣的問題:總頭數換成"兩數之差",總腳數也換成"兩數之差".

例10 古詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個字;七言絕句是四句詩,每句都是七個字.有一詩選集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字數卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.

解一:如果去掉13首五言絕句,兩種詩首數就相等,此時字數相差

13×5×4+20=280(字).

每首字數相差

7×4-5×4=8(字).

因此,七言絕句有

28÷(28-20)=35(首).

五言絕句有

35+13=48(首).

答:五言絕句48首,七言絕句35首.

解二:假設五言絕句是23首,那麼根據相差13首,七言絕句是10首.字數分別是20×23=460(字),28×10=280(字),五言絕句的字數,反而多了

460-280=180(字).

與題目中"少20字"相差

180+20=200(字).

說明假設詩的首數少了.為了保持相差13首,增加一首五言絕句,也要增一首七言絕句,而字數相差增加8.因此五言絕句的首數要比假設增加

200÷8=25(首).

五言絕句有

23+25=48(首).

七言絕句有

10+25=35(首).

在寫出"雞兔同籠"公式的時候,我們假設都是兔,或者都是雞,對於例7,例9和例10三個問題,當然也可以這樣假設.現在來具體做一下,把列出的計算式子與"雞兔同籠"公式對照一下,就會發現非常有趣的事.

例7,假設都是8分郵票,4分郵票張數是

(680-8×40)÷(8+4)=30(張).

例9,假設都是兔,雞的只數是

(100×4-28)÷(4+2)=62(只).

10,假設都是五言絕句,七言絕句的首數是

(20×13+20)÷(28-20)=35(首).

首先,請讀者先弄明白上面三個算式的由來,然後與"雞兔同籠"公式比較,這三個算式只是有一處"-"成了"+".其奧妙何在呢

當你進入初中,有了負數的概念,並會列二元一次方程組,就會明白,從數學上說,這一講前兩節列舉的所有例子都是同一件事.

例11 有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶,運費按到達時完好的瓶子數目計算,每隻2角,如有破損,破損瓶子不給運費,還要每隻賠償1元.結果得到運費379.6元,問這次搬運中玻璃瓶破損了幾隻

解:如果沒有破損,運費應是400元.但破損一隻要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數是

(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

答:這次搬運中破損了17只玻璃瓶.

請你想一想,這是"雞兔同籠"同一類型的問題嗎

例12 有兩次自然測驗,第一次24道題,答對1題得5分,答錯(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題,答對1題8分,答錯或不答1題倒扣2分,小明兩次測驗共答對30道題,但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分,問小明兩次測驗各得多少分

解一:如果小明第一次測驗24題全對,得5×24=120(分).那麼第二次只做對30-24=6(題)得分是

8×6-2×(15-6)=30(分).

兩次相差

120-30=90(分).

比題目中條件相差10分,多了80分.說明假設的第一次答對題數多了,要減少.第一次答對減少一題,少得5+1=6(分),而第二次答對增加一題不但不倒扣2分,還可得8分,因此增加8+2=10分.兩者兩差數就可減少

6+10=16(分).

(90-10)÷(6+10)=5(題).

因此,第一次答對題數要比假設(全對)減少5題,也就是第一次答對19題,第二次答對30-19=11(題).

第一次得分

5×19-1×(24- 9)=90.

第二次得分

8×11-2×(15-11)=80.

答:第一次得90分,第二次得80分.

解二:答對30題,也就是兩次共答錯

24+15-30=9(題).

第一次答錯一題,要從滿分中扣去5+1=6(分),第二次答錯一題,要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯題互換一下,兩次得分要相差6+10=16(分).

如果答錯9題都是第一次,要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答錯題數是

(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·

第一次答錯 9-4=5(題).

第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).

第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).

習題二

1.買語文書30本,數學書24本共花83.4元.每本語文書比每本數學書貴0.44元.每本語文書和數學書的價格各是多少

2.甲茶葉每千克132元,乙茶葉每千克96元,共買這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元.問每種茶葉各買多少千克

3.一輛卡車運礦石,晴天每天可運16次,雨天每天只能運11次.一連運了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但運的次數卻比晴天運的次數少27次.問一連運了多少天

4.某次數學測驗共20道題,做對一題得5分,做錯一題倒扣1分,不做得0分.小華得了76分.問小華做對了幾道題

5.甲,乙二人射擊,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10發,共命中14發.結算分數時,甲比乙多10分.問甲,乙各中幾發

6.甲,乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地,在停留半小時後,又從乙地返回甲地,小王從乙地到甲地,在甲地停留40分鐘後,又從甲地返回乙地.已知兩人同時分別從甲,乙兩地出發,經過4小時後,他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米,求兩人的速度.

