塹壕戰和衝鋒的量化分析
第一次世界大戰以塹壕戰為主，防禦的力量大於進攻，符合克勞塞維茨在《戰爭論》中論述的防禦是較強的作戰方式。我們通過示意圖來分析一下塹壕戰和衝鋒的關係，這也適用於其他類似的衝鋒作戰。
防禦一方在防禦陣地，使用火槍射擊衝鋒的敵人，當防禦方最前排有戰友死亡時，後一排的士兵進行補缺，繼續進行射擊。進攻方一邊持槍射擊，一邊向敵人衝鋒，第一排的士兵可以看做是第二排士兵的盾牌，當進攻方衝進防禦方陣地進行近距離火拼時，則表示進攻方衝鋒成功。我們假設進攻方第一排距離防禦方的距離為y，兩排的間距為d，進攻方前進速度v為b米/分。防禦方的射擊速度為a發/分，平均c發子彈打死一個敵人（如圖1所示）。
圖1 防禦和進攻初始狀態
那麼進攻方最前排的生存時間t為c/a分鐘，第一排前進的距離s=vt=b×c/a米，由於第一排此時已經陣亡，第二排變成第一排，整支軍隊的前進距離h=s-d米，所以每一排的士兵的陣亡可以換取整支部隊前進h米，而敵對兩軍相距y米，就需要陣亡y/h排士兵才能衝鋒成功。每排士兵的生存時間是c/a，那麼衝鋒需要的時間T=y/h×(c/a)分。
進攻方衝鋒需要陣亡y/h排的士兵，才能衝鋒成功，我們希望儘可能減少衝鋒方的傷亡，那麼就需要根據不同各種因變量來確定策略。y/h=y/(s-d)=y/(b×c/a-d)，為了使y/h最小化，我們需要減少分子和增加分母。y表示雙方的距離，這個距離一般為防禦方的火槍射程，防禦方的火槍射程越遠，進攻方需要付出的傷亡代價越大。分母為b×c/a-d，其中d表示2排的間距，間距越小越好，但是間距太小會影響兩排之間的行動，所以d有一個最優值，在不影響前後排行動自由的前提下，越小越好。b×c/a越大，則分母越大，傷亡越小，其中b表示進攻方的前進速度，這個速度越快，相同時間內運動的距離越遠，越接近敵人防禦前線，所以以前的衝鋒都是以騎兵為主，因為騎兵的速度遠大於步兵。c表示防禦方多少發子彈可以打死一個進攻方，c越大，進攻方可以生存的時間就越長，運動的距離就越遠。b表示防禦方火槍發射子彈的速度，速度越快，進攻方生存的時間就越短，前進的距離就越小。所以為了使y/h最小化，我們希望兩軍距離y、兩排距離d和子彈速度b最小化，而進攻方的前進速度b和可以承受的子彈數量c最大化（如圖2所示）。
圖2 防禦和進攻過程
對於兩軍距離y，該如何減少呢？（1）通過隱蔽自己來接近敵人。比如通過草叢，迷彩服等的方式進行偽裝，逐步接近敵人，敵人發現的越晚，則兩軍的距離y就會越小。在一戰中，有一個偽裝的反例，法軍穿著鮮豔的紅褲子，非常容易被敵人發現，成了敵人的活靶子。（2）通過挖地道的方式來接近敵人，也可以減少兩軍的距離y，這一點在一戰中也有使用。（3）通過地形接近敵人。比如在特殊的地形上，比如兩軍之間有一個丘陵，進攻方接近丘陵，利用丘陵進行掩護，也可以減少進攻方的衝鋒距離。（4）從防禦方的角度來說，如何增加進攻方的衝鋒距離呢，最簡單的方法就是在這道戰壕後邊再挖幾道戰壕。當進攻方佔領第一道戰壕後，防禦方放棄第一道戰壕，退到第二道戰壕進行防禦，不斷的增加進攻方的衝鋒距離。所以在一戰中，防禦方的戰壕都是有多條平行的戰壕的。戰壕不是直線而是彎曲的原因是為了降低炮彈的殺傷力。敵人的炮彈打到彎曲的戰壕裡，會由於戰壕的彎曲減少炮彈向兩側的爆炸衝擊力（如圖3所示）。
圖3 塹壕戰配置圖
關於進攻方的前進速度b，進攻方和防禦方都可以進行優化調整。（1）進攻方可以選擇較為平坦的地形進行衝鋒，這樣可以增加前進的速度，當然這樣的地形因為沒有地形阻擋，也更容易被擊中。（2）選擇坐在有防護的汽車裡進行衝鋒，這樣可以提高步兵的衝鋒速度。選擇汽車來代替馬，汽車裝有防護來代替盾牌，這是沿襲之前騎兵和盾牌最簡單的方法，一戰中卻很少使用。（3）防禦方可以通過障礙來降低進攻方的衝鋒速度，比如使用鐵絲網。
對於進攻方兩排之間的距離d，只有進攻方可以進行調整，防禦方則調整不了。這個距離越大，越不利於進攻方的衝鋒，但是太小又會影響兩排之間的行動，所以應該在不影響前後兩排行動的情況下越小越好。
