圓規和直尺說：其實我們的能量超乎你想象！

歐幾里得聖經幾何原本歷史徐曉亞然 2019-04-07

說到幾何學，就不得不提到幾何學的聖經《幾何原本》。這部偉大的著作，第一次系統地向人們勾勒出一個清晰的世界，以及各種點，線，面之間的關係。也誕生了最經典的歐式幾何，這也是符合最符合我們日常感官的世界，加之這本書的邏輯推理極為深刻，幾千年來都是人們標準的教科書，流傳程度僅次於真正的《聖經》。

歐幾里得大師研究尺規作圖問題

《幾何原本》裡有一大類問題都是跟尺規作圖相關的，人們起初並沒有發覺用直尺和圓規作圖情況下能誕生出多少精彩的結果。然而歐幾里得大師告訴我們，僅僅只用圓規和直尺，我們也可以在紙上畫出花來。

僅用圓規直尺來作圖

尺規作圖，大家都有所耳聞，然而具體的細節要求就不是那麼廣為人知了。

直尺必須沒有刻度，無限長，可以連接兩個點，不能傳遞長度。
圓規可以拉開至無限寬，兩個支腳也不能有刻度，只可以拉開成之前構造過的長度或一個任意的長度。
操作的步驟不限，但是必須是有限次，哪怕你的作圖步驟有一萬步都是可以的，總之，你不可以無限進行下去。

先熟悉一下以前中學時代裡學到過的關於尺規作圖的題目。

1，過A點作已知直線的垂線；

2，過A點作已知直線的平行線；

3，過A點作已知圓O的切線；

4，。。。

不再列舉了，再列舉就成課後習題了。我們都很熟悉這樣的操作方法，有人覺得這些技巧，算是好玩吧，好像也並沒有什麼太出彩的神奇啊。好，那現在咱們說點乾貨，我說只用尺規就可以完成任意線段的加減乘除，你信不信？

線段加減，這個操作完全沒有任何難度。那乘除呢？應該知道的就不多了吧，比如，我們先作長度是a×b的線段（這裡沒有單位，單純地以數字的乘積作為所求線段的長度）。

尺規作乘法

已知線段長度1,a,b，求作一條長度為a×b的線段。顯然△ABO∽△DCO，於是x=a×b了，雖然這裡的x就是我們求的線段，但是嚴謹性上看，我們必須要考察一下右邊這個圖是否滿足尺規作圖的條件。

第一步：將單位長度1用圓規截取到任意位置，並用直尺延長成直線AO，；

第二步：在直線AO上，以O為起點，用圓規截取長度OD=b，這一步很關鍵；

第三步：類似重複第一，第二步；

第四步：用直尺將A，B兩點連接；

第五步：過D點作一條直線CD，使得CD∥AB，顯然這也是可以做到的。

經過上面分析，由於這裡的單位長度，以及a,b長度都是任意的，所以我們得出的結論具有一般性，因此尺規作圖乘法沒問題！那除法呢？其實比乘法稍微複雜一點，但是還可以搞定。

尺規作除法

已知線段長度1,a,b，求作一條長度為a/b的線段。這裡同樣要用到相似三角形的知識，我們容易看出△ABC∽△ADE,於是x/a=1/b,於是也就有x=a/b了。

得出上面的關係式是自然而然的，我們關心的是這裡除法的作圖是否也完全符合尺規作圖的要求，再來具體分析一下作圖方法。

第一步：將單位長度線段1用圓規截取到任意位置，並延長成直線AB；

第二步：將長度a的線段用圓規截取，並以A為端點，做射線AE;

第三步：在直線AB上截取線段AD=b的部分；

第四步：用直尺連接D,E兩點；

第五步：過B點作線段BC,使得BC∥DE。

雖然有點繞，但是操作的思路還是讓人無比清晰，也完全符合尺規作圖的要求。於是，我們又可以宣佈，除法也可以被尺規搞定。

那麼有人問，尺規作圖的能耐到此為止了嗎？當然沒有，它的能量超乎你想象！要不這個領域怎麼能在兩千年裡長盛不衰呢？其實尺規還可以做更高難度的動作，比如開方。

尺規作開方

這裡我們要作一條長度為a的平方根的線段。

在圓O裡，D是任意一點，DB⊥AC，AC過圓心O，AB=a,連接AD,CD，由射影定理，（不知道射影定理的罰站5分鐘）我們立刻就可以得到

DB²=AB·BC,於是x²=1·a,此時的DB就是所求線段。老規矩，我們再來分析一下作圖過程：

第一步：首先截取長度a的線段AB，並延長至C點，使得BC為單位長度，這一步很重要；

第二步：取得AC中點O，這是我們最熟悉的尺規作圖常規訓練題，並以O為圓心，AO為半徑畫圓；

第三步：過B點作垂直於AC的直線DB交圓弧於D點,這一步也是常規訓練；

第四步：連接AD,CD，構造出直角△ACD，於是結果一目瞭然。

這裡稍微用到多一點的知識，但是我們仍然嚴格按照尺規作圖的要求完成了這個根號的操作。

至此，我們宣佈，用一般的尺規可以完成加減乘除，甚至開方運算。能開方，這是個了不起的結論，由於我們規定了操作步驟的有限性，我們把上述所有的運算疊加起來，就可以構造出許許多多複雜的線段長度。比如：

尺規作圖可以構造出的數

這些數值看起來五花八門，但是，我們只要經過上述的有限次加減乘除以及開方運算，最終都是可以作出來的，雖然有的數我們很難想出構造的方法，但是理論上卻無可辯駁證明了那種作圖方法的存在！

歷史上有相當多的人痴迷過關於正多邊形的尺規作圖法，人們總是想要刨根問底，後來證明並不是所有的正多邊形都可以用尺規來作出。N=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64。。。可以用尺規作圖完成，而N= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36。。。的正多邊形就不可以作出。高斯王子19歲的時候在一個晚上的時間裡就解決了正十七邊形的作圖問題，這個作圖難題也困擾著數學界將近兩千年。下面貼上幾種正多邊形的尺規作圖方法。