三,從"三"到"二"

"雞"和"兔"是兩種東西,實際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節例5和例6就都有三種東西.從這兩個例子的解法,也可以看出,要把"三種"轉化成"二種"來考慮.這一節要通過一些例題,告訴大家兩類轉化的方法.

例13 學校組織新年遊藝晚會,用於獎品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支

解:從條件"鉛筆數量是圓珠筆的4倍",這兩種筆可併成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價格算作

(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).

現在轉化成價格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出,鋼筆支數是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).

鉛筆和圓珠筆共

232-12=220(支).

其中圓珠筆

220÷(4+1)=44(支).

鉛筆

220-44=176(支).

答:其中鋼筆12支,圓珠筆44支,鉛筆176支.

例14 商店出售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個

解:因為總錢數是整數,大,小球的價錢也都是整數,所以買中球的錢數是整數,而且還是3的整數倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.就可買2箇中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).

從公式可算出,大球個數是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).

買中,小球錢數各是

(120-30×3)÷2=15(元).

可買10箇中球,15個小球.

答:買大球30個,中球10個,小球15個.

例13是從兩種東西的個數之間倍數關係,例14是從兩種東西的總錢數之間相等關係(倍數關係也可用類似方法),把兩種東西合井成一種考慮,實質上都是求兩種東西的平均價,就把"三"轉化成"二"了.

例15是為例16作準備.

例15 某人去時上坡速度為每小時走3千米,回來時下坡速度為每小時走6千米,求他的平均速度是多少

解:去和回來走的距離一樣多.這是我們考慮問題的前提.

平均速度=所行距離÷所用時間

去時走1千米,要用20分鐘;回來時走1千米,要用10分鐘.來回共走2千米,用了30分鐘,即半小時,平均速度是每小時走4千米.

千萬注意,平均速度不是兩個速度的平均值:每小時走(6+3)÷2=4.5千米.

例16 從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強上坡速度是每小時3千米,平路上速度是每小時5千米,下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地,李強行走了10小時;從乙地到甲地,李強行走了11小時.問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米

解:把來回路程45×2=90(千米)算作全程.去時上坡,回來是下坡;去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合併成"一種"路程,根據例15,平均速度是每小時4千米.現在形成一個非常簡單的"雞兔同籠"問題.頭數10+11=21,總腳數90,雞,兔腳數分別是4和5.因此平路所用時間是

(90-4×21)÷(5-4)=6(小時).

單程平路行走時間是6÷2=3(小時).

從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時)行走路程是

45-5×3=30(千米).

又是一個"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地,上坡行走的時間是

(6×7-30)÷(6-3)=4(小時).

行走路程是3×4=12(千米).

下坡行走的時間是7-4=3(小時).行走路程是6×3=18(千米).

答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

做兩次"雞兔同籠"的解法,也可以叫"兩重雞兔同籠問題".例16是非常典型的例題.

例17 某種考試已舉行了24次,共出了426題.每次出的題數,有25題,或者16題,或者20題.那麼,其中考25題的有多少次

解:如果每次都考16題,16×24=384,比426少42道題.

每次考25道題,就要多25-16=9(道).

每次考20道題,就要多20-16=4(道).

就有

9×考25題的次數+4×考20題的次數=42.

請注意,4和42都是偶數,9×考25題次數也必須是偶數,因此,考25題的次數是偶數,由9×6=54比42大,考25題的次數,只能是0,2,4這三個數.由於42不能被4整除,0和4都不合適.只能是考25題有2次(考20題有6次).

答:其中考25題有2次.

例18 有50位同學前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學共用了車費110元,問其中乘小巴的同學有多少位

解:由於總錢數110元是整數,小巴和地鐵票也都是整數,因此乘電車前往的人數一定是5的整數倍.

如果有30人乘電車,

110-1.2×30=74(元).

還餘下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設的乘電車人數少了.

如果有40人乘電車

110-1.2×40=62(元).

還餘下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62>6×10).說明假設的乘電車人數又多了.30至40之間,只有35是5的整數倍.

現在又可以轉化成"雞兔同籠"了:

總頭數 50-35=15,

總腳數 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人數是

(6×15-68)÷(6-4)=11.

答:乘小巴前往的同學有11位.