來源：圖靈教育

作者：圖小鹿

數學是什麼？這似乎不能一概而論。每一個對數學感興趣的人多多少少都有各自的見解。正如一千個人讀莎士比亞，就會有一千個哈姆雷特一樣。今天小鹿給大家介紹一位數學界不可忽視的人物，他就是日本著名數學家、亞洲第一位菲爾茲獎得主小平邦彥先生。

小平の經歷

可是你知道嗎？小平先生年輕的時候也抄過書呢。那會兒他在學習範 •瓦爾登的《代數學》，可是他卻一點兒都看不懂，於是他就抄書，一直抄到懂為止。他曾說過自己天資並不高，可是他卻將一絲不苟、全身心投入做到了極致。

就是這樣一個“普通人”，即使是在戰爭時期也沒有放棄對數學的研究和學習。1942年，日本因偷襲珍珠港與美國開始了戰爭，小平因對二次常微方程的特徵值感興趣而發現了特徵函數展開的一般式，隨後他將成果寫成《二階常微分方程的特徵值與 Heisenberg 的 S 矩陣理論》並託即將去普林斯頓高等研究院的湯川秀樹帶給 Weyl，隨後 Weyl 幫他將文章發表在 American Journal of Math 上。

戰時外國的雜誌都沒有辦法進入日本，後來他在困難中完成了他的論文 Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) ，他拜託一個駐日的美國軍人將論文帶到 Annals of Math 投稿，Weyl 看後覺得這是一遍非常好的論文，於是決定聘請小平去普林斯頓高等研究院, 為期一年。就這樣他輾轉來到了美國開始了他的新生活。他先後在約翰斯 •霍普金斯大學、哈佛大學、斯坦福大學任過教授。

小平の成就

小平先生的主要工作領域是調和積分理論、代數幾何學和複流形理論。他證明代數曲面的黎曼-羅赫定理，證明狹義 Kaehler 流形是代數流形以及小平消沒定理和嵌入定理。50年代同 D.C.Spencer 把 Riemann 的形變理論推廣成高維復結構的形變理論，其後又進一步推廣。他把代數曲面擴展到復解析曲面通過小平維數加以分類，並證明除直紋面以外極小模型存在。小平是日本學士院院士以及美國國家科學院等院士。1959 年獲得日本學士院賞和日本文化勳章。1954年獲得菲爾茲獎。1984、1985年度因“對複流形及代數簇的研究所做的突出貢獻”而分得沃爾夫獎數學獎。

小平眼裡の數學

• 數學印象

我要坦率地講述一下數學家眼中的數學印象，比如像我這樣專門研究數學的數學家是如何看待數學的，以便為讀者提供參考。人們通常認為數學是一門由嚴密邏輯所構建的學問，即便不是與邏輯完全一致，也大致相同。實際上，數學與邏輯並沒有多大關係。當然，數學必須遵循邏輯。不過，邏輯對於數學的作用類似於語法對於文學。書寫符合語法的文章與用語法編織語言、創作小說是截然不同的。同樣，依照邏輯進行推論與使用邏輯構築數學理論也並非同一層面上的事情。任何人都能理解一般邏輯，如果將數學歸為邏輯，那麼任何人都能理解數學。然而眾所周知，無法理解數學的初中生或高中生大有人在，語言能力優異、數學能力不足的學生十分常見。因此我認為，數學在本質上與邏輯不同。

• 數感

我們試著思考數學之外的自然科學，比如說物理學。物理學研究的是自然現象中的物理現象，同理可得，數學研究的是自然現象中的數學現象。那麼，理解數學相當於“觀察”數學現象。這裡所說的“觀察”不是指“用眼觀看”，而是通過一定感覺所形成的感知。雖然很難用言語去描述這種感覺，不過這是一種明顯不同於邏輯推理能力的純粹的感覺，在我看來這種感知幾乎接近於視覺。或許我們可以稱之為直覺，不過為了凸顯其純粹性，在接下來的表述中，我將其稱為“數感”。

直覺一詞含有“瞬間領悟真相”的意思，所以不太合適。數感的敏銳性類似於聽覺的敏銳性，也就是說基本上與是否聰明無關（本質上無關，但不意味著沒有統計關聯）。不過數學的理解需要憑藉數感，正如樂感不好的人無法理解音樂，數感不好的人同樣無法理解數學（給不擅長數學的孩子當家教時，就能明白這種感覺。對你來說已經顯而易見的問題，在不擅長數學的孩子看來卻怎麼也無法理解，因此你會苦於不知如何解釋）。

