線性迴歸是機器學習中最基本的算法了，一般要學習機器學習都要從線性迴歸開始講起，本節就對線性迴歸做一個詳細的解釋。
實例引入
在講解線性迴歸之前，我們首先引入一個實例，張三、李四、王五、趙六都要貸款了，貸款時銀行調查了他們的月薪和住房面積等因素，月薪越高，住房面積越大，可貸款金額越多，下面列出來了他們四個人的工資情況、住房面積和可貸款金額的具體情況：
姓名 工資(元) 房屋面積(平方) 可貸款金額(元) 張三 6000 58 30000 李四 9000 77 55010 王五 11000 89 73542 趙六 15000 54 63201 看到了這樣的數據，又來了一位孫七，他工資是 12000 元，房屋面積是 60 平，那他大約能貸款多少呢？
思路探索
那這時候應該往哪方面考慮呢？如果我們假定可貸款金額和工資、房屋面積都是線性相關的，要解決這個問題，首先我們想到的應該就是初高中所學的一次函數吧，它的一般表達方式是 y=wx+b
，x 就是自變量，y 就是因變量，w 是自變量的係數，b 是偏移量，這個式子表明 y 和 x 是線性相關的，y 會隨著 x
的變化而呈現線性變化。
現在回到我們的問題中，情況稍微不太一樣，這個例子中是可貸款金額會隨著工資和房屋面積而呈現線性變化，此時如果我們將工資定義為 x1
，房屋面積定義為 x2，可貸款金額定義為 y，那麼它們三者的關係就可以表示為： y=w1x1+w2x2+b，這裡的自變量就不再是一個了，而是兩個，分別是 x1 和 x2，自變量係數就表示為了 w1 和 w2
，我們將其轉化為表達的形式，同時將變量的名字換一下，就成了這個樣子：
$$
h_{theta}(x) = theta_0 + theta_1x_1 + theta_2x_2
$$
這裡只不過是將原表達式轉為函數形式，換了個表示名字，另外參數名稱從 w
換成了 theta，b 換成了 theta0，為什麼要換？因為在機器學習算法中 theta
用的更廣泛一些，約定俗成。
然後這個問題怎麼解？我們只需要求得一組近似的 theta
參數使得我們的函數可以擬合已有的數據，然後整個函數表達式就可以表示出來了，然後再將孫七的工資和房屋面積代入進去，就求出來他可以貸款的金額了。
思路拓展
那假如此時情景變一變，變得更復雜一些，可貸款金額不僅僅和工資、房屋面積有關，還有當前存款數、年齡等等因素有關，那我們的表達式應該怎麼寫？不用擔心，我們有幾個影響因素，就寫定義幾個變量，比如我們可以將存款數定義為 x3
，年齡定義為 x4，如果還有其他影響因素我們可以繼續接著定義，如果一共有 n 個影響因素，我們就定義到 xn
，這時候函數表達式就可以變成這樣子了：
$$
h_{theta}(x) = theta_0 + theta_1x_1 + theta_2x_2 + … + theta_nx_n
$$
這個式子看起來挺長的不好寫的吧，我們可以使用求和公式寫成如下形式：
$$
h_{\theta}(x) = \sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i = \theta^Tx
$$
如果要使得這個公式成立，這裡需要滿足一個條件就是 x0=1
，其實在實際場景中 x0 是不存在的，因為第一個影響因素我們用 x1 來表示了，第二個影響因素我們用 x2 來表示了，依次類推。所以這裡我們直接指定 x0=1
即可。
後來我們又將公式簡化為線性代數的向量表示，這裡 thetaT
是 theta 向量轉置的結果，而 theta 向量又表示為 (theta0,theta1,…,thetan)，同樣地，x 向量可以表示為 (x0,x1,…,xn)
，總之，表達成後面的式子，看起來更簡潔明瞭。
好了，這就是最基本的線性判別解析函數的寫法，是不是很簡單。
實際求解
那接下來我們怎樣實際求解這個問題呢？比如拿張三的數據代入到這個函數表達式中，這裡還是假設有兩個影響因素，張三的數據我們可以表示為 x(1)1=6000,x(1)2=58,y(1)=30000
，注意這裡我們在數據的右上角加了一個小括號，裡面帶有數字，如果我們把張三的數據看成一個條目，那麼這個數字就代表了這個條目的序號，1 就代表第一條數據，2 就代表第二條數據，為啥這麼寫？也是約定俗成，以後也會經常採用這樣的寫法，記住就好了。
所以，我們的願景是要使得我們的函數能夠擬合當前的這條數據，所以我們希望是這樣的情況：
$$
y^{(1)} = sum {i=0}^{n}theta {i}x_{i}^{(1)} = theta^Tx^{(1)}
$$
其中 y(1)
是真實值，但我們知道，哪有那麼容易十全十美，絲毫不差的擬合函數，所以上面的式子一般來說是不成立的，函數計算值和真實值還是多少還是有一定的誤差的吧，如果我們想知道函數真實擬合的結果的話，我們需要把 x
變量代入函數，會得到一個函數本身擬合的結果，是這樣的：
$$
h_{\theta}(x^{(1)}) = \sum_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(1)} = \theta^Tx^{(1)}
$$
這裡的 htheta(x(1))
就是我們函數得到的結果了。一般來說，二者是會存在一定的誤差的，所以誤差我們一般可以寫成他們的差的絕對值或平方的形式，使用絕對值或平方的目的是消去正負號的影響，比如寫成平方的形式就是這樣子：
$$
(h_{\theta}(x^{(1)}) – y^{(1)})^2
$$
這個式子就是我們函數真實擬合值和真實值之間的差距，沒問題吧。
相應的，如果是李四的數據，誤差就可以寫為：
$$
(h_{\theta}(x^{(2)}) – y^{(2)})^2
$$
依次類推，如果是第 i
條數據，誤差就可以寫成：
$$
(h_{\theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})^2
$$
要使得我們的函數對所有的數據都能儘量很好地擬合，我們可以把這些誤差加起來求個平均，假設一共 m
條數據，那麼所有數據的誤差可以寫成如下形式：
$$
J(\theta) = \dfrac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) – y^{(i)})^2