對於子彈的速度a，防禦方和進攻方均有調整的空間。武器的發射的速度越快，單位時間發射的子彈數量越多，可以殺傷的敵人越多。（1）以前使用的武器是半自動步槍，每分鐘能射出十幾發子彈，好的步槍最多也就是幾十發子彈。而一戰中馬克沁機槍每分鐘可以打出600發子彈，武器性能有了數量級的進步，所以導致一戰時的塹壕戰非常難以被進攻方突破。（2）增加使用的槍支數量也相當於增加了單位面積的火力密度，比如原來防禦方第一排是每10米/人，增加到每5米/人，從進攻方的角度來看，防禦方的槍的速度加倍了，也就是火力加倍了。（3）進攻方增加武器性能，增加殺傷敵人的能力，那麼防禦方傷亡之後需要頻繁更換生力軍，更換的這個間隔是不能發射子彈的，相當於防禦方的平均射擊速度降低了。但是在一戰中的馬克沁機槍重達27.2kg，不方便步兵攜帶進行衝鋒，所以機槍快速射擊的優點基本上只能被防禦方佔有。《戰爭論》認為防禦比進攻的作戰方式強，而機槍的使用增加了防禦方的力量，加強了防禦和進攻的對比，使得防禦變得更強。（4）進攻方通過火炮來遠程攻擊對方的防禦陣地來增加防禦方的傷亡，也相當於降低了敵人的平均射擊速度，所以很多衝鋒都是以火炮攻擊在先，步兵衝鋒在後。這一點在一戰中被廣泛使用。（5）進攻方使用毒氣武器，將防禦方趕出戰壕或者使防禦方死亡，也可以降低防禦方的平均射擊速度。一戰中使用了氯氣、芥子氣和光氣等毒氣武器。
關於子彈的殺傷力c，表示防禦方平均c發子彈就能打死一個進攻的敵人，這個c發子彈表示的不是c發子彈都打在進攻方的身上，而是平均向前方射擊c發子彈，就有一個進攻方的敵人身亡。（1）那麼防禦方增加子彈的命中率，比如之前是40發子彈，命中率為10%，即4發子彈射中敵人並使敵人致命。現在防禦方的命中率增加到20%，那麼平均20發子彈就能打死一個敵人，相當於防禦方的力量加強了。（2）增加每發子彈的殺傷力，也相當於增加了防禦方的力量。比如以前進攻方命中4發子彈身亡，增加每顆子彈的殺傷力，2顆子彈就能殺死一個敵人，也就是平均20發子彈就能打死一個敵人。以前子彈是從槍筒裡直線射出的，殺傷力不強，後來子彈是從槍筒裡旋轉著射出的，殺傷力大大增加。同樣進攻方也可以對c進行優化。（1）減少自己被射擊的面積，比如匍匐前進比跑著前進的暴露面積要小，被射中的概率大大減少。（2）增加防護，比如手持後盾牌進行衝鋒，也可以使得敵人需要更多子彈才能殺死一個衝鋒的人。（3）躲在有防護的汽車後邊進行衝鋒，汽車可以有效阻擋子彈。坦克就是集衝鋒所需的速度，持槍射擊的火力和盾牌防護於一身的進攻性武器。不過坦克的發明是需要時間的，不知道為什麼沒有火力的裝甲車沒有首先發明出來用於衝鋒，因為這是和盾牌的性質最為接近的，可以有效阻擋子彈。
由於是以每排的傷亡來換取向前的推進距離，衝鋒成功需要傷亡y/h排的兵力，那麼減少每排的人數也可以有效降低傷亡人數，這給我們的啟示是儘可能的減少自己的進攻正面，這樣可以有效降低自身衝鋒的傷亡。選擇點來進行突破，而不是全線進行突破。
我們只討論了進攻方的傷亡因素，對於防禦方也是類似的，降低敵人的命中率就可以有效降低自己的傷亡。（1）通過挖戰壕，在戰壕中進行射擊，使得自己的身體大部分被戰壕隱蔽，減少了被擊中的概率。（2）在戰壕前堆起沙袋，將槍壓在沙袋中間，使自己的身體完全被沙袋隱蔽，大大降低了自己被射中的概率。只是這樣沙袋也阻擋了自己的視線，降低了自己的命中率，一戰中通過使用木質潛望鏡來觀察敵人，這樣就既能隱蔽自己，又不會降低自己的命中率（如圖4所示）。
圖4 塹壕戰內的防禦士兵
與之前的戰爭相比，一戰的塹壕戰是一戰的主要特點，而三種工具則是塹壕戰的主要工具，包括鐵鍬、鐵絲網和機槍。鐵鍬用來挖戰壕來隱蔽自己，降低自己被射中的概率。鐵絲網用來降低進攻方的衝鋒的平均速度，這樣進攻方就很難突破防禦陣地。機槍增加了子彈的發射速度，大大增加了進攻方的傷亡。另外，之前的單線防禦演變成多線防禦，多條戰壕平行佈置，增加了進攻方的衝鋒距離。
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