在一個大盒子裡，裝著黑白兩種顏色的許多圍棋棋子，怎麼才能知道哪種顏色的棋子多一些呢? 一種辦法是分別數出它們的個數，進行比較；另一種辦法是，每次同時取出一黑一白兩種棋子，一直取下去，如果最後只剩下某種顏色的棋子，就說明這種顏色的棋子多，如果剛好取完，就說明兩種顏色的一樣多。
但是，假如那個大盒子裡裝著無窮多個棋子，那就沒有辦法把兩種顏色的棋子分別數出個數來、再比較多少了，因為，至少有一種顏色的棋子是無窮多的。但是後一種辦法卻仍然可以使用：如果取了若干次之後，盒子裡只剩下某一種顏色的棋子，就可知道這種顏色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一個黑的，總能再拿出一個白的；拿出一個白的，也總能再拿出一個黑的，就說明它們是同樣多的。
整體大於部分，這是一條古老而又令人感到無可置疑的真理。把一個蘋果切成三塊，原來的整個蘋果當然大於切開後的任何一塊。但這僅僅是對數量有限的物品而言的。17世紀的大科學家伽利略發現，當涉及到無窮多個物品時，情況可就大不一樣了。
比如有人問你：整數和偶數哪一種數多呢？也許你會認為：當然是整數比偶數多，而且是多一倍。如果從1 數到100，那麼就有100個整數，而其中只有50個偶數。那要是無窮多個整數和偶數呢？我們可以用“一一對應”的方法來比較一下：
甲：1， 2， 3， 4， 05， 06， 07， 08，……
乙：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，……
這樣你來我往，可以一直進行下去……總之，你給出一個整數，都能有一個整數相應給出來，也就是可以“一一對應”，所以說，偶數和整數一樣多。
但是我們知道，整數是由奇數和偶數構成的，一般都認為整數的個數多於奇數或偶數的個數，也就是整體必然大於部分。但上面的例子卻說明：整數的個數與奇數或偶數的個數一樣多。
事實上，這樣的例子還有很多，我們再看一個幾何方面的例子：
如圖，直角△ABC中，∠C=90°，在斜邊AB上任取一點，向直角邊BC作垂線，垂足在BC上，我們會發現，對於斜邊AB上的任意一點，直角邊BC上都有一個點與它“一一對應”，因此斜邊AB上的點與直角邊BC上的點一樣多，即斜邊AB與直角邊BC一樣長。
看，多麼奇怪的結論！偶數（奇數）與整數一樣多，斜邊與直角邊一樣長。
為什麼會出現這樣的奇怪結論？難道我們以前學習的結論是錯的？
其實，上面的兩個結論並不奇怪，我們以前學習的結論也沒有錯，問題是這些結論成立的前提不同。
我們以前學習的結論是在有窮的情況下研究的，而上面的兩個結論是在無窮的情況下研究的。比較兩個無窮集合的方法是給兩組無窮大數列中的每一個數一一配對，如果這兩組最後一個都不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有配完，這一組就比另一組大些。這種方法顯然是合理的也是唯一可行的方法。但是當把這種方法實際應用時，會得到許多令人大吃一驚的結論。根據上述比較無窮大數的原則，偶數的數目與整數的數目是同樣多的。當然，這個結論看起來是非常荒謬的，因為偶數只是整數的一部分，這與整體大於部分的直覺顯然矛盾。由於這種矛盾首先是伽利略發現的，故稱“伽利略悖論”。集合論創始人康托爾認為，伽利略悖論並非什麼“悖論”。任何兩組東西，只要能相互一一對應，就是一樣多。“整體大於部分”這條規律只有在有窮的情況下正確。在無窮大的世界裡，部分可能等於全體！這就是無窮的本質。
集合是具有某種特定性質的事物的總和。這裡的“事物”包含的對象非常豐富，可以是人，比如在做廣播操時，各個班級的同學站在一起，每一個班級的同學都組成了一個集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就組成了一個黑板擦的集合；也可以是數學元素，比如所有正整數組成了一個集合，所有無理數組成了一個集合。
19世紀70年代康托爾創立了著名的集合論。康托爾為了將有窮集合的元素個數的概念推廣到無窮集合，他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念。兩個集合只有它們的元素間可以建立一一對應才稱為是等價的。
在18世紀，由於無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西並沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產生邏輯矛盾。
19世紀後期的數學家們發現使柯西產生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念並沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。於是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力於分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續函數的描述。在數與連續性的定義中，有涉及關於無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。
集合論裡的中心，難點是無窮集合這個概念本身。從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數學家們和哲學家們的注意。而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀，人們已經注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發畫射線，那麼射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應，然而兩圓的周長是不一樣的。
在康託之前的數學家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應的比較手段，因為它將出現部分等於全體的矛盾。高斯明確表態：“我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中是從來不允許的。無窮只是一種說話的方式… …”柯西也不承認無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構成一一對應這件事。當然，潛無窮在一定條件下是便於使用的，但若把它作為無窮觀則是片面的。數學的發展表明，只承認潛無窮，否認實無窮是不行的。康託把時間用到對研究對象的深沉思考中。他要用事實來說明問題，說服大家。康託認為，一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應不是什麼壞事，它恰恰反應了無窮集合的一個本質特徵。對康託來說，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。它定義了基數，可數集合等概念。並且證明了實數集是不可數的代數數是可數的。康託最初的證明發表在1874年的一篇題為《關於全體實代數數的特徵》的文章中，它標誌著集合論的誕生。
由康托爾首創的全新且具有劃時代意義的集合論，是自古希臘時代的二千多年以來，人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統和確定的運算，它從本質上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發生了一次革命性的變化，並滲透到所有的數學分支，從根本上改造了數學的結構，促進了數學的其他許多新的分支的建立和發展，成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯和哲學帶來了深遠的影響。不過康托爾的集合論並不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續統假設”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀之交發現的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產生了嚴重的懷疑。加之集合論的出現確實衝擊了傳統的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數學家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對的最激烈的是柏林學派的代表人物之一、構造主義者克羅內克。克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象，他反對無理數和連續函數的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數理論不是數學而是神祕主義。
危機產生後，眾多數學投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數學家策梅羅（E.Zermelo）提出公理化集合論，試圖把集合化的方法來消除悖論，他認為悖論的出現是由於康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的，策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論後來演變為ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理化基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論，公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理，它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論。
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