在證明定理時，數學家並沒有察覺自己的數感發揮了作用，因此會以為是按照縝密的邏輯進行了證明。其實，只要用形式邏輯符號去解析證明，數學家就會發現事實並非如此。因為這樣最終只會得到一串冗長的邏輯符號，實際上完全不可能證明定理（當然我的重點並不在於指責證明過程的邏輯不夠嚴密，而是在於指出數感能幫助我們省略邏輯推理這個過程，直接引導我們走向前方）。近來經常聽到人們在討論數學感覺，可以說數學感覺的基礎正是數感。所有數學家天生都具有敏銳的數感，只是自己沒有察覺而已。

• 數學的唯一理解方法

即使不做研究，只是閱讀有關數學的書和論文，也非常費時。如果只讀定理部分而跳過證明過程的話，似乎很快就能讀完兩三本書。但是實際上，跳過證明的閱讀方式如浮光掠影，留下的印象非常淺，結果多會一無所得。想要理解數學書，只能一步一步遵循證明過程。數學的證明不是單純的論證，還具有思考實驗的意味。

所謂理解證明，也不是確認論證中是否有錯誤，而是自己嘗試重現思考實驗的過程。換言之，理解也可以說是自身的體驗。不可思議的是，除此之外數學沒有其他的理解方法。物理學的話，即便是最新的基本粒子理論，只要閱讀通俗讀物，儘管讀者與專家的理解方法不同，多少還是能大致理解或者至少自己覺得好像理解了。這就是外行人的理解方法，它與專家的理解方法不同。但是數學不存在外行人的理解方法，所以沒人可以寫出關於數學最近成果的通俗讀物。

• “豐富的”理論體系

現在數學的理論體系，一般是從公理體系出發，依次證明定理。公理系統僅僅是假定，只要不包含矛盾就行。數學家當然具有選取任何公理系統的自由。但是實際上，公理系統如果不能以豐富的理論體系為出發點，便毫無用處。公理系統不僅不包含矛盾，而且還必須是豐富的。考慮到這點，公理系統的自由選擇範圍就非常有限。在說明這個問題時，假設把數學的理論體系比作遊戲，那麼公理系統就相當於遊戲規則。

公理系統越豐富意味著遊戲越有趣。例如在圍棋盤上布子的棋類遊戲，現在我們熟知共有四種類型：圍棋、五子棋和兩種朝鮮圍棋。換言之，此刻我們所熟知的公理系統只有四種。除這四種以外，還有沒有其他有趣的遊戲呢？例如四子棋、六子棋或者更普遍化的n 子棋又會是如何呢？其實下 n 子棋，當 n 小於 4 時先手必勝，即刻分出勝負，所以索然無味；而當 n 大於 6 時，則永遠分不出勝負，也毫無趣味。發現新的有趣遊戲並不容易。

當然這只是我個人的想法，不過現在大概不太能再發現一個與圍棋趣味相當的遊戲了。數學也是同理，發現豐富的公理系統也極其困難，因此實際上根本不存在公理系統的選擇自由。

• 理論中豐富的普遍化

數學家通常本能地偏愛“普遍化”。例如假設存在一個基於公理系統 A 的豐富的理論體系 S，那麼下面的情況是很容易想到的，從 A 中去掉若干公理得到公理系統　B，再從 B 出發將 S “普遍化”，得到普遍性理論體系 T。稍加思索就覺得 T 是比 S 更豐富的體系，因為 T 是 S 的“普遍化”結果，但是在大多數情況下，實際嘗試“普遍化”後會發現，T 的內容與預想相反，多是貧瘠不堪，令人失望。此時，與其說 T 是 S 的“普遍化”，還不如說是 S 的“稀疏化”。當然，並不是所有的“普遍化”都等同於“稀疏化”，數學自古以來都是通過“普遍化”而發展起來的。不過不得不說的是，近來的理論“普遍化”不斷落入“稀疏化”的怪圈之中。

