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撰文：Alexei Vernitski （艾塞克斯大學數學高級講師）
數學是一種工具，它能為我們對宇宙的疑問提供正確的答案。舉一個簡單的例子，數學可以準確地預測，如果你有兩個蘋果，並且每天吃一個，那麼就可以吃兩天。
但是，數學有時候也會產生與我們的親身經歷相悖的反直覺答案，比如Banach-Tarski悖論就是一個例子，它說的是一個固體球可以被切成幾塊，這些塊可以重新組合成兩個固體球，而且每一個都擁有與原始球相同的大小。
這一類矛盾是否代表著數學中存在危機？是否代表數學並不能解釋宇宙的奧祕？並不是，這種矛盾只是迫使我們對這些問題應該如何處理進行重新思考。
理解宇宙
假設你和一個孩子在海邊，你有一副雙筒望遠鏡。你把望遠鏡遞給孩子，建議她用它看看海鷗。然而，比起海鷗，她對你更感興趣，所以不多久她就開始將望遠鏡對準你，想要看看你的放大版是什麼樣子，但她看到的只是一片模糊的景象。
是你或者是她出了什麼問題嗎？不是的，是雙筒望遠鏡的毛病。因為孩子使用望遠鏡的方式超出了它能產生有意義結果的範圍。同樣，數學中的反直覺表述向我們展示了某些數學工具的使用範圍的極限。
我們從小就知道一個數學悖論：0不可以作除數。可是於數字和算術運算都是有用的工具，因此將這些有用的工具組合起來並儘可能地將它們一起使用是件很合理的事
然而問題在於，數學並不是一個和諧的存在——它的許多工具可以很好地結合在一起，卻並不完美。我們必須注意他們之間的差別。除法是一種有用的工具，0也是種有用的工具，但除以0卻超出了除法的使用範圍。
除了事實和悖論之外，數學還能產生一些不同尋常的模型，這些模型似乎有意與我們周圍的世界保持距離。我們舉一個非常簡單的例子。下圖顯示的是一個打了結的繩索，它的兩個端點被粘在了一起，以防止它在被拉扯時會散開。
Wikimedia Commons
對於這樣的結，我們無法輕輕一拉就解開，而是必須剪開。然而，另一種方法則是在一個想象的空間中考慮如何解開這個結。例如，上圖中的結是一個所謂的slice knot（切片扭結），如果我們不是在常規的三維空間，而是在四維空間中對它進行觀察，就會發現它可以很容易就被解開。
回答未來的問題
為什麼對數學家來說，建立這些不同尋常的模型至關重要？其中一個原因是想要創建一個數學模型庫以供未來的科學使用。換句話說，一旦我們對宇宙的認知有了新的進展，其中的一些反直覺的數學模型可能就不再奇異，而是變得具有意義。
最著名的非歐幾里得幾何學就是這樣一個例子。非歐幾何是由19世紀中葉的數學家們發展起來的一項思想實驗，它認為有的直線可能是彎曲的。它對於相對論在20世紀的發展來說是不可或缺的：相對論認為，光有時並不沿著直線運動，而是沿曲線運動，甚至是繞著圈運動。
我們在意不同尋常的數學模型還有另一個原因。並不是所有模型都有機會直接應用於實驗科學，但它們都能拓展我們的想象力，為我們接受新穎的科學現象做好適當的準備。這對理解和欣賞現代科學是很重要的。
有些人不太理解或不太相信宇宙大爆炸。這很可能是因為他們無法想象一個由我們不知道的物質和空間所構成的宇宙。去想象一個有別於我們所能感知的空間或許是件很困難的事。就比如去想象一個與我們的親身經歷相反的事：地球不是平的。
即使你已經知道地球是一個球體，但當你想到有的地方的人會“頭朝下”生活時，仍可能會奇怪。如果你能意識到，數學家們在不斷地思考併成功地處理了許多與我們的直覺相悖的空間模型，這或許可以讓你有信心相信，如果有需要，無論是人類還是你個人，都能夠解決那些與我們對空間的理解相悖的問題。
原文標題為“How maths can help us answer questions we haven’t thought of yet”，首發於2018年9月4日的The Conversation。原文鏈接：https://theconversation.com/how-maths-can-help-us-answer-questions-we-havent-thought-of-yet-102051. 中文內容僅供參考，一切內容以英文原版為準。
來源：原理
編輯：井上菌
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