$$
注意這裡 i
指的是第幾條數據，是從 1 開始的，一直到 m 為止，然後使用了求和公式對每一條數據的誤差進行累加和，最後除以了 2m，我們的最終目的就是找出合適的 theta，使得這個 J(theta) 的值最小，即誤差最小，在機器學習中，我們就把 J(theta)
稱為損失函數（Loss Function），即我們要使得損失值最小。
有的小夥伴可能好奇損失函數前面為什麼是 2m
，而不是 m
？因為我們後面要用到這個算式的導數，所以這裡多了個 2 是為了便於求導計算。況且一個表達式要求最小值，前面乘一個常數是對結果沒影響的。
求解過程
由於我們求解的是線性迴歸問題，所以整個損失函數的圖像非常簡單清晰，如果只有 theta1
和 theta2 兩個參數，我們甚至可以直接畫出其圖像，整個損失函數大小隨 theta1 和 theta2
的變化實際上類似於這樣子：
可以看到這是一個凸函數，豎軸代表損失函數的大小，橫縱兩軸代表 theta1
和 theta2 的變化，可見在中間的最低谷損失函數取得最小值，這時候損失函數在 theta1 和 theta2 上的導數都是 0，因此我們可以一步到位，直接用偏導置零的方式來求解損失函數取得最小值時的 theta
值的大小。
所以我們可以先對每個 theta
求解其偏導結果，這裡 theta 表示為 thetaj，代表 theta
中的某一維：
$$
dfrac{partial{J(theta)}}{partial{theta j}} = dfrac{1}{2m} dfrac{partial({sum {i=1}^{m}{(y^{(i)} – h_{theta}(x^{(i)}))^2}})}{partial{theta j}} \
{i=1}^{m}((h_{theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)})
$$
直接將偏導置零即可直接求解 $ theta j $：
$$
{i=1}^{m} {h_{theta}(x^{(i)})x j^{(i)}} – sum {i=1}^{m}y^{(i)}x_j^{(i)} = 0
$$
這裡將所有數據代入，即可通過求解方程組的形式直接解出 thetaj
的值，但這些方程組裡面其實 thetaj
之間存在彼此依賴關係，需要聯立求解出來。
如果不用這種求解方式，我們可以使用梯度下降的方式來進行求解，在這裡 thetaj
只需要逐步更新即可：
$$
theta_j = theta_j – alphadfrac{partial{J(theta)}}{partial{theta_j}} \
= theta j – dfrac{alpha}{m}sum {i=1}^{m}((h_{theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)})
$$
這裡 alpha
就是學習率，thetaj 每經過一步都會進行一次更新，得到新的結果，經過梯度下降過程，thetaj 都會更新為使得梯度最小化的數值，最後就完成了 theta
的求解。
以上便是線性迴歸的整個推導和求解過程。
實戰操作
現在呢，我們想要根據前面的數據來求解這個真實的問題，為了解決這個問題，我們在這裡用 Python 的 Sklearn 庫來實現。
對於線性迴歸來說，Sklearn 已經做好了封裝，直接使用 LinearRegression 即可。
它的 API 如下：
class sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=None)
參數解釋如下：
- fit_intercept : 布爾值，是否使用偏置項，默認是 True。
- normalize : 布爾值，是否啟用歸一化，默認是 False。當 fit_intercept 被置為 False 的時候，這個參數會被忽略。當該參數為 True 時，數據會被歸一化處理。
- copy_X : 布爾值，默認是 True，如果為 True，x 參數會被拷貝不會影響原來的值，否則會被複寫。
- n_jobs：數值或者布爾，如果設置了，則多核並行處理。
屬性如下：
- coef_：x 的權重係數大小
- intercept_：偏置項大小
代碼實現如下：
from sklearn.linear_model import LinearRegression
Python學習交流群：1004391443
x_data = [
[6000, 58],
[9000, 77],
[11000, 89],
[15000, 54]
]
y_data = [
30000, 55010, 73542, 63201
]
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_data, y_data)
print('方程為：y={w1}x1+{w2}x2+{b}'.format(w1=round(lr.coef_[0], 2),
w2=round(lr.coef_[1], 2),
b=lr.intercept_))
x_test = [[12000, 60]]
print('住房面積為：', lr.predict(x_test)[0])
運行結果：
方程為：y=4.06x1+743.15x2+-37831.862532707615
住房面積為：55484.33779181102
在這裡我們首先聲明瞭 LinearRegression 對象，然後將數據整合成 x_data 和 y_data 的形式，然後通過調用 fit() 方法來對數據進行擬合。
擬合完畢之後，LinearRegression 的 coef_ 對象就是各個 x 變量的權重大小，即對應著 $ theta_1, theta 2 $，intercept 則是偏移量，對應著 theta0
，這樣我們就可以得到一個線性迴歸表達式了。
然後我們再調用 predict() 方法，將新的測試數據傳入，便可以得到其預測結果，最終結果為 55484.34，即孫七的可貸款額度為 55484.34 元。
以上便是機器學習中線性迴歸算法的推導解析和相關調用實現。