無窮與直覺

原文作者：德夫林，斯坦福大學數學教授，英國數學科普作家。

翻譯作者：Y.W.，哆嗒數學網翻譯組成員，就讀於北京四中。

校對：donkeycn

投稿可發至郵箱[email protected]，詳情參見徵稿說明（截止日期延期至4月28日）。

微信、手機QQ搜索關注 DuoDaaMath每獲得更多數學趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

格雷•安東尼克在紐約時報上好玩的專欄“數趣”刊登了伯克利數學家艾迪•弗蘭克關於人類大腦在理解無窮上的難題的貢獻。如果你還沒有讀這期報道，你應該去看看（http://wordplay.blogs.nytimes.com/2016/05/30/frenkel-cantor/?_r=0）。

無窮帶來了不少反直覺的結果。舉個經典的例子：希爾伯特的旅店。這裡有無窮多個房間，每個房間都印上各自的自然數編號：房間1，房間2，房間3等等，直到所有自然數都被用到，有一個晚上，一位旅客來到賓館前臺，前臺告訴他說賓館的房間已經滿了。“但是不要擔心，先生，”前臺服務生說，“我剛剛在大學上了一門數學課，所以我知道怎麼幫你找個房間。給我一分鐘，讓我打幾個電話。”過了一會兒，這位旅客得到了一個房間。服務生讓每位客人搬到房間號為下一個整數的房間。所以房間1的客人搬到了房間2，房間2的客人搬到了房間3，以此類推。每個人都換了房間，誰也沒有離開旅店，但是房間1為這位新客人騰空了。

我認為所有MAA Online（MAA為美國數學協會的縮寫）的普通讀者都熟悉這個著名的例子。但是我覺得大多數人都不能把這個例子上升到無窮的層面來理解。一會兒看到可數無窮（基數為א‎_0）和第一個不可數無窮（基數為א‎_1，小於等於實數的基數c）的時候，你們就會發現這比想象的還奇妙。

無窮帶來的另一個讓我目瞪口呆的結果和樹有關。不是在森林裡長的樹，是在數學家使用的術語中提到的樹。

一棵樹就是一個偏序集 (T,<)。樹中所有小於x的元素構成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是說這棵樹有特定的生長方向（通常是圖中的豎直向上方向），分支也都向上生長。通常來說，一棵樹有一個獨特的最小元素，這個元素被稱為根。如果遇到了一棵沒有根的樹，你可以在不改變樹的其他部分的結構的情況下手動加一個根。

由於每個樹上的元素都位於它的前繼構成的唯一良序集的頂端， 因此每個樹上的元素在樹中都有良好定義的高度： 即前繼構成的集合的序數。對於每一個序數k，我們可以用T_k來表示樹中所有高度為k的元素的集合。 T_k被稱為T的第k層。T_0包含樹的根，T_1是根的所有直接後繼的集合，以此類推。

綜上所述，樹靠下的部分如圖所示，（樹中每一個“小黑點”就是一個節點）：

（其實可以有所不同，每一層的元素數量沒有限制，或者說每一個元素的後繼元素的數量沒有限制）

König引理是集合理論的經典例子。König引理指出，若T是一棵有著無窮個節點的樹， 且對每個自然數n，T_n是有限的， 則T有一個無窮的分支， 即有一個無窮的線性序子集。

這很好容易證明。你可以用遞歸來定義一個分支{x_n: n為自然數}。令x_0為樹的根。儘管樹是無窮的，但T_1是有限的。 T_1中至少有一個節點元素的上面有無窮個元素比這個節點大。令x_1為T_1中這樣的一個元素。由於x_1 的上面也有無窮個元素大於x_1，而在T_2中只有有限個後繼元素， 所以T_2中至少有一個x_1的後繼元素的上面有無窮個元素比x_1大。令x_2為T_2中一個這樣的元素。同理，可定義T_3中的x_3，使其上面有無窮個元素，以此類推。這個簡單的過程可以清楚地定義一個無窮分支{x_n: n為自然數}。

以上是König引理成立的理由。然後人們試圖通過類比來證明如下命題：若你有一顆不可數的樹（即基數至少是א‎_1的樹）T，且對於每一個可數序數k，T_k是可數的，則T有一個不可數的分支，即滿足如下條件的一個線性序子集：對於每一個可數序數k，該線性序子集與T_k的交不空。

但就這樣下來， 然而事實顯示上述命題不成立。 我們可以構造這樣一棵不可數的樹：對於每一個可數序數k，T_k都是可數的，然而這棵樹卻沒有不可數的分支。這樣的樹被稱為Aronszajn樹。 這樣的樹最初被一個俄羅斯數學家構造出來。

下面是構造Aronszajn樹的具體方法。 樹的元素是嚴格遞增的（有限或可數超限）有界有理數序列。 樹中的序為序列的擴展（比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的擴展）。顯然，這樣的樹不會有不可數的分支。 因為否則它的極限（更確切地說：集合論意義下的並集）將是一個不可數的嚴格遞增的有理數序列，這與有理數構成可數集合的事實矛盾。

你可以通過對樹的層來遞歸構造這樣的樹。 T_0由空節點構成。構造完T_k後， 你可以通過給T_k中的每個序列s加上任意一個可能的遞增值來得到具有（k+1）的項嚴格遞增的有理數序列，從而得到T_(k+1) 。也就是對於每一個T_k中的s和任一大於或等於s的上確界的有理數q附加到s，並將結果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可數個可數集合的並集，因此它自己也可數。

當範圍僅限於自然數時，這樣的常規遞歸就滿足定義了，但當遞歸覆蓋到可數序數時， 你需要處理極限序數，即那些不是任何更小序數的後繼序數的序數。

為了實現這棵樹關於極限層的定義，你需要構造一棵符合以下被稱為Aronszajn性質的樹：對每一對層T_k和T_m，其中k<m， 對T_k中的每個序列s及大於s的上確界的有理數q，存在T_m中的序列t，序列t擴展了s且序列t的上確界比q小。

由於我們把T_k中的每一個序列都擴展到所有可能擴展到的序列，所以剛才給出的從T_k出發得到T_(k+1)的定義滿足上述特性。

現在假設m是一個極限序數，且我們已經對每一個k<m定義了T_k。對於滿足k<m的T_k中的每個任意給定的元素s及每個大於s上確界的有理數q，根據整數的遞歸來定義一條通過樹已構造部分的路(s_i : i為自然數)，且使它的極限（作為有理數序列）的上確界為q。

首先，你要選擇嚴格遞增的有理數序列(q_i : i為自然數)，且使q_0超過s的上確界，且極限為q。

你還要選擇嚴格遞增的比m小的序數序列(m_i : i為自然數)，且極限為m， 且使s在樹中位於m_0層的下面。

現在你可以用Aronszajn性質來構造序列(s_i : i為自然數)使s_i位於m_i層，且s_i的上確界比q_i小。

為每一組s和q 構造這樣的一條路(s_i : i為自然數)， 並令T_m（編者注：原文寫的是T_k，應該是作者筆誤）包含所有如此構造出來的有理數序列的極限。值得注意的是這樣定義的T_m是可數的。

顯然這樣定義的構造滿足Aronszajn性質，因此可以繼續這樣構造下去。

於是，我們完成了我們想要的構造。

微信、手機QQ搜索關注 DuoDaaMath每獲得更多數學趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa