混沌的表面模糊不清，然而其核心卻和分形緊密聯繫在一起。
無論是洛倫茲氣象模型還是三體問題，都是一個確定性的微分方程，最終卻產生了混沌的現象。混沌是系統長期演化的結果。因此，研究一個動力學系統的長期行為才有可能揭示混沌的本質。原來，一個系統的狀態會隨著某些參數的變化從平衡走向混沌。這個事實被稱為倍週期分岔現象。
當參數的取值在一定範圍時，系統會長期趨於一個穩定的狀態。這個狀態就是人們期望預知的終極狀態。比如一個在空氣中運動的小球如果沒有其他外力的驅使，最終會靜止下來。這種靜止態就是小球的歸宿。可是當參數的取值發生變化時，系統的終極狀態不再是唯一的，而可能是在兩個狀態之間彼此搖擺。系統在單位時間內從一個狀態跳到另外一個狀態，然後再次經歷單位時間，系統再次從另外一個狀態跳回來。因此，系統回到相同狀態的時間就變成了單個狀態的兩倍。隨著參數值的繼續增加，終極狀態的數目也在迅速增加，每次都會以兩倍的形式遞增。這就是倍週期分岔現象。
倍週期分岔（圖片來源： 網絡）
倍週期分岔現象是系統出現混沌的先兆，最終會導致有序到無序，穩態向混沌的轉變。當參數出現更大的變化時，倍週期分岔現象呈崩潰之勢，平衡點已無法區分，連接成一片連續區域。此時就出現了混沌。而倍週期分岔現象就具有自相似性及普適性等重要的特徵。這個與內在隨機性密切相關的幾何性質揭示了倍週期分岔現象與分形、混沌、奇異吸引子等之間的內在聯繫，也成為混沌內蘊的秩序象徵。
凡事皆有利有弊。混沌的出現帶來了混亂，卻也在某方面帶來了希望。既然擾動會帶來破壞性的結果，那麼尋找合適的小擾動，就可以起到四兩撥千斤的效果。這就是混沌控制的精髓。
太空旅行中，也許通過混沌控制，使用極少的燃料就能實現星際穿梭。混沌裡的蝴蝶效應更可以在醫學上一展宏圖，諸如控制心律失常、抑制癲癇等等，甚至還能讓湍流過渡為平穩的運動，減少飛機的危險。
圖片來源： 視覺中國
不僅如此，混沌甚至是調節國民經濟、緩衝經濟危機的利器。眾所周知，股市是經濟的晴雨表。傳統經濟學認為，股市是隨機遊走的布朗運動，其波動符合對數正態分佈。由於其高度的隨機性，人們無法預測股市的未來，更無法指定合適的政策來維護股市的穩定。
然而，經過多年的實際觀測，股市的表現更多呈現出尖峰肥尾的特徵，在一定程度上偏離了隨機遊走的假設。1982年，美國經濟學家德依引入了混沌研究經濟學的表現。隨後，人們開始在各種市場上應用混沌理論尋找其吸引子的特徵，並取得非凡的結果。經濟呈現出的混沌現象愈來愈多。
經濟混沌的存在，雖然不能極大改進經濟預測的能力，但是卻可以大幅度改善政府對市場的調控能力。這對經濟週期的波動和股市的災難預警提供了更多的宏觀政策依據。
圖片來源： 視覺中國
混沌的極端不穩定性和對初值的敏感依賴還被用於通信加密。信號一旦被監聽干擾就會產生不可逆轉的誤差，這為破譯信號帶來極大的的困難，更是開闢了通信技術的新天地。
分形是天使，它呈現出的玄機和美感為人類提供了豐富的靈感源泉。美妙的分形奏響了一曲迷人的音樂篇章，其深刻的本質完全顛覆了人們對傳統事物的認識。
混沌是魔鬼，它成為複雜現象的代名詞，更是牛頓的確定科學論終結的標誌之一。混沌為人們探索真理的疆域劃定了邊界。在混沌的籠罩下，人們無法預知諸多複雜系統的未來。然而，這也激發了人類持續進步、永不枯竭的創造能力。世界的命運就掌握在你我手中，沒有什麼比確定性的結局更讓人沮喪，也沒有什麼比一切皆有可能更加振奮人心。
天使和魔鬼，組成了世界運行的規則。它就是真實世界的兩面。在魔鬼的內心，隱藏著天使的靈魂。在天使的背後，潛伏著魔鬼的騷動。認識世界的複雜性，摒棄單一的二元對立思維，才能真正走入現代科學的複雜時代，迎接更多可能的未來。
(全文完)
往期傳送門：
混沌與分形（一）： 命運無常，是天意還是混沌的力量？
混沌與分形（二）：分形的奇蹟——分數維的曲線
混沌與分形（三）：人體竟是分形的傑作？！
混沌與分形（四）：分形是天使，混沌是魔鬼？
參考文獻：
1. 《數學的故事》，伊恩.斯圖爾特著, 上海辭書出版社，2013。
2. 《從混沌到有序人與自然的新對話》，伊里亞·普里戈金、斯唐熱著，上海譯文出版社，1987。
3. 《複雜》，米歇爾.沃爾德羅普著，生活·讀書·新知三聯書店，1997。
4. 《蝴蝶效應之謎》，張天蓉著，清華大學出版社，2013。
來源：科學大院
編輯：Major Tom
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