那麼，能發展成為豐富理論的“普遍性”，其特徵是什麼呢？進一步說，作為豐富理論體系出發點的公理系統，其特徵又是什麼？現代數學對上述問題都不感興趣。例如群論顯然是比格論更為豐富的體系，但是比起格的公理系統，群的公理系統的優勢是什麼呢？此外，拓撲學、代數幾何、多變量函數論等基本層的理論出發點（看起來似乎）都是不值一提的“普遍化”理論，即用函數替換以前的常數作為上同調群的係數。為什麼說這實際上是非常豐富的“普遍化”呢？與此相反，連續幾何被視為射影幾何令人驚歎的“普遍化”，但為什麼其發展停滯不前呢？將數學作為一種現象直接觀察時，會發現這類問題不勝枚舉。

這些問題都是完全沒有價值的愚蠢問題嗎？抑或能否建立一門以回答此類問題為目標、研究數學現象的學科，即數學現象學呢？這些問題，我也不清楚。不過我確信，如果能夠建立這門學科，那它一定會非常有趣。不過從一開始會有一個明顯的難題，那就是在開始研究數學的現象學前，首先必須對數學的主要領域有一個全面的、大概的瞭解。正如我在上文中提到的，解決這個難題需要花費大量的時間。這也是無法撰寫數學現代史的原因所在。

以上就是一些有關小平邦彥先生的簡單介紹。小平先生一生都在謙遜平和中堅持著自己所愛之事。他又是怎樣看待他數學的一生呢？他對日本的數學發展又有怎麼樣的見解？而這些見解在當今的我國又是否適用呢？推薦給大家兩本小平邦彥先生的新書《惰者集》和《幾何世界的邀請》，一起走近小平先生的數學世界。

作者：小平邦彥(Kunihiko Kodaira)

譯者：尤斌斌

• 解析“數感”與數學思維
• 反思數學教育中的功過得失
• 重塑獨立思考能力與數學興趣

理解數學需要具備一種純粹的感覺，即“數感”。本書為日本數學家、菲爾茲獎與沃爾夫獎得主小平邦彥先生的思想隨筆文集，書中收錄了小平邦彥先生對數學、數學教育的深思、感悟文章，記述了數學家對“數學”“數感”的獨到理解，文筆幽默，深入淺出。同時，書中還輯錄了小平邦彥先生在普林斯頓高等研究院時期，與赫爾曼•外爾等數學大家交流的趣聞軼事，對深入理解數學、數學教育具有深刻啟示。

作者：小平邦彥(Kunihiko Kodaira)

譯者：李慧慧

• 菲爾茲獎、沃爾夫獎、日本文化勳章得主，日本數學大家 小平邦彥 著作
• 提升觀察判斷與邏輯思考能力
• 幾何入門科普作品

平面幾何是觀察判斷與邏輯思考的精妙結合，是初等數學教育中培育創造力的好途徑。本書為日本數學家、菲爾茲獎得主小平邦彥先生的幾何入門作品，書中以歐幾里得幾何、希爾伯特幾何、複數與幾何為軸線，由淺入深，層層深入，從作為圖形科學的幾何、作為數學的幾何等不同角度介紹完整的幾何世界，是幾何入門、訓練思維與創造力的佳作。

內容概括

第一章為本書的主要部分，圍繞作為圖形科學的平面幾何的嚴密體系展開。章節末尾處的費爾巴哈定理是在創作本書時添加的內容，之前的講義中沒有此部分。

第二章引用希爾伯特的《幾何學基礎》的開篇內容，從現代數學的角度來思考嚴密的平面幾何究竟是什麼，並探討作為數學的平面幾何與作為圖形科學的平面幾何有何不同，以及考察了平面幾何作為圖形科學的嚴密性如何表現。如果用作數學初等教育（高中畢業之前的教育）的教材，作為圖形科學的平面幾何其嚴密性就足夠了，超過學生學習程度的嚴密平面幾何，反而會讓學生難以理解透徹。因此，我認為作為圖形科學的嚴密平面幾何是數學初等教育最合適的教材。在這一章中，有一部分內容可能難以理解，如果覺得困難，可以跳過去繼續往下讀。

第三章是複數在平面幾何中的應用。根據複數極其初步的應用，證明了平面幾何中的一些定理。章節末尾處費爾巴哈定理的證明是原本講義中沒有